Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Поскольку Н! ф О, применяя предположение индукции к функциям 1з(х, У),..., ~,»(х, У), получим, что существуют функции У! = Ф1(Х Уп~),... У~»-1 = Ф~»-1(Х, Ум), удовлетворяющие условиям Ь(х,Ф1,".,Фпв-1,ут) = О, У= 2,...,1н для любой точки (х, у,„) в некоторой окрестности Па точки (а,6»). Подставим теперь Ф1,...,ф,» ! в функцию У!(х,у), Имеем: ~1 (Х, Ф(Х, Уюп),, Фпз-1(Х, Упз), Упз) = Ф(Х~ Упз) Покажем, что ~~ фО в точке (а,6,„).
Действительно, дФ д~! дФ! дЛ дФ -! дЛ + + + дуп~-1 дут дупл дну, ду! дую д~л дФ! дуг дат-1 ду! + + +. ду! дую ду ! ду 'ду ду дФ ! дУ дУ дФ! + + + ду! ду дупл-1 дупл дую Домножим первое уравнение на Н1, второе — на Нз и т.д. Сложим получившиеся выражения, В результате будем иметь дФ Н вЂ” =Н, дупл так как при х ф.п! справедливо равенство ду, ' дуь а при /с = и! эта сумма равна Н. Далее, поскольку Н и Н! не равны нулю, дФ Н вЂ” = — ф О. дУт» Н1 ззэ Следовательно, по теореме о неявной функции суцгествует единственная функция у,„= у„,(х), такая, что ~~(х,1р(х)) = О в некоторой окрестности Й точки а, где у1(х) =- ф1(х,~р (х),...,1р„, 1(х) = ф,„1(х,1р (и)). При 1г = 2,..., ш в области П имеем 1ь(х, 1р(х))— : О.
В силу инвариантности.формы первого дифференциала при (р 1,..., ш имеем О = ау» = — Нх1+ + — дхр+ — ф1(х)+ + — Ы1р„,(х). .дЬ дЬ дБ . дЬ дх1 дхр ду1 ' ду В векторном виде это можно записать так: Вдх +'Аду(х) — О, где Далее, имеет место равенство ду(х) =,У. (х)дх, Таким образом, получим А3 (х)Мх+ Вдх = О, те.
(У„,(х)+ А 'В)яхт = О Итак, линейное отображение переводит любой векслер Ых Е 11Р в нулевой вектор. Следовательно, это нулевое отображение н У„(х) + А 'В = О, т.е. 1„,(х) = — А 'В. Теорема доказана полностью. 340 С л е д с т в и е (теорема об обратном отображении). Пусть гладкое отображение у: р» -+ %» в окрестности точки й = а, невырожденное в этой точке. Тогда существует обратное гладкое отображение Ф(у) = 1а '(у), определенное в некоторой 6-окрестности точка 6 = р(а), те. такое отображение, что 4г(1»(х)) = х, причем матрица Якоби ЗЧ отображения Ф(у) равна До и а э а»1 е л ь с»1 е о. Эта теорема является прямым следствием теоремы о системе неявных функций.
Надо только записать равенство у — 1а(х) = О в виде системы неявных функций Л(й У) = р (и) — у =О !п(х у) = р»(х) — у» =О. а затем по этой теореме выразить й через у. | 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Определение 1. Пусть Й вЂ” соласть точек 2», на которой опре.- делены гладкие функции 1а1(х),...,1а (х), п1 ( п. Тогда множество П, С П решений системы уравнений р(х) = О, и = 1,..., гп, называется многообразнем, порожденным функциями у1,..., р,„. Уравнение 1еа(х) = О называется уравнением связи для многообразия П1. Онределеняе 2. Точка а называется точкой условного локального максимума на многообразия П, если в некоторой окрестности точки а для любой точки х, принадлежащей этой окрестности и многообразяю П, справедливо неравенство г(т) ( Да), Аналогично определяются точки условного локального минимума и экстремума.
Замечание. Если связи отсутствуют, то условный локальный экстремум называется безусловным экстремумом. Определение 3. Точка а функции Дх) называется особой, если кгад Да) = О, и неособо||, если йгас(~(а) ф О. Определение 4. Многообразие П1 называется невырожденным, если для любой точки и б п1 векторы градиентов Ф, = йгад р,(х) при е = 1,..., п1 являются линейно независимыми.
341 Т е о р е м а (необходимое условие условного экстремума). Для того чтобы неособая точка о функцян ~(х) была бы точкой условного экстремума функция ~(х) на невырожденном многообразии Йм необходимо, чтобы вектор Г = кгаб /(х) в точке х = а выражался в виде линейной комбинации градиентов Ф1 = кгэс1 р1(х),..., Ф = кгаг1 р (х) в этой точке, т.е. чтобы существовали вещественные числа Лм, ..,Л такие, что Р=Л1Ф1+.
+Л Ф Утверждение этой теоремы допускает следующую переформулировку для практического нахождения условного экстремума. С л е д с т в и е (метод множителей Лагранжа). Пусть Лм..., Л вЂ” независимые веществеяные переменные. Рассмотрим функцию Лагранжа Ь(х, Л) = /(х) — Л~~р1(х) — . — Л,„у,„(х). Для того чтобы неособая точка а функции у(х) была бы точкой условного экстремума этой функцян на невырожденном многообразии Йм необходимо, чтобы пря некотором Л = Ле имело место равенство йЬ(х,Л)1,, „„, = О, т.е.
чтобы все частные производные функция б(х, Л) по переменным х, н Л„обращалнсь в нуль. Д о к а э о ги е л ь с эг е о следствия. Если мы приравняем к нулю частные производные по переменным Л„то получим уравнения связи. А если продифференцяруем по х„е = 1,...,и, то получим условие выражения градиента функции у(х) в виде линейной комбинации градиентов функцяй р,(х), что по теореме и является необходимым условием. Следствие доказано. Д о и о э а п» е л ь с т е о теоремы. Идея доказательства состоит в том, чтобы найти и — ги.
линейно независимых векторов а +и..., а„б Й" таких, что каждый из этих векторов одновременно перпендикулярен вектору Р и векторам Фм...,Ф . Отсюда будет следовать, что линейное пространство 1., состоящее из всевозможных линейных комбинаций этих векторов, обладает свойством Р 1 Ь и Ф» Л. 1., й = 1,..., т. Ортогональное дополнение пространства 1., т.е, пространство 1.~, состоящее из всех векторов й б )к", ортогональных к 1, содержит вектора Р и Фм..., Ф .
Размерность пространства 1.» равна и-ги. Поскольку вектора Фм..., Ф вЂ” линейно независимы, они образуют базис 1.. Следовательно, вектор Р есть линейная комбинация векторов Ф!, ", Фт. Заметим, что на самом деле й. состоит из всех векторов, лежащих в каждой из касательных плоскостей к поверхностям у,(х) = О, в = 1,..., пт, в точке й = а. Итак, осталось указать векторы ап...,В„Е 1.".. Их мы будем выбирать следующим образом. Без ограничения общности можно считать, что Р(а1' ' ' ' ' у ) Ф О Р(х,,...,х„,), По теореме о системе неявных функций в некоторой е-окрестности точки а Е Ж" существует гл гладких функций ф1(у),...,4 (й), где й = (а' +м..., х„) таких, что МФ1 (Х),, Ф (Х); х) = О, а также 1аь(Ф1 (йа) Фна(уа), йа) = О, (тЛ1(йа),, ф,„(йа), йа) = а.
Пусть е, — направляющий вектор оси Ох„т = гл+ 1,...,и. Рассмо- трим функции Ль, (С) = Фь(Ф1(да+Се.),,4~р,(да+ Сес), Ба+ Се,) = О, где Л = 1,...,тп, а также функцию Ла,(С) = уЯ1(да + Сег),, З'м(йа+ Се.,) йа+ Се,.). В точке С = 0 производные всех функций равны нулю: у первой, ..., гл-й — потому, что они есть тождественно равные нулю функции, а у функции Ла,(С) — потому, что точка С = 0 должна быть точкой локального экстремума этой функции. Вычисляя Ль,(с)~ по теореме о производной сложной функции, ~с=а получим дрь д41 дух дФ дааь Л'„(С)~ = — — +" + — — + —, дх1 дх„дх дх„дх, ' Л',„(С)),,= — — + "+ — — + д~ д~Л~ дУ д4 дх1 дх, дх„, дх, дх, где Л = 1,..., гл; г = гп ~- 1,..., и; т.е, имеем Л1„(С)/, = (Фь,о,) =О, Ла (С)~, = (Р,о,) =О, причем б, = —,...,—,0,...,1,...,0 число 1 находится на щ+ г-м месте. Таким образом, все векторы б +,,..., а„перпендикулярны каждому из векторов Р, фы ..фь, при этом, очевидно, векторы ф,,...ф в силу невырожденности многообразия По будут линейно независимы.
Теорема доказана. 1 12. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. МАТРИЦА ЯКОБИ Покажем, что матрица Якоби отображения у: 3à — 4 %"' обладает некоторым важным свойством, аналогичным свойству производной функции, Определение 1. Пусть отображение о: %" -+ 1к'ь определено в некоторой окрестности точки х = О.
Тогда будем говорить, что а(х) есть о-малое от длины вектора х, я обозначать это так: о(й) = а()х)), 1(Ьх) + о(1Ьх1). Обозначение: 1(Ьх) = о(у'(х)1я о 1 а . Если существует дифференциал отображения в точке, то оно называется дифференцируемым в этой точке. Дифференциал отображения можно определить следующим равенством: Утверждение 1. Если дифференциал отображения существует, то он определен однозначно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
