Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 47
Текст из файла (страница 47)
о, Оаэ — — И. Пример хаусдорфова пространства (Ж,Е). Пусть множество Е состоит из всевозможных подмножеств вещественной оси 2, имеющих в своем составе конечное или счетное число непересекающихся интервалов. Тогда пространство (й, Е) является хаусдорфовым, поскольку любые две различные точки х и у можно окружить непересекающимися открытыми б-окрестностями. Отметим, что изучение различных топологических пространств составляет предмет теоретико-множественной топологии. 297 Определение 4. Пусть задан декартов квадрат Х2 = Х х Х некоторого множества Х и пусть на множестве Х определена числовая фувкпвя р(хм х2) со слсдующвми свойствамв: Ц,для любых (хы х2) Е Х Имеем р(хы х2) > О, причем р(хм х2) = О, если х 1 — х 2 (Веотрицательвость) ~ 2) для любых (хмх2) е х имеем р(вых2) = р(хз,х2) (симмсгричВость); 3) для любых х,у,х Е Х справедливо неравенство треугольника: р(х,у) < р(х,х)+ р(х,у).
Тогда пара (Х, р) вли само множество Х называется метрическим прОС Трепетном В фуВКЦВЯ р(хм х2) ВазываеТСЯ метрикой эТОго пространства, или расстоянием от точки х2 до точки х2, вли функцией расстояния. Примеры. 1. Пусть Х вЂ” произвольное множество и О , если х=у, г(х,у) = 1, если х фу, тогда пара (Х, р) является метрическим пространством. 2.
Пусть нв множестве вещественных чисел расстояние задается по формуле р(х,у) = (х — у(, тогда пара (й,р) является метрическим пространством. Отметим, что метрику на одном и том же множестве Х можно задавать по-разному. При этом получаются различные метрические пространства. Например, на плоскости й2 можно задать расстояние между точками и = (хых2) и у = (уыу2) как по формуле ре(х У) = 2пвх((х2 У2( )х2 УТО так и по формуле г(х у) = Для всякого числа е > О определим открытые е-окрестности точек х Е Х в метрическом пространстве (Х,р) (обозначим их через е,(с)) как множество точек, содержащееся в Х и состоящее нзо всех точек точек у Е Х с условием р(х,у) < е.
Множества е, являющиеся объединением любой совокупности, составленной из е-окрестностей различных точек х Е Х, назовем открытыми. Тогда можно показать, что система множеств Е = (о) задает ва множестве Х топологию и превращает это множество в топологическое хаусдорфово пространство.
Заданная топология называется топологией, порожденной метрикой р. 298 Определение 5. Последовательяость точек хм хм..., х„,... метрического простраяства (Х, р) яазывается последовательностью Коши или чаще фундаментальной последовательностью, если ояа удовлетворяет условию Коши, а имеяяо: для всякого числа г ) О яаййется помер пе = пс(г) такой, что для всех иомеров пм пз > пс имеем р(хх, ~ хз ) С г Определение 6. Последовательность (х„Е Х) называется сходящейся к точке а Е Х, если числовая последовательвость р„= р(х„, а) сходятся к нулю при и, стремяшемся к бесковечиостя.
Этот факт записывается так: 1пп х„= а. л-+оо Из перавеиства треугольника легко можно показать, что такая точка а Е Х едииствепяа. Определение т. Метрическое простраяство (Х, р) яазывается полным, если всякая последователыюсть Коши сходится к иекоторой точке а Е Х. Теперь обратимся к лквейяым пространствам, которые должны быть знакомы из курса высшей алгебры. Определение 8.
Миожество Х = (х) яазовем линейным про- странством, если выполяеяы следующие условия: 1) для любых двух элементов х,у Е Х однозначно определен элемент х такой, что х = х + у, называемый их суммой, причем: а) х + (у + х) = (х + у) + х; б) х + у = у + х; в) существует нулевой элемент О, такой, что для любого х Е Х имеем х + О = х; г) для всякого х Е Х существует обратный элемент ( — х), такой, что х + (-х) = О; 2) для любого вещественного числа а и любого х Е Х определен элемент ах Е Х (произведепие элемента х б Х па число а Е Ж), причем: а) а(рх) = (а13)х; б)1 х=х; 3) операции сложения и умножения связаны свойством дистрибутивпости: а) (а+ р)х = ах + 13х; б) а(х+ у) = ах+ ау, Примерами линейных простравств являются и-меряое векториое пространство, простравство непрерывных функций С[а,6].
Элементы ливейяого пространства называются векторами. Определение 9. Линейное пространство Х называется нормированным, если для любого вектора х определена его норма ]]х]], обладающая следующимя свойствами: 1) ]]0]] = О; 2) для любого х ф О имеем Цх]] > О; 3) для всякого вещественного числа а имеем ]]ах]] = ]аих]]; 4) для любых элементов х,у Е Х справедливо неравенство треугольника: ]]х+у]] < ]]х]]+]]у]]. Заметим, что пространство С(а, 6] функций, непрерывных на отрезке ]а,Ь], является нормированным пространством с нормой ]]Д = гпах Щх)]. хе 1а,61 Ътвер:кденне.
Функция р(х, у) = ]]х — у]], определенная иа декартовом квадрате К, где Х вЂ” нормированное пространство, является метрикой на пространстве Х. Д о к а з а т е л ь с е е о. Покажем, что функция р(х,у) является метрикой, Для этого надо проверить, что функция р(х,у): 1) неотрицательна; 2) симметрична и 3) удовлетворяет неравенству треугольника. Действительно, имеем: 1) р(х,у) = ]]х — у]] > 0 и р(х,у) = ]]х — у~] = 0 тогда и только тогда, когда х = у; 2) р(х, у) = ]]х — у]] = ) — 1] ]]у — х]) = р(у, х); 3) пусть а = х — », 6 = » — у, тогда имеем р(х,у) = ]]а+ Ь!] < ])а]]+ ]]6)] = ]]х — х]]+ ])г — х]] = р(», ») + р(», у). Утверждение доказано.
Определение 10. Полное нормированное пространство называется банановым пространством. Теперь мы переходим к определению гильбертова пространства. Для этого нам потребуется определение скалярного произведения. Пусть на множестве Х задана структура линейного пространства. Определим функцию у(а, 6) на декартовом квадрате Х», т.е. на множестве пар (а,Ь), где а Е К, 6 Е Х. Пусть далее функция ~(а,Ь) обладает следующими свойствами. 1е. Для любого элемента а Е Х имеем у(а,а) > 0 при а ~ 0 (положительность). 2с. Для любых элементов а,Ь е Х имеем у(а,Ь) = у(Ь,а) (симметричность).
3е. Для любых элементов а, 6, с б Х имеем ~(а, 6+с) = Да, 6)+~(а, с) (аддитивность). 4е. Для любых элементов а,Ь Е Х и любого вещественного числа Л справедливо равенство у(Ла,Ь) = у(а,ЛЬ) = Лу(а,Ь) (однородность). Функцию у(а, Ь) со свойствами 1е — 4с называют скалярным произведением. Будем записывать ее просто как (а, Ь). Оказывается, что функция фа, а) = )(аЙ является нормой, и само пространство Х с этой нормой, таким образом, является нормированным. В самом деле, неотрицательность и однородность функции /(а, а) очевидна. Осталось проверить неравенство треугольника. Сначала докажем неравенствв Коши: (х,у) < (х,х)(у,у). Положим х~ = А, у1 = -Л~ .
Тогда последнее неравенство следует Йа' !е1! ' из того, что ~(х~,у~)~ < 1. Действительно, без ограничения общности можно считать, что (хму1) > О, и тогда имеем О < (х~ — умх1 — у1) = (хых~)+ (уму1) — 2(хну~) = 2 — 2(хму1), откуда получим (хм у1) < 1, что и требовалось доказать, Докажем теперь неравенство треугольника: Используя неравенство Коши, имеем Цх + уЦ~ = (х + у х + у) = (х х) + (у у) + 2(х у) < < ()хО~+ ((у((~+ 2)Щ Йу(( = (Ох((+ Оу)0 . Полное метрическое пространство Х с метрикой р(х,у) = Ох — у(( называется гильбертовым пространством. Следовательно, гильбертово пространство — частный случай банахова пространства Х с нормой Охй = ~/(х, х).
Конечномерное гильбертово пространство называется евклидовым пространством. рассмотрением этих пространств мы и ограничимся, и, в дальнейшем более подробно будем изучать метрические пространства. Лекпвог 19 ~ 2. ХАУСДОРФОВОСТЬ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА В ЕСТЕСТВЕННОЙ ТОПОЛОГИИ Сначала введем понятие открытого множества в метрическом пространстве. Определение 1. При любом е > О открытым шаром 0(а,е) радиуса е с центром в точке а в метрическом пространстве (Х, р) называется множество, состояшее из всех точек х Е Х, удовлетворяюших условию р(а,х) < е. Определение 2. Шар 0(а,е) называется также е-окрестностью точки а. Определение 3.
Множество точек К(а,е), определяемое условием р(а,х) < е, называется замкнутым шаром радиуса е > О с центром в точке а. Заметим, что при е1 < сз имеем 0(а,е1) С 0(а, сз), К(а,е1) С К(а, сз). Определение 4. Точка а Е М С Х называется внутренней точкой множества М, если она имеет с-окрестность, целиком составленную из точек множества М. Определение 5. Множество М называется открытым, если любая его точка является внутренней..
Пример. Для всякой точки а Е Х любая ее е-окрестность будет открытым множеством. Действительно, если точка у Е 0(а,е), то имеем ре — — р(а,у) < е. Возьмем е1 - окрестность точки у, где е1 = Яа. Тогда эта окрестность целиком принадлежит множеству 0(а,е), так как для всякой точкв к Е 0(у,е1) из неравенства треугольника имеем р(а,х) < р(а,у)+р(у,х) < ро+ — = — + — < е, е — Ро е Ро т.е.
Р(а,к) < е, следовательно, точка х Е 0(а,е), что и требовалось доказать, Докажем несколько свойств открытых и замкнутых множеств. Утверждение '1. Пересечение двух открытых в Х множеств М1 и Мз — открытое множество. Л о к а з а т е я ь с т е о. Пусть х б М1 ПМз, тогда х б Мы х б Мз. Поскольку М1 и Мз — открытые множества, найдется емокрествость точки х, содержащаяся в Мю и найдется сз-окрестность точки х, содержащаяся в Мз. Возьмем с = ппп(гыгз). Тогда с-окрестность точки х принадлежит и множеству Мы и множеству Мю т.е. сокрестность точки х содержится в М| ПМю что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Объединение У любого числа открытых множеств М является открытым множеством. Д о к а з а т е л ь с т е о. Возьмем любую точку х б И Тогда существует множество М С 1' такое, что х б У, и точка х — внутренняя точка множества М. Следовательно, существует с-окрестность точки х, целиком содержащаяся в М, а значит, содержащаяся в У, что и требовалось доказать. Итак, введенные намв открытые множества образуют топологию, которую называют естественной топологией метрического пространства.
Это пространство будет и хаусдорфовым. Действительно, пусть *',у — любые точки метрического пространства Х и х ф У, Р(х, У) = Ре > О, тогда окРестности 0(х, Гза) и 0(У, Гза) этих точек, согласно неравенству треугольника, не пересекаются. Если бы существовал элемент г б 0(х, гза) й 0(у, сзк), то ра = р(х, у) < р(х, я) + р(х, у) < — +.— = —, ро ро 2ре 3 3 3 ' т.е. ра = О, но это не так.
3 3, ВНУТРЕННИЕ, ВНЕШНИЕ И ГРАНИЧНЫЕ ТОЧКИ МНОЖЕСТВА В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ Определение 1. Любое открытое множество а, содержагцее точку х, называется окрестностью точки х. Определение 2. Всякое множество» метрического пространства Х, дополнение которого а = Х~» — открыто, называется замкнутым. Определение 3. Внешней точкой множества А называется всякая внутренняя точка его дополнения В = Х ~ А. Определение 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
