Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 50

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 50)

Глава Хат ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Леыпжм 21 ~ 1 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ В Ъи Еще раз обратим выимаыие ыа тот факт, что поскольку поыятие ыепрерывыости фуыкции определяется как предел функции по базе, ыад ыепрерывыымм фуыкциямм и переменных в точке х = Ио можыо совершать арифметические операции с сохранением их непрерывности с обычыой оговоркой о ыеобращеыии в нуль зыамеыателя частыого й в точке х = йо.

Справедливы также теоремы о неравенствах для непрерывных фуыкций в точке И = Ио типа таких: если у(хха) ) д(йо), то в ыекоторой окрестности точки й = ххо ммеем у(х) ) д(х). Будем, как и раньше, говорить, что фуыкция у(х), задаыыая ыа мыожестве А С И", является ыепрерывыой ыа множестве В С А, если у(х) непрерывна для любой точки И б В. Напомыим, что для фуыкпяи, ыепрерывыой ыа компакте, справедливы теоремы об ограыичеыыости фуыкции ыа ыем, о достижении ею точной верхыеИ и точыоИ ыижыеИ граыеИ и о равыомерыой ыепрерывыости, а для ыепрерывыой фуыкции, задаыыой ыа связном мыожестве, справедлив аналог теоремы о промежуточном зыачеыии. Но кроме этих свойств есть свои специфические особенности фуыкций мыогих перемеыыых. Пусть а = (ап...,а„) — некоторая точка из %" и фуыкция у(х) определена в некоторой окрестности точки а. Выделим одну из коордиыат точкм а. Пусть это будет коордиыата с номером з, 1 < а < п, и обозначим через М С й" множество всех тех точек, у которых все коордиыаты, кроме э-й, совпадают с коордиыатами точки а.

Если в качестве аргумеыта й рассматривать точки х б М, то мы получкм фуыкцию р(х,) одыоИ перемеыиой х„гг(х,) = ~(аг,...,х„...,а„). НапРимеР, если У(хг,хг) = хг+хгхг, то Р(хг) = аг+а1хг. Определение 1, Будем говорить, что функция у(х) непрерывна в точке а по переменной х„есля у(х,) яецрерывяг в точке х, = а,. Можно дать более общее определеыие ыепрерывыости функции у(х) ' по любому направлению. Определение 2. Направлением в )й" называется любой едииич«ый вектор е б Й".

Определение 3. Множество всех точек х вида х = а+1с называется: а) открытым лучом, выходящим из точки а в направлении с, если С>0; б) замкнутым лучом, — если 1 > 0; в) примой, проходящей через точку а в направлении с, если 1— произвольное вещественное число. Рассмотрим функцию Ф(С) = у(а + 1е). Определение 4. Будем говорить, что функции Дх) непрерывна в точке й по направлению с, если Ф(1) непрерывна в точке 1 = О. Имеет место следующее очевидное свойство. Если у(х) непрерывна в точке х = а как функция о переменных, то она непрерывна в точке а по любому направлению с. Обратное, вообще говоря, неверно. Примеры. 1.

Пусть функция у(х,у) задана следующим образом: ( -фт, еслЯ хг+Уг фО У(х,у) -'- ( +" 1 О, если к=у=О. Она непрерывна в нуле по х и по у, но разрывна в этой точке как функция двух переменных х, у. 2. Пусть функция Дх,у) задана соотношениями: ~ -тк —., если хг+ уг гЬ О, (О, если к=у=О. Она является непрерывной по любому направлению, проходящему через точку х = О, у = О, но разрывна как функция двух переменных в этой точке. Рассмотрим теперь отображение г; Ж" -+ Ж . Этому отображению однозначно соответствУют гп фУнкцнй Рг(х),...,1о (и), котоРые представляют собой координаты точки у = Р(й) б Ж, т.е.

У = (Уг(х),...,1г„,(х)), У, = гг,(й), з = 1,...,пг. Утверждение. Для непрерывности отображения Р: Ж" -+ Ж в точке ххв б Ж" необходимо и достаточно, чтобы все функции 1а,(х) были бы непрерывны в точке и = хэ. Д о и а з а га е л ь с яг е о непосредственно следует из определения непрерывного отображения, поскольку и )а, — Ь,! < ~~~ (ад — Ь|) г=г Переформулируем теперь теорему о непрерывности сложного отображения метрических пространств на случай функций многих переменных. зга Т е о р е м а 1.

Пусть у: 1а" -+ В, у: Р. -+ К, и пусть отображеиие Дх) иелрерывяо в точке и = йе, а функция у(у) непрерывна в точке уе — — Дххо). Пусть также в иекоторой окрестности точки хс определена сложная фуикция Ь(х) = у(б(х)). Тогда фуикцяя п(х) непрерывна в точке й = йе. Опрецеленне 5: Фуикция г'; А -+ 1к, А С %", иазывается равномерно непрерывной на множестве А, если для любого е > О сушествует число б = б(е) > О такое, что для любых. й, у Е А с условием р(х, у) < б имеем ~Р(х) — Р(у)~ < е.

Т е о р е м а 2. Функция г, нелрерывиая иа компакте К, является равиомерио иепрерывной иа ием. ,и о к а з а и е л ь с т и о. Зададимся произвольным е > О. Возьмем число е1 = е/2 и для каждой точкм х б К рассмотрим окрестность 0(х,ба(е1)) точек у с условием )у(х) — ~(у)~ < е1. Тогда "усеченные" окрестности 0(х, -'б,(с1)) покрывают компакт К. По определению компакта из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. В качестве б = б(е) возьмем ммиммальиый из конечного числа радиусов выбранных шаровых окрестиостей. Если теперь возьмем любые х,у с условием р(х, у) < б, то оказывается для точки й, покрытой некоторой окрестяостыо 0(хо,-'бк,(е1)), выполняются неравенства 1 )~(х) — Дххо)) < еы р(х, ххо) < -б,(е1).

Кроме того, имеем р(х, у) < б < -'бе,(е1). Поэтому р(у, хе) < р(у, х) + р(х, ххо) < бе,(е1), откуда следует, что Щу) — у(хе)( < еь Значит, ~У(х) — У(у)) < )У(х) 1(ххо)) + Яххо) — Ду)) < 2е1 — — е.

Таким образом, для любого чмсла е > О мы указали б = б(е) такое, что для любых х,у Е К с условием р(х,у) < б выполнено неравенство ~/(х) — Ду)) < е, следовательио, функция дх) — равномерно непрерывна иа компакте К. Теорема 2 доказана. з1е 3 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ В мв Пусть числовая функция /(х) определена в некоторой окрестности точки и = а б Й". Определение 1. Прнрапгеннем Ь?'(х) функпин ?'(х) в точке й = а называется разность гь?(х) = ?(х) — ?(а).

Разность Л,х = х — а называется прнрапьеннем аргумента х. Длина вектора Ьх обозначается через ~Ьх~ и равна р(х,а). Утверждение 1. Если функция ?'(х) непрерывна в точке х = а, то приращение ее Ь~(х) стремится к нулю при Ьх, стремящемся к нулю, т.е. Ь?(х) = в(1). ,7 о к а з а т е л ь с т в в очевидно следует из определения и свойств предела функции по базе множеств. Определение 2. Линейная функция от приращения аргумента Ьх называется дифференциалом а?(х) функция ?(х) в точке й = а, если приращение Ь|(х) при Ьх -+ О можно представить в виде Ь/(х) = ф(х) + о((Ьх~).

Будем говорить, что функция ?'(х) днфференпнруема в точке и = а, если существует дифференциал П?(х) функции в точке х = а. Утверждение 2. Если функция дифференцяруема в точке х = а, то она непрерывна в этой точке. ,'.? о к а з а ш е л ь с тп в о очевядно следует из того, что приращение Ь?(х) стремится к нулю при Ьх-+ О. Итак, подчеркнем еще раз, что дифференциалом ~Щх) функции ?(х) в точке и = а называется линейная или главная часть приращения функции ?(х) в точке й = а, Поскольку 4?(х) — линейная функция, ее можно записать в виде в й?(х) = А~(х~ — а~) + + А„(х„— а„) = ~ А,Ьх„ где А, — некоторые вещественные числа и Ьх, = х, — а,.

Если ?(х) = х„то ф(х) = Их, = Лх,. Т е о р е м а 1. Пусть ?(х) дифференцируема в точке х = а, тогда все координатные функции р,(х,) = Дам..., х„..., а„) дифференцвруемы в тачках х, = а„з = 1,...,п, причем А, = р,(а,). ,?? в к а з а т е л ь с щ в в. В формуле для приращения з?(х) в точке и = а через его дифференциал положим х, = а„при г Р з. Получим гь?(х) = ?(х) — ?(а) = А,Ьх, + оЦЬх (). Тогда согласно определению функции рт(х,) будем иметь ~(х) — у(а) = ут,(х,) — тт,(а,) = А,Ьх, + о((тах,(), т.е, А, = 1пп ' = тт,(а,).

р,(х,) — р,(а,) дс, 8 ЬХ, 4 Определение 3. Производная ут,(а,), когда ояа существует, называется частной производной функпии у(х) в точке х = а по з-й переменной и обозначается так: р,(а,) = ду(а) ду(х) дх, дх, С л е д с т в и е. Дифференциал функции у(х) в точке и = 4 однозначно записывается в виде 4(х)~е э = — Ьхт+ . + — Ьх„. дУ(а) дПа) дхт хь Д о к а з а ят е л ь с та е о очевидно. Пример.

Пусть у(х,у) = х + ху. Тогда ду(х, у) ду(х, у) дх ' ду = 2х+ у, — ' = х, ф(х, у) = (2х + у)т(х + хт(у. Итак, необходимым условием дифференпируемости функпии в точке является существование всех ее частных производных в этой точке. Докажем теперь одно достаточное условие дифференпируемости функции в точке.

Т е о р е м а 2. Пусть в некоторой окрестности точки а существуют все ее частные производные -у, э = 1,...,и, и эти частные производные непрерывны в точке й = а. Тогда фуякцкя у(х) яэляется дяфферевнируемой в этой точке. Д о к а з а тп е л ь с эт е о. Только для краткости записи будем считать, что и = 2. Приращение тау(х, у) функции ~(х, у) в точке (а,6) можно записать так: ЬДх, у) = ~(а + Ьх, 6+ Ьу) — ~(а, Ь) = = (Яа+ Ьх, 6+ тау) — г(а, 6+ тау)) + Ц(а, 6+ тау) — ~(а, 6)).

К каждой из двух разностей в скобках можно применить формулу конечных приращений Лагранжа, поскольку в рассматриваемой 318 окрестности точки (а, Ь) функция у(х, у) имеет непрерывные частные производные по х и по у. Получим дУ(~ + 4д х, Ь+ Ьу) д1(~, Ь + ОЬу) С~|(х, у) = где ~,ц — некоторые постоянные, 0 < ~,п < 1.

Далее, в силу непрерывности частных производных при сьх -+ 0 имеем следующие соотношения: дДа + бЬх, Ь+ Ьу) дДа, Ь) дх дх дДа, Ь+ ОЬу) д~(а, Ь) ду ду Отсюда следует, что ЬДх, у) = ' Ьх+ ' Ьу+ о(/Ьх/ + /Ьуо. ду(а, Ь) ду(а, Ь) дх ду Поскольку )Ьх) < )Ьх), )Ьу( < )д,х), Ьх = (Ьх, Ьу), имеем дД~ у) = д ' дх+ д ' ау+ О((гьх() = ау(х) +О()Ьх!), д~(а, Ь) дДа, Ь) т.е. функция у(х,у) дифференцируема в точке (х,у) = (а, Ь). Теорема доказана. Приведем пример непрерывной, имеющей частные производные, функции в окрестности точки (0,0), но недифференцируемой в этой точке: х = /~~у!. Частные производные этой функции, очевидяо, существуют при *2+ у ф О. По определению они существуют в точке (0,0): Ьг(0, 0) х(Ьх, 0) — х(0, 0) Ьх(0, 0) сьх Ьх ' ду следовательно, х (0,0) = О, гз(0,0) = О.

Характеристики

Список файлов книги