Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 58

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 58)

Теорема доказана полностью. Рассмотрим некоторые следствня из теоремы 3. а„+1 О»+1 1 — — >а или — <1 — а. а» О» Для рвсходнмостя в этом случае имеем О»+1 О»+1 — — 1 > О или — > 1. а» а„ Таким образом мы получаем новое доказательство признака Далам- бера. С л е д с т в и е 2. Положим с„= п — 1. Тогда сходимость ряда 2 а„имеет место при выполнении условяя а„+1 а+ 1 т.е. — < 1 — —. Ол и О»+1 и — 1 — и — >а, О» Рвсходвмость ряда ~ а» наступает при условии с„=п — 1, в — — (и — 1)>О, те.

— >1 — —. О»+1 о»+ 1 1 а„ а» и Другими словами, мы получаем признак Раабе. С л е д с т в н е 1. Полсжям с„= 1 для всех и. Условие сходимости ряда ~„а„тогда запяшется в виде: С л е д с т в и е 3 (признак Бертрана). Ряд 2 а„, а„> О сходятся, если существует а > О и номер пе такие, что при всех и > ке выполнены неравеяства а»+! 1 1+а — <1 — —— а„п и 1пп' 2.

Данный ряд расходятся, если при всех достаточно больших и имеет место неравенство а»+! 1 — >1 — —— а» и и!пп' Д о к а з а тк е л ь с к! е о. 1. В качестве с„в признаке Куммера положим с„= (к — 1) 1п(п — 1). Тогда условие сходимости в нем запишется так: (и — 1)1п(п — 1) — п!пп — "+ > о, а» т.е. а„а! 1 (и — 1)!п (1 — 1/и) а — <1 + а» и и 1п и п1пп Далее, поскольку (к — 1) )п(1 — 1/и) = 1п(1 — 1/и)" ' > -1, неравенство (») вытекает из следующего неравенства: а„а! 1 1+ а 1 (и — 1)!п(1 — 1/и) а — <1 — —— <1 а„п п!пп и п1пп и!пп т.е, вьпюлнение условия сходимости в признаке Бертрана обеспечивает справедливость условия сходимости в признаке Куммера. Таким образом, признак Бертрана для сходимости ряда доказан. 2.

Положим в признаке Куммера с„= (и — 2) )п (и — 1). Тогда расходимость ряда 2',а„будет иметь место, если выполнено неравенство (и — 1) 1пк — "+' — (и — 2) 1п(к — 1) > О. а„ Достаточно показать, что оно является следствием условия расходн- мости в признаке Бертрана вида а»+1 1 1 — >1 — — —— а„п п1пк' т.е. доказать при всех и, больших некоторого ие, следующее неравенство: — >1 а„+1 1 1 и — 2 1п(и — 1) > а„и и1пи и — 1 1пи Оно, в свою очередь, вытекает из следующей цепочки неравенств (и > 3): !и (1 — 1/и) < — 1/и, 1 1 / !п(1 — 1/и)1 и — 2 !п(и — 1) > 1 ~~1+ -д~ !пи,) и — 1 1пи Таким образом, признак Бертрана полностью доказан. Простым следствием признаков Даламбера, Раабе и Бертрана является признак Гаусса.

Т е о р е м а 4 (признак Гаусса). Если а„> О для всех натуральных и, е > Π— некоторая постоянная и ໠— =Л+ — +0(и ' '), а»+~ и то: 1) ряд 2 а„сходятся пря Л > 1 и расходится при Л < 1; 2) если Л = 1, то ряд сходится пря р > 1 н расходится пря р < 1. ,/! о к а в а т е л ь с га в о. 1) Имеем Р„= а„~~/а„-э!/Л при и -~ со, поэтому по теореме 5 т2 ряд 2,'а„сходится при Л > 1 и расходится при Л < 1, что и утверждалось в п: 1).

2) Если Л = 1 и р ф 1, то В„= и(а„/а»ы — 1) -~ р Поэтому согласно замечанию к теореме 2 ряд сходится при р > 1 и расходится при р < 1. Если же Л = р = 1, то при некотором ее > О и.и -+ оо имеет место предельное соотношение "+' =! — -+0(и-'-"). а„и Но поскольку 1и и = о(и"), при всех достаточно больших и выполнено неравенство а„е~ 1 1 1 — = 1 — — +0(и ") > 1 — — — —. а» и и и!пи Таким 'образом, при Л = р = 1 ряд 2,'а„расходится по признаку Бертрана.

Теорема 4 доказана полностью. 364 2. Поскольку в этом случае интеграл ) /(и) Ыэ расходится, ! ) /(х)!1х -++со при и -+ со. Но так как ! а эа > аа-! > ( /(Х)!!Х, ! то и э„ -+ +со при и -+ оо. А это означает,что ряд ~ /(и) расходится вместе с ридом ~ р„, для которого первый ряд по условию является минорантой. Теорема 5 доказана полностью. Замечание. Очевидно, что в условии теоремы 5 интеграл )' /(х) 4х ! можно заменить интегралом ) /(в) сЬ, где а > 1 — произвольное а число.

Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из интегрального признака. 1. Ранее мы доказали, что при э > 1 ряд ~ 1/и' сходится. г=! Его сумма обозначается символом !,(э) и называется "дзета-функпией Римана". Дадим другое доказательство сходимости этого ряда, Действительно, при таких значениях э несобственный интеграл 1 х '!1х ! сходится и легко вычисляется. Имеем Следовательно, по теореме 5 ряд ~„п ' тоже сходится, что и требовалось доказать, Если же а ( 1, то интеграл ) в *!)х расходится, а ! вместе с ним расходится и ряд ~ 1/и*. «=! Замечание. Ряд ! 1/и' при некоторых значениях э впервые «ж! рассматривал Л.

Эйлер. Более того. при э, равном четному натуральному числу, он нашел точные значения для его суммы Дэ) Позднее Б. Риман определил функцию !,(э) для всех значений аргумента в, исключая точку э = 1, причем не только вещественных, но и комплексных. Он детально исследовал свойства этой функции, и поэтому она носит его имя, Дзета-функция Римана играет огромную зев роль в теории чисел.

Относительно некоторых свойств этой функции Риман высказал ряд гипотез, которые давно уже доказаны. Все, кроме одцой. Она известна как гипотеза Римана о нулях ~-функции. На сегодняшний день зта гипотеза вместе с последней теоремой Ферма являются двумя самыми престижными математическими проблемами. 2. Валле Пуссен показал [35], что при г > 1 справедливо равенство причем ряд в правой части сходится при э > О.

Действительно, общий член р„ последнего ряда можно представить в виде э+1 0 <р„= — — —, Их< —— и о=1 3. Опираясь на интегральный 1 = г' г ° ~т~. Имеем признак, исследуем сходимость ряда — о' 2 Нх (х + 1)1пэ (х + 1) т.е. несобственный интеграл сходится и потому рид ~ р„тоже сходится. Следовательно, ряд ~,'р„сходится при э > О. Равенство 1э) при э > 1 получим, раскрывая скобки в правой части его и используя при тех же э равенство Лекция 4 1 4. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ.

РЯДЫ ЛЕЙБНИЦА Мы снова возвращаемся к рассмотрению числовых рядов общего вида. Определение 1. Ряд 2 а„называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд 2 ~а„~. Ясно, что всякий сходяШийся ряд с неотрицательными членами абсолютно сходится. В то же время легко построить сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся. В качестве примера можно привести следующий ряд: 1 1 1 1 1 1 — 1+1 + — — + + —— 2 2 3 3 4 4 Его сумма равна нулю, и в то же время ряд, составленный из модулей его членов, расходится в силу расходимости гармонического ряда.

Определение 2. Сходящийся ряд 2 а„называется условно сходящимся, если ряд 1 ~а«~ расходится. Согласно этому определению, рассмотренный выше ряд является условно сходяшимся. Заметим, что про абсолютно (или условно) сходящийся ряд говорят еше, что ряд сходится абсолютно (или условно). Целесообразность введенных понятий подкрепляется следуюшей теоремой. Т е о р е м а 1.

Если ряд 2,'а„абсолютно сходится, то он является сходящимся. Д о х в з а га е л ь с т в о. По критерию Коши из сходимости РЯда 2 )а«~ следУет, что пРи любом е > О найдетсЯ номеР пв(е) такой, что при всех р > 1 и и > и (е) имеем » .!.г )а ( < е, м=»+1 откуда » лт «+р а < ~~ ~а ( < е. т=»+! т=«+! Но это означает выполнение критерия Коши. Теорема 1 доказана. 368 ОпРеделение 3. Числовой РЯд 2, ап называетсЯ з~акочеРедУюшимся, если все его соседние члены имеют разные знаки. Определение 4. Знакочередующийся ряд вида ~ ап называется рядом Лейбпипн, если модуль его обшего члена ~а„~ монотонно стремится к нулю. Т е о р е м а 2.

Всякий ряд Лейбница ~',ап сходится. Я о к а з а т е л ь с гн е о. Покажем сначала, что всякий отрезок п.1-р чтото ряда мажорируется модулем его первого члена. Пусть ~, а,„ п1=п+1 — некоторый отрезок ряда. Мы хотим доказать неравенство вида Ф и+р в=п+1 Положим Ьк = )ак! при всех Ь б И. Тогда (ак + ок+1( = (ак ! — ~ак+1~ = 61, — Ькпг < Ьк. Кроме того, при всех Ь числа (ак+акк1) имеют один и тот же знак. Следовательно, при четном р = 2р имеем О < ~еп +1 + ап+г+ .. + ап+гг 1+ оп+2,~ = = (Ь1 — Ьг) + ..

+ (Ьг,, — Ьы') = Ь1 — (62 — Ьз) — . — (62~ — 2 Ьгп 1) — Ьгг < Ь1 =1оп+1!. Если же р = 2г+ 1 нечетное, то О < !оп+1 + ' ' '+ ап+гк +1! = (Ь1 — Ь2) + . + (Ьгг-1 — 62г) + Ь2г.1.1 = Ь1 (Ьг — Ьз) — . — (Ьгг — Ьгг+1) < Ь1 =!а„+11. Таким образом, в обоих случаях действительно и+р а,„< ~апК1! = 6п+1. тп пз=пЧ-1 Но теперь, так как 6п+1 -+ О, мы при любом наперед заданном 6 ) О и достаточно большом п имеем Тп,р < 6п.1.1 < Г, откуда в силу произвольности р, исходя из критерия Коши, заключаем, что РЯд 2 ап сходитса. ТеоРема 2 доказана.

369 Т е о р е м а 3 (оценка остатка ряда Лейбница). Для остатка г« ряда Лейбница 2 а«справедлива оценка !г«(< (а«кк(. Д о к а з а о! е л ь с и! в о. Согласно теореме 2 ряд 2,'а« сходится, поэтому «з»«+ ! Заметим, что при доказательстве теоремы'2 для любого натурального р нами получена оценка «ко < ~ж„+!(. ° и»»+1 Устремляя р ~ со, получаем требуемое неравенство. Теорема 3 доказана.

Характеристики

Список файлов книги