Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 59
Текст из файла (страница 59)
1 5. ПРИЗНАКИ АБЕЛЯ И ДИРИХЛЕ Признаки Абеля и Дирихле применяются при доказательстве достаточно широкого класса числовых рядов общего вида. Доказательство обоих признаков основано на формуле дискретного преобразования Абеля, которую мы сейчас докажем. к Т е о р е м а 1. Пусть Ак = ~, 'а . Тогда при М ) (!' имеют «и+! место формулы: м-! акЬк = АмЬм + ~~~, Ак (Ьк — Ьк+!); м М акЬк = АмЬм+! + ~ Ак(бк — Ьк+!) (2) к=и+1 к»Ф+! Д о к а з а в! е л ь с и! в о. Заметим прежде всего, что правые части формул равны между собой, так как, вычитая правую часть формулы (2) иэ правой части формулы (1), получаем АмБм — АмЬм+! — Ам (бм — Ьм+!) = О. Следовательно, достаточно доказать только формулу (1).
Преобразуя ее правую часть, имеем м-! м-! Амбм + ~ Ак (Ьк — Ьк+!) = АмЬм + ~~', Акбк — ~~!, АкЬк+! = к»У+1 к=к+! к»Ф+! зто М м м — А»б» — ~~', А16! = Ак+1бк+! + ~~', (А» А» — !) Ь» = !с« К+1 1= К+2 К=К+2 М М = ак+!Ьк+! + ~~~ а»6» — — ~~с а»6». »=и+2 »«К+! Тем самым теорема 1 доказана. Признаки Абеля и Дирихле применяются к рядам вида ~',а«6«. Т е о р е м а 2. Справедливы следующие утверждеиия. (А) (признак Абеля). Если последовательность 6« монотоииа и ограиичеиа, а ряд ~ а«сходится, то ряд ~, а«6« также сходится.
(Д) (признак Дирихле). Если последовательиость бп моиотоииа и 6« -+ О при и -+ оо, а последовательность рп частичных 'сумм ряда ~" ап ограничена, то ряд ~ а«6« сходится. Д о к а э а пс е л ь с сп е о. Ограничимся рассмотрением случая, когда 6« > О и Ьп убывает. Все прочие случаи легко сводятся к данному следующим образом.
Если 6« < О, то надо изменить знаки у всех ап и 6«. Если же Ь„ (, то 6« надо представить в виде Ьп = Ье — 4„, где Ье = 11п! Ьп, и свести теорему к исследоваиию ряда пс<п а„с(„. Здесь уже имеем 4„ Доказательство теоремы проведем, применяя критерий Коши к ряду ~а„б„. Для этого применим формулу (1) преобразования Абеля к отрезку этого ряда Т„р. Используя обозначение А» = р» — рп и учитывая, что Ь» — Ь»+! > О, получим «+р — 1 и+р (Т«р( = ~~ П1,Ь1, = Ап+рбп+р + ~ А1, (Ь» — Ь1,+1) < »=и+! »=«+1 «+р-1 < )А«+р)бп+р+ п!ах (А»( ~~с, (Ь» — Ь1с+1) < п<»<п+р !с=«+1 < П1аХ (А») Ьп+1.
п<»<п+р Рассмотрим теперь случай (А). Поскольку 6„ ограничена, при иекотором с > О для всех и имеем (Ьп+1( < с. Далее, так как ряд ~ ап сходится, то для любого е > О найдется номер пе(е) такой, что при всех и > пе (е) и й > и имеем (А»(= ~~~ а = (р» — в„) < (р»)+ (р„( < е. пс=п+1 зт1 Тогда при указанных и и любом р для величины Т„р справедлива оценка и+р )Т„р! = ~~~ аьбь ( сс. а=и+1 Но так как с произвольно, а с фиксировано, то последнее неравенство означает, что ряд 2 а„б„удовлетворяет критерию Коши и поэтому сходится. Тем самым признак Абеля доказан. В случае 1Д) ограничены частные суммы Аь ряда 2 а„, и поэтому существует с, для которого )Аь! ( с при всех 6, Кроме того, 6„-+ О. Следовательно, при произвольном с > О, достаточно большом и > ас (е) и произвольном р > 1 имеем оценку ч+р ~Т„р~ = ~~> аь6ь < сс.
ь=п+1 Отсюда, как и в случае А, заключаем, что по критерию Коши ряд 2',а„6„сходится. Теорема 2 доказана полностью. Лекция 5 6 6. ПЕРЕСТАНОВКИ ЧЛЕНОВ РЯДА Определение 1. Пусть а: 1» -+ 1ч — взаимно однозначное отображение натурального ряда яа самого себя. Тогда ряд ~ 6», где 6» = а 1»1, называется перестановкой ряда ~а„. Т е о р е м а 1.
Любая перестановка ~ 6» абсолютно сходящегося ряда ~ аи = А абсолютно сходится к той же сумме А. Л о к а з а т е л ь с !и в о. Положим ии и и »0 и А = ~и аи, Аи = ~ ~ак, Ви = ~~! Ьк, А' = ~~! (ак(,А'„= ~~! (ак(. и»а кип к=1 к им к им Зафиксируем некоторое е > О. Пусть и! настолько велико, что А' — А'„, < г. Тогда при любом п > и! для остатка ги = А — Аи ряда аи имеем оценку (г„(= ~~! ау, < ~~~ (ак(= А' — А„', < ю к=и,~-~ к=и~-1 Пусть теперь пт таково, что среди чисел а(1), ...,а(пт) содержатся все целые числа отрезка [1,п!). Положим га = гпах(а(1),..ии(пт)). Тогда при всех и > пт имеем и п и! !» ! Ви = ~~! 6к = ~~! а„1к1 = ~~ ак+ ~~! ак.
кип к=»,+к кап Штрих в последней сумме означает, что некоторые слагаемые в ней опущены. Для втой суммы, очевидно, имеют место оценки ак < ~~! (ак( = А' — Аи < А' — А'„< е. (Ви — Аи,( = Кии,+~ к=и,+к Отсюда следует, что при всех п > пт (А — Ви( < (А — Аи,(+ (Ви — Аи,( < (А — Аи,') + ~А' — А„,) < 2ж В силу произвольности выбора с > О зто означает, что Ви -+ А при и -+ оо, т.е. ряд ~ 6» сходится и ~ 6» = ~а», Отсюда, в частности, зтз следует, что и ряд ~ (Ь„( сходится к сумме А', т.е, ряд ~', Ь„сходится абсолютно. Теорема 1 доказана полностью. Основное отличие в свойствах абсолютно и условно сходящихся рядов обнаруживается при перестановке их членов. Как показывает теорема 1, бесконечная сумма абсолютно сходящегося ряда в этом случае ведет себя точно так же, как и конечная сумма, т.е.
при перестановке слагаемых сумма не изменяется. Гораздо более сложная ситуация имеет место для условно сходящегося ряда. Тем не менее, она достаточно полно описывается следующей теоремой, Т е о р е м а 2 (теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда). Каково бы ни было вещественное число А, найдется сходящаяся перестановка ~ Ь„условно сходящегося ряда ~а„ такая, что ~ 6„= А. ,Ч о к а з а щ е л ь с щ в о. Для простоты будем считать, что а„ф О при всех и. Сначала в ряде ~, а„выделяем все положительные слагаемые рь и отрицательные слагаемые — яь нумеруя их индексами й и 1 в порядке следования в ряде ~,а„. Затем составляем перестановку ~;6„ ряда ~ а„: в качестве 61 берем ры если А > О, и — йы если А < О.
Подчеркнем, что все рх и д~ положительны. е Далее мы добавляем в общую сумму ~', Ь очередные слагаемые лью1 цо следующему правилу: если сумма не превышает А, то добавляем очередное положительное слагаемое Ь„ч.1 — — рао а если она превосходит А, то добавляем очередное отрицательное слагаемое Ь„ч.1 = -д~,. В результате этого сумма все время колеблется вокруг значения А, причем размах колебаний постепенно убывает до нуля, и в пределе для суммы ряда ~6„мы получаем требуемое значение А.
Для того чтобы доказательство теоремы было полным, достаточно в приведенной схеме обосновать только некоторые ее моменты. Докажем, что оба ряда ~'рь и ~', ( — д~) расходятся. Действительно, если бы оба они сходились, то исходный ряд ~',а„сходился бы абсолютно, а если бы один ряд расходился, а другой сходился, то частичная сумма ряда ) а„, составленная из двух частичных сумм рядов ~ рь и ~д~ соответственно, тоже расходилась, что неверно.
Далее заметим, что поскольку (рь) и ( — д~) являются подпоследовательностями для (а„), рь -+ О при /с -+ оо и — <и -+ О при ! -+ со. Для определенности будем считать, что А > О. Тогда по построению ряд Ь„ имеет такую структуру: +рк,+1+ '+ рь, — й,+1 — ' ®, + Здесь числа Ры Р2,...,ЯмЯю обозначают суммы подряд идуших слагаемых одного знака в ряде ~ 6„. Количество групп слагаемых одинакового знака в этой сумме бесконечно, так как в противном случае ряд 2'Ь„отличался бы от 2 рь или от ~( — е) лишь конечным числом членов, и тогда он расходился бы к +ос или к — оо соответственно.
Но это не имеет места, так как по построению величина частичной суммы э„ряда на каждом шаге изменяется в направлении приближения к числу А, если только э„ ф А. В силу этого, в сумму 2 6„ войдут все числа рь и — дь а следовательно, и все а„, т.е. 2 ,'Ь„ — действительно перестановка ряда 2„ а„. Теперь оценим разность г„ = э„ — А.
При всяком и член ряда 6„ в зависимости от своего знака попадает в одну из сумм Рэ или Я Следовательно, мы имеем одно нз равенств: 6„ = ра или 6„ = — йь По построению ряда ,'>'6„ величина г„ меняет знак в том случае, если 6„ = рь„ или 6„ = -д~„. Тогда в 'обоих случаях имеет место оценка )г„) = )в„— А) < )6„1 Для всех прочих э при добавлении очередного слагаемого )г„) значения частичной суммы э„от числа А убывает, поэтому тогда справедливо неравенство )г„) < )г„1).
Следовательно, всегда ямеем )э„— А) < рь„+ д~„+ щ„, . Здесь номер гп можно рассматривать как монотонно стремяшуюся к бесконечности функцию от и, н поэтому для последовательности а„, где и„= рэ„+д1 +й~„,, в силу того, что рь и д~ -+ О при й и ! -+ со, имеем Ы„-+ О при и — ~ оо. Отсюда при п — ~ оо окончательно получим г„= э„— А -~ О и э„-э А. Теорема-2 доказана. Лекция 6 1 7. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД СХОДЯЩИМИСЯ РЯДАМИ Мы уже встречались с некоторыми действиями над числовыми рядами такими, как почленное сложение, одновременное умножение всех членов ряда на одно и то же число, перестановки членов ряда.
Все эти действия будем называть арифметическими операциямн над рядами. Кроме того, здесь мы рассмотрим и другие математические операции, а именно: расстановку и раскрытие скобок, а также операцию умножения рядов. Начнем с наиболее простого — с расстановки скобок. Утверждение 1. Если в сходящемся ряде ~ а„некоторые группы слагаемых заключить в скобки, то его сходимость не нарушится и сумма не изменится. Д о к а з а гп е л ь с пг в о. Любая формальная расстановка скобок в бесконечной сумме ~;а„приводит к новой бесконечной сумме вида (аг+ . +ах,)+(аь,+г+-. +ах,)+...=Ьг+Ьг+ где при з = 0,1,... имеем 6, = аь,,+г + -. + аь, и йо —— О.
Очевидно, что последовательность (В,) частичных сумм ряда ~„6, не что иное, как подпоследовательность 1Аь,) частичных сумм ряда ~ а„. Но так как всякая подпоследовательность сходится к тому же пределу, что и сама последовательность, то для Аь -+ А имеем, что В, = Аь, -+ А при в -+ оо,,что и требовалось доказать. Пример сходящегося ряда (1 — 1) + (1 — 1) + . = 0+ 0+ ... = 0 показывает, что обратное утверждение не всегда справедливо. Однако имеет место, например, следующее утверждение. Утверждение 2.
Пусть ряд, составленный из скобок, сходится к сумме В, точнее, пусть ~ 6„= В, где Ь„= (а„'г+ + а„ь), причем й фиксировано, и пусть каждая из й последовательностей является бесконечно малой, т.е. а„, -+ 0 прн п -+ со и всех в = О,, lс. Тогда в ряде ~ 6„можно раскрыть скобки. Другими словами, ряд ам+ага+ +аы+агг+. =аг+~1г+ .+А +А+1+ где 4,.1п л)т, — — а„,, сходитсЯ, пРичем к той же самой сУмме, что и ряд 7 6„. Д о к а з а т е л ь с пг в о. Оно тоже очень просто вытекает из свойств сходящихся последовательностей. Действительно, для 376 частичных сумм П«и В рядов ~'4, и 2 Ь при и = Ьт имеем равенство Ок„= В„, -+ В при гп-+ оо.
Заметим, что разность а„= 11„— кг»~ при т = [пЯ и к = и — Ьт равна о„=А, .»1+ +а» е, — — а,„1+. +а А так как а, при любом а = 1,..., Ь вЂ” бесконечно малая величина при т -+ со, то поскольку т -+ оо при и -+ оо, имеем [а„[< [а 1[+ + [а,[ < [ам|[+. + [ам„[-+ О, а„— + О, 0„= 0~» + а„— + В + О = В. Утверждение доказано. Заметим, что если в некоторых скобках содержится менее Ь слагаемых, то можно подразумевать вместо отсутствующих слагаемых нули.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
