Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Если же Ьх = Лу > О, то приращение функции х(х,у) в точке (0,0) равно сьх, но по определению дифференциала оно должно быть о(Ьх). Таким образом, функция х = ~/Гху~ не является дифференцируемой в точке (0,0). Лекция 22 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ дЛ д1е д дх дИ дИ даос + дх, дус дх, Здесь частные производные по переменной х, рассматриваются в точке и = а, а частные производные по 1и, 1 = 1,...,т — в точке у=ь. ,1У о к а з а сп е л ь с 01 и о.
Ввиду днфференцируемости функции у(у) в точке у = Ь приращение функции сау при произвольном приращении аргумента сну = у — Ь можно представить так: АУ = йУ+ оДЬу)), где с(1 = ~~ — сИ1и. дУ ,, дм Подставим вместо сИр приращение сИр~ функции 10~(х) соответствую- щее приращению сах аргумента й. Тогда слева в этоЯ формуле мы получим сИИ(х) н она принимает вид сьЛ(х) = Ь вЂ” Ь1И(х) + о(~Ь1з(х))). дУ ду! В силу дифференцируемости функциЯ рс(х) имеем А1ч(х) = ~~~ — Ах, + о()1Ьх(), 1= 1,...,пс. д1с1 , дх, 320 Т е о р е м а. Пусть 10(х) = (1а1(х),..., р„,(х)) есть отображение нз %" в )к"', определенное в некоторой окрестности точки и = а я диффереяцяруемое в этой точке. Пусть, далее, для всякого с ) 0 при отображении р образ яекоторой б-окрестности 0(а, б) содержится в с-окрестности точки Ь = 1с(а).
Пусть, наконец, для любой точки у е 0(Ь, с) определена числовая функция у(у), которая является дифференцнруемой в точке Ь. Тогда сложная функция Л(х) = ~(1з(х)) является днффереяцнруемой в точке й = а, причем имеют место равенства Частные производные функций ~р~(хт) в точке й = а — зто конкретные вещественные числа. Позтому существует число М > О, такое, что онн по абсолютной величине не превосходят М. Тогда имеем )Ьу~(х)( < 2Мп)Ьх(, )Ьу! < 2Мпт)Ьх!. Отсюда найдем о((Ьр(х)!) = о()Ьх().
Подставляя теперь значения Ьчл(х) в формулу для Ьк(х), получим утверждение теоремы. Теорема доказана. С л е д с т в и е 1 (инвариантность формы первого дифференпиала). Если в выражение для первого дифференциала ИДу) вместо независимого приращения Ьу, подставить дифференциал функции у, = р,(х), то полученное выражение будет дифференциалом сложной функции И(х) = у(у(х)).
Другими словами, форма первого дифференциала функции не изменится, если независимые переменные оказываются зависимыми функциями. Д о к а э а яг е л ь с гл е о. Утверждение следствия — простая переформулировка утверждения теоремы. С л 'е д с т в и е 2 (правила дифференцирования). Справедливы следующие формулы: а) а(си) вити 'чсбй; б) д(и ~ и) = дих г(и; в) а(ии) = иди+ иди; г) д(-„") = хэч„-,гч'эх" при и(хо) ф О.
Д о к а э а т в л ь с га е о. Ограничимся доказательством только свойства в), Пусть э = э(и, и) = ии, тогда дг дэ дэ = — аи + — аи = иди + иди, ди ди В случае, если и и и являются функциями от других независимых переменных, то воспользуемся свойством инвариантности формы первого дифференциала (следствие 1), Свойство в) доказано. 1 4. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ Пусть задано направление е = (ем...,е„), ~е) = 1, и Ам..., й„— направления векторов осей координат Охм..., Ох„. Тогда, очевидно, если а, есть угол между /с, и е, то е, = (е,Й,) = (е! )Й,)соко, = сова,. зы П Мои» и юп аьвксмп ашил В силу этого определеяия числа еы...,е„называются направляюпнпмн косинусами направления е. Пусть У(й) — диффереицируемая функция в точке и = а, и е— некоторое иаправлеяие. Рассмотрим сложную функцию Л(М) = У(а+Ме).
Она является фуикпией от одной переменкой 1, и в салу теоремы о дифференцируемости сложной функции при ~ = 0 справедливо равенство ЫЛ(1) = Л'(О) й = Š— е. й. дУ , дх, Тогда имеем Л'(О) = ~~~ — е, = „У вЂ” сова,. дУ " дУ ,дх, ',дх, Определение 1. Эта величина Л'(О) называется производной функции У(х) Го направлению е в точке а.
'Обозначение: -- — =Л(0). дУ дУ(х)) де де 1 в Определение 2. Вектор называется градиентом функции У(й) в точке х = а и обозначается так: ~УУ=й ~У. Таким образом, д ( й 1У) =( ~7У) дУ де где называется оператором "набла". Отметим некоторые свойства производной по направлению.
)е. Максимальное значение производной функции У(й) по направлению равно длине вектора градиента и достигается при е = )-еу(. чв 2е. Производная по направлению равна нулю, если вектор градиента равен нулю или он ортогонален вектору направления. З~. Мнинмальное значение производной фуикцин У(х) по направлению равно -(бган У(, если е = -(~~~(. 322 Отсюда видно, что скорость возрастания функции в направлении градиента — наибольшая. г 5.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА Для простаты изложения будем рассматривать функции двух переменных. Определение 1. Поверхностью Р в %~ называется график всякой непрерывногЬ фуюхпни г = г(х,у), заданной Н некоторой области П С йг. Другямн словами, поверхность Р— это множество точек (х,у,г) б Жз, где координата г б Ж и точка (х,у) б Жо связаны соотношением г = у(х, у). Напомним, что под областью понимают связное открытое множество. Определение 2.
Говорят, что поверхности г = гг (х, у) и г = Уг(х, у) касеютси друг друга в точке (а,Ь,с), есля с = Л(а,Ь) = уг(а,Ь) и разность г(х у) = И у) — Ь(х у) является велячиной оОх — аО аря )х — а) -+ О. Графих линейной функции г = Ьх + 1у+ пг, Ь,!, пг б И является плоскостью в йз. Т е о р е м а. Пусть функция 1(х), й б 0(а,е) С йг — днфферснпируема в точке и = а = (аы аг) н го — у(а). Тогда плоскость П, задаваемая линейным уравнением вида ду(а) ду(а) г — го = (хг — аг) + (хг — аг) дхг дхг касается поверхности Р: г = 1(х) в точке и = а. Д о к а з а т е л ь с пь в о. Рассмотрим плоскость П как график линейной функции у(х), где у(х) = го + дУ(х).
Посхольху функция,1(х) дифференцируема в точке х = а, имеем Дх) — у(й) = г (а) + аг (х) + о()1ах() — го — НУ(х) = о()Ьх)). Следовательно, исходя нз определеняя поверхности, П я Р касаются друг друга. Теорема дохазана. В дальнейшем нам понадобится понятие нормали к поверхности. Определение 3. Нормалью и поверхности Р: г = у(х, у) в точке (хо, уо, го) называется прямая, проходяШая через точку (хо, уо, хо), параллельно вектору (У ~Уз 1) Лекция 23 г б. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Пусть у(У) имеет в некоторой е-окрестности О(а,е) все первые частные производные з~, я = 1,..., и. Эти частные производные сами являются функциями от и переменных и могут иметь частные производные, т.е.
можно определить следующие величины / 'г» ( ). Эти величины называются частными производными второго порядка. Если я ф г, то они называются смешанными производными. Имеют место следуюшие теоремы о равенстве смешанных производных второго порядка. Т е о р е м а 1 (теорема Шварца). Пусть функция )'(У) в некоторой окрестности точки й = а иллеет смешанные частные производные второго порядка з, и з,, причем они непрерывны в точке У = а. Тогда в точке й = а этн производные равны между собой, т.е. ~к~я,(а) гя я~(а)' ,В о и а з а т е л ь с т е о. Без ограничении обшности можно считать, что п = 2 и )'(й) = ~(вы яг). Положим лл~гг = 1(а, + Лы аг+ Иг) — ~(аг + Лыаг) — 1(ам аз+ Лг) + Демаг), 1а(я) = ~(я,аг+ Лг) — г(к,аг). Применяя дважды формулу Лагранжа конечных приращений, получим у(а1 + Л1) — Чг(а1) = Лгу'(аг + В1Лг) = = Лг (Уя (аг +ВгИыаг+ Лг) Уя,(аг+ В,Лмаг)) = = И|Иг1~,~,(аг + ВгИы аг + ВгЛг).
В силу непрерывности функции ~„„(выяг) в точке й = а имеем гг(а1+ И1) — лг(аг) = ЛгЛг(~~,~,(ам аз) + о(1)). зг4 С другой стороны, гг(аг + Ьг) — гг(аг) = 4'(аг + Ьг) — ф(аг), где ~0(х) = ~(аг + Ьы х) — ~(а,х) Вновь применяя теорему Лагранжа, находим Ф(аг+Ьг) — Ф(аг) = Ьг(1,(аг+ Иыаг+Вг) — ~~,(амаг+ Вг)) = = Ь|ЬгУ~~~,(аг + ВгИы аг + ВгЬг) = Ь|Ьг(Ух,~,(ам аг) + о(1)). Отсщда ЬгЬг(~~~,(а„аг) + о(1)) = ИгЬг(У~м,(ам аг) + о(1)), т.е. получаем справедливость равенства у„„(аы аг) = у„„(аь аг).
Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2 (теорема Юнга). Пусть функции Д (хмхг) и Д,(хмхг) определены в некотороЯ окрестности точки х = а = (а,,аг) и дифференцируемы в точке а. Тогда у„„(аь аг) = У„, (аь аг). д о к а з а яг е л ь с яг а о. Рассмотрим функции Ь У = 1(аг + Ь, аг + Ь) — 1(аг + Ь, аг) — У(ам аг + Ь) + 1(аы аг), р(х) = У(х, аг + Ь) — Дх, аг). Имеем сагу = гг(аг + Ь) — гг(аг). Из теоремы Лагранжа следует, что сггУ = ЬР(аг + ВгЬ) = Ь (Д, (аг + ВгЬ, аг + И) — Д, (аг + В, Ь, аг)) . В силу того что функция Д (хы хг) диффереицируема в точке У = а, Д, (а г + Вг И, аг + Ь) — У', (ам аг ) = Вг И /",х, (а) + 'Цх,х, (а) + о(И), Д, (а1 + Вг И, аг) — Д, (аы аг) = 01 ЬД ~, (а) + о(Ь). Следовательно, кгУ Ьгг „(а)+о(Иг), С другой стороны, 1гУ,г( + Ь) где 01(у) = Дог + Ь,у) — ~(ам у). Аналогично предыдущему получим Дг г = ЬгУ,"„(а) + о(Иг) Таким образом, ~„„(аьаг) = ~„„(аьаг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
