Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Д о к а з а т е л ь с гн в о. Пусть 1~(Ьх) и 1о(Ьх) — дифференциалы отображения Дх) в точке х = а. Положим 1(Ьх) = 1~(Ьх) — 1о(Ьх). Из неравенства треугольника имеем ЙЬХ)1 < !АУ(х) — 1о (Ьх)1+ !ЬУ(х) — 1г(Ь*)1 В силу определения дифференциала отображения отсюда получим 1пп . =О.
11(Ьх) / ая- о 1Ьх/ 344 Определение 2. Линейное зывастся дифференциалом если Ьу(х) = если 1пп = О. )а(х)) хео ф отображение 1(Ьх) из Й" в Ь наотображенин у(х) в точке й = а, Далее, поскольку отображение 1(Ьх) — линейно, для любого прира- щения Ьх будем иметь /1(Ьх) / !1(1Ьх) / !1ьх/ а-+о /1Ьх/ Таким образом, отображение 1(Ьх) переводит все линейное пространство в нулевой вектор.
Следовательно, отображение 1(Ьх) — нулевое, что и требовалось доказать. Утверждение 2. Пусть 1'(х) — диффереицируемое отображение. Тогда имеет место равенство Ь|(х) =,71(а) Ьх+ о(~Ьх~), где выражение,71(а) . Ьх понимается как умножение матрицы Якоби /1(а) на вектор Ьх. Д о к а з а гп е л ь с т и о очевидно. Приведем еше несколько свойств дифференциала отображения, которые непосредственно выводятся из его определения. 1 .
Дифференциал д~(х) отображения у(х) существует тогда и только тогда, когда существуют все дифференциалы' Н~к(х) функциЯ 1ь(х), 1(х) = ф(х),..., Д,(х) ) 2е, Если отображение у = д(х) дифференцируемо в точке а, а отображение 1(д) дифференцируемо в точке 6 = д(а), и образ некоторой окрестности точки а при отображении д содержится в некоторой окрестности точки Ь, то отображение 6(х) = 1(д(х)) дифференцируемо и оь(х) = /1(д(х)) де(х). Зв. Отображение у':)й" -+ Же', которое является гладким в некотором шаре 0(а,е), а б 2", е ) О, заведомо будет дифференцируеь1ым во всем шаре 0(а,е).
'ЧАСТЬ 1П ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. В последнее время в преподавании университетского курса математики наметился отход от излишней абстрактности изложения в сторону его содержательности. До язвестной степени это перекликается с представлениями математиков прошлого. Прекрасным примером сочетания четкости изложения с конкретностью и идейной ясностью является учебник Ш.Ж. ла Валле-Пуссена "Курс анализа бесконечно малых" (Л.; М., 1933), который во многом служил для нас образцом. Эта часть книги охватывает материал, излагаемый в третьем семестре, в рамках курса математического анализа на механикоматематнческом факультете МГУ.
Как мы отмечали в предисловии к первой части, замысел этого учебника предполагает соединение краткости изложения, свойственной конснекту лекций, с доступностью и полнотой учебника. С другой стороны, наша концепция курса включает в себя выделение роля понятия предельного перехода во всевозможных его проявлениях как фундаментальный принцип изложения предмета, Следует также отметить, что материал третьего семестра несет в себе наиболее существенные элементы всего курса математического анализа, связанные с одновременным рассмотрением и перестановкой порядка выполяения нескольких предельных переходов в сочетании с понятием двойною предела.
Здесь мы рассматриваем такие приложения общей теории, как бесконечные произведения и бесконечные определители, основы теории эйлеровских интегралов, задача Кеплера о движении двух тел и функции Бесселя, формула Лагранжа для обратной функции, обобщающая формулу Тейлора. формула суммирования Пуассона и вычисление точного значения суммы Гаусса. Другое приложение теории — это изложение асимптотических методов Лапласа и стационарной фазы, являющихся, как известно, вещественной интерпретацией метода перевала в теории функций комплексного переменного. Обратим внимание читателя на то обстоятельство, что лекции, в которых излагается материал приложений, как правило, превосходят по объему отдельные лекции, содержащие теоретические основы курса. Заметим еще, что выбор приложений обусловлен нашим стремлением привить студентам определенный математический вкус и любовь к предмету.
Глава Хч ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Лекщаи 1 1 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ. КРИТЕРИЙ КОШИ Эта часть курса математического анализа охватывает три большие темы, а именно: 1) числовые и функциональные ряды; 2) интегралы, зависящие от параметра; 3) ряды и интегралы Фурье. Заметим, что третья тема при формальном подходе должна быть отнесена к двум первым, однако ввиду особой важности и специфических особенностей ее традиционно выделяют в самостоятельный раздел. Изложение материала начинается с числовых рядов. Понятие числового ряда вскользь рассматривалось еще в первом семестре при изложении темы о числовых последовательностях. Теперь остановимся на этом вопросе более детально.
Напомним основные определения. Определение 1. Пусть (а«) — произвольная числовая последовательность. Числовым рядом нлн просто рядом называется формальная бесконечная сумма о вида о = аг +аг+ аз+ Обычно используется следующая 'сокращенная запись: о'= у а„, ««1 или просто 2 а„. Здесь натуральный параметр п в знаке суммы определяет номер члена последовательности. При фиксированном п соответствующий ее член а«называется и-м членом ряда.
В то же время символ а„, рассматриваемый как функции своего номера, называется общим членом ряда. Вместо буквы и можно, разумеется, испольэовать любую другую букву, обозначающую переменную, принимающую натуральные значения. Рассмотрим теперь новую последовательность ви, задаваемчю равенством п В„= а1 + . + аи = ~~~, аь, Ь»1 Определение 2. Последовательность ви называется последова- тЕЛЬНОСтЬЮ ЧаетнЧНЫХ (ИЛИ ЧаСтНЫХ) СУММ РЯДа ~ аи, а ЕЕ П-1в член называется и-й частичной суммой этого ряда. а»=~~1 а»=В. и=1 Если же последовательность (в„) не имеет предела, то говорят, что ряд ) аи расходится. В основном нас будут интересовать сходящиеся ряды.
Определение 4. Если ряд ) аи сходится к числу в, то последовательность ги = в — ви называется остаточным членом или остатком ряда. Заметим, что так как в„-э в при п -э со, то ги -э в — в = О при и -+.оо. Несколько модифицируем введенные определения и обозначения. Если в числовой последовательности аи отбросить несколько начальных членов, например, в количестве т > О, то оставшиеся члены а +1,а +1,... в совокупности можно снова рассматривать как некую новую последовательность 6», задаваемую равенством 6» = а +и. Рассматривая 6» как общий член ряда ~ 6», для его частичных п»1 сумм в„получим равенство в„= 61+ + 6п = а„,~.1+ .+атеп = ~»+ и Е и ам+в К=1 аь — вп~+» ви. Кроме того.
ряд ~' 6» как формальную бесконечную сумму можно записать в виде ~ 6„ = 6, + 6, + = от+1 + а~л+г + = ~ ~ап. 348 Определение 3. Если последовательность ви частичных сумм ряда ~,аи СХОДНтСЯ К ЧИСЛУ В, т.Е. ЕСЛН !1П1 Ви = В, тО РЯД ) аи НаЗЫВастСЯ иээ о» сходяппвмся ~к в1, а число в — его суммой. В этом случае пишут: Таким образом, бесконечную сумму ~ ап тоже можно рассмапппо+! тривать как ряд. Далее будем рассматривать также формальные ряды вида ~ ап„ о=1 где и, — какая-либо последовательность натурзльных чисел, и исследовать их на сходимость.
Утверждение 1. Остаточный член гп ряда ~ аь можно предста- Х»1 вить в виде ряда ~, аь в том смысле, что: Ьпп+! 1) его сумма равна гп, когда исходный ряд ~ ап сходится; и=! 2) это представление понимается как формальное равенство, когда оба ряда расходятся,' 3) другие случаи не имеют места, ,П о к а з а !и е л ь с т в о начнем с п.З. При х > 1 для о оо частичных сУмм вь РЯДа ~ ап и вь4» РЯДа ~ ап имеет место ппа 1-1 »=1 раВЕНСтВО ВЬ - -ВЬ4» — Эп, Ясно, что при фиксированном и сход11мость и расходимость послеДОВатЕЛЬНОСтЕй Вь И ВЬ4„ИМЕЮт МЕСТО ОДНОВРЕМЕННО, ЧтО И ОЗНаЧаЕт справедливость утверждения п. 3.
В случае 1, т.е. когда оба ряда сходятся, можно перейти к пределу пРи Й -+ со в Равенстве в. = в14» — вп, Тогда полУчим Э = 1ПП ВЬ = 11П1 ВЬ+» Эп =В и» =!"и! Ь-ооо Ь-о со тем самым утверждение п. 1 доказано, Относительно утверждения п. 2 следует заметить, что формальное равенство СЮ и оо оо ~~Па = ~ах+ ~ аК = Вп+~~! ааеп Ь=1 !о=1 йп».~-1 Ьп! можно рассматривать как определение одной из возможных операций над формальными числовыми'рядами. При введении подобных операпий необходимо только требовать, чтобы правые и левые части равенств переходили бы в равенство между числами в случае наличия сходимости хотя бы для одной из частей равенства, что действительно имеет место в нашем случае.
Доказательство утверждения ! закончено, 349 Примеры. 1. Ряд ~, '„-Г1+!) сходится, и его сумма равна 1. ««и Действительво, имеем 1 1 1 « — — + — + + 1 2 2 3 п(п+1) — 1 — — + - — — + ° + — — — =1 — — -+1 при и -э оо, т.е. з = 1пп з„= 1. «~с« 2. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии вида а+ай+ +а4+..., при афО. В случае й = 1 имеем з„= па, и ряд расходится. Прв д ф 1 справедливо равевство з„= а+ а4+ .. + аа" ' = а(1+ й+ + а" ') = а(1 — а«) а аа" 1 †1 — й 1 — 4' Известка, что д" -~ О при )д! ( 1 и (а") расходится при )д! > 1.
Таким образом, указанный ряд сходится к сумме з = —,' при )д) < 1 и расходится при )д) > 1, а ф О. 3. Гармонический ряд 2 1/и = 1+ 1/2+ ° + 1/и+... расходится, а ряд ~;1/и = 1+ 1/2«+ ° +1/и" +... сходится при а > 1. Заметим прежде всего, что расходимость ряда есть расходимость последовательности его частичных сумм, т.е. надо доказать, что з„= 1+ .. + 1/и расходится. Для этого достаточио показать, что эта последовательвость ве ограпичена. При я = 2» имеем /1 1~ /1 з« =»21 =1+-+ ~-+-) + ~-+-+-+-) +.. 2 !3 4) ~5 6 7 8) 2» ' + 1 2" 1 1 „, 1 а й >1+ — +2.— + ..+2" ' — =1+ — >-. 2 2т 2» 2 2' Отсюда следует, что, каково бы ни было число М > О, всегда найдется номер и = 2», такой, что з„> (г/2 > М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
