Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Точка х называется граничной точкой множества А, если ояа не является ни внутренней, ни внешней точкой этого множества. Множество (я) всех граничных точек А называется гранипей и обозначается через дА. зоз Утверждение 1. Пусть В = Х ~ А. Тогда дА = дВ, т.е. множества А н В имеют общую гранину, Действительно, если г — граничная точка множества А, то любая ее окрестность содержит как точки из множества А, так и точки из множества В, а потому г — граничная точка множества В.
И наоборот, если г б дВ, то г 6 дА. Следовательмо, границы множеств А и В совпадают, т.е. дА = дВ, что и требовалось доказать. Утверждение 2. Если множество А — замкнуто, то дА С А. Действительно, в силу того, что множество В = Х ~ А — открыто, точки его границы дВ ме принадлежат В, а значит, оми примадлежат его дополнению, т.е, множеству А и дВ С А, но так как дА = дВ, то дА С А, что и требовалось доказать. Определение 5. а) Точка а называется предельной точкой множества А, если в любой е-окрестностн точки а содержится хотя бы одна точка х б А такая, что х ~ а.
б) Точка а называется предельной точкой множества А, если существует последовательность точек (хп) С А, х„ф а такая, что 1пп х„= а. а-~оо Утверисдение 3. Определения а) н 6) эквивалентны. ,В о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, что из а) следует 6).
Для этого мам надо построить последовательность (х„), сходящуюся к а, х„ф а. Строим ее так. Точку хг 6 А выбираем произвольно в 1-окрестмости точки а, точку хг — в 1/2-окрестности точки а и т.д. Тогда для любого числа е > О вне любой е-окрестности точки а содержится не более по = по(е) = (1/е) + 1 точек последовательности (х„), т.е, точка а является пределом последовательности (х„). Докажем теперь, что из 6) следует а).
Поскольку последовательность (х„) бескомечма и вне любой окрестности точки.а лежит лишь конечное число членов последовательности, в мей содержится хотя бы один член этой последовательности, что и требовалось доказать. Определение 6. Если точка х 6 А, но не является предельной точкой множества А, то она называется изолированной точкой множества А. Теперь заметим, что в определении сходимости в полном метрическом пространстве последовательности (х„) к точке а не обязательно требовать, чтобы (х„) была фундаментальной, так как, если для любого е > О существует по — — по(е) такое, что для любого и > по выполнено неравенство р(х„, а) < е/2, то тогда для любых пп пг > па имеем е р(х„,, х„,) < р(х„„а) + Р(хп„а) < — + — = е, т.е.
последовательность (х„) фундаментальна. Докажем еще одно простое утверждение. 304 Утверясдение 4. Если последовательность (х„) имеет предел, равный числу а, то а — единственная ее предельная точка. Действительно, пусть 6 — другая предельная точка. Тогда р(а,б) = ро > О. Возьмем ро/2-окрестность точки а. Вне ее находится лишь конечное число точек последовательности. Тогда внутри ра/2-окрестности точки 6 будет находиться лишь конечное число членов этой последовательности, быть может, ни одного.
Противоречие. Следовательно, последовательность, имеюшая предел, имеет единственную предельную точку, что и требовалось доказать. Докажем теперь критерий замкнутости множества. Т е о р е м а. а) Множество является замкнутым тогда я только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки. б) Множество А замкнуто тогда я только тогда, когда его граница дА содержится в нем, т.е. дА С А.
,7 о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем утверждение а). Необходимость. Пусть 1пп х„= а, х„Е А. Надо доказать, что «-+ со а Е А. Точка а не может быть внешней для множества А, так как в любой ее окрестности есть точки из А. Значит, она является либо внутренней, либо граничной, т.е, а Е А или а Е дА С А, и в обоих случаях точка а принадлежит множеству А. Необходимость доказана. Достаточность. Пусть множество А содержит все свои предельные точки.
Нам надо доказать, что его дополнение В = Х ~ А является открытым множеством, т.е. любая точка х Е В является внутренней точкой множества В. Если х Е В, то точка х или внутренняя точка В, или граничная точка В. В первом случае доказывать нечего. Разберем второй. случай х Е В и х Е дВ, т.е.
х — граничная точка множества В. Но с одной стороны эта точка не принадлежит А, так как х Е В, а с другой стороны — точка х Е дВ = дА, т.е. в любой окрестности точки х есть точка из множества А, и потому х Е А по условию теоремы, но это невозможно, так как х Е В, по нашему предположению, и Ай В = О. Следовательно, точка х ф дВ, т.е. имеет место только первый случай; х — внутренняя точка множества В, что и требовалось доказать. Докажем теперь утверждение б). Необходимость.
Ранее мы уже доказали, что если А — замкнуто, то дА с А. Достаточность. Нам надо доказать, что если дА с А, то множество В = Х ~ А — открыто. Мы знаем, что дА = дВ, и поэтому дВ С А, откуда дВ й В = И. Это значит, что граничные точки множества В в него не входят, а входят только внутренние точки В, т.е. точки множества  — внутренние. Следовательно, множество В— открыто, а значит, множество А — замкнуто.
Теорема доказана полностью. 305 1 4. ЛЕММА О ПОСЛЕДОВАТЕЛЪНОСТИ СТЯГИВАЮЩИХСЯ ШАРОВ. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ Рассмотрим два свойства полных метрыческых простраыств. Первое — лемма о последовательности стягивающихся шаров. Л е м м а.
Пусть К(хы г1) Э К(хт, гт) Э ... — последовательность вложенных замкнутых шаров в полном метрическом простраястве Х, причем 1пп г„= О. Тогда существует едянствеылая точка хо, а-+оа лрвладлежащая всем шарам. Д о к а з а л1 е л ь с т е о. Прежде всего заметим, что последовательность центров шаров (хо) будет фундаментальной.
Действнтельно, зодадымся проызвольыым е > О. Тогда сушествует по = ло(е) такое, что для всякого л > ло имеем т„< е, а потому пры любых п1 > пт > по. согласью включеныю К(х„„г„,) Э К(х„„г„,) имеем р(х„„х„,) < г„, < е, т.е. последовательность (х„) удовлетворяет определению фундаментальной последовательности. Так как (х„) — фундаментальна, то в сылу полыоты пространства Х сушествует предел 1пп х„= хо б Х, прячем хо является предельыой ь-~оо точкой для каждого шара, а поскольху оны замкнуты, то для любого натурального числа л ымеем хо б К(х„,г„). Покажем, что точка хо является едныственной точкой, прынадлежашей одновремеыыо всем шарам. Пусть зто ые так, т.е.
найдется точка уо б ПК(х„,г„), р(хо,до) = р. Очевидно, существует л такое г„< ст. Из неравенства треугольннха получим р = р(хо, уо) < р(х„, хо) + р(хо, до) < — + — = р. Р Р Протыворечые. Следовательно, хо является едынствеыыой общей точ- кой для всех шаров. Лемма доказана. Определение. Пусть Х вЂ” полное метрическое пространство, ы пусть ~: Х -+ Х вЂ” отображение этого пространства в себя, причем сушествует вещественное число а с условяем О < а < 1 такое, что для любых а,Ь б Х имеем р(у(а), у(Ь)) < ар(а, Ь).
Тогда отображение у' называется сжимающим. Докажем теперь принцип сжимающих отобра1кений. Т е о р е м а. Есля у: Х -+ Х вЂ” сжимающее отображение, то сушествует едялствеллал точка хо б Х такая, что у(хо) = хо. Точка хо ыазывается ыеподвижной точкой сжнмаюшего отображеныя 1. ,У о к а з а»г е л ь с га е о. Пусть хг — любая точка, принадлежащая Х, хг = у(хг),...,хп+г = у(хп).
Докажем, что последовательность (хп) фундаментальна. Действительно, пусть рп = р(хп,хп+г). Тогда рп = р(хп,хп~г) = р(1(х» г),г(хп)) < ор(хп ю хп) = ар» Следовательно, рп < ап 'рг, Отсюда, используя неравенство треуголь- ника, получим Р(хп, хп+т) < Рп + Р»+г +" +Р»+т г < 1 — а < („и-1т п+ +»+т-г) Поскольку О < о < 1, при и -+ со имеем ап ' -+ О.
Следовательно, для всякого е > О найдется по = по(е) такое, что при любом п > по и любом пг > 1 выполняется неравенство р(хп,х„о. ) < г, что и означает фундаментальность последовательности (хп). Так как Х— полное метрическое пространство, то существует точка хо, такая, что 1пп хп = хо. и-»»» Теперь докажем, что г(хо) = хо.
От противного. Пусть у(хо) = Уо Ф хо и Р(хо, Уо) = Л > О. Возьмем число по = по(И/2) такое, что для любого и > по имеем р(хп, хо) < Л/2. Тогда Р(хп+ъ1уо) = РЯхп) У(хо)) < Р(х„, хо) < Р(хп, хо) Следовательно, Л .Л р(хо, уо) < р(хо,хпег)+ р(хп+юуо) < — + — = Л = р(хо,уо), что прн Л > О невозможно.
Итак, хо — неподвижная точка отображения у. Она будет единственной неподвижной точкой, так как если а и Ь вЂ” неподвижные точки, т.е. У(а) = а, у(6) = Ь, то р(а, 6) = РЯа), у(Ь)) < ар(а, Ь) < р(а, Ь), что невозможно, Теорема доказана полностью. Лекция 20 $5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Определение. Пусть заданы два метрических пространства (Х, рк) и (У, ру), и пусть определено отображение Г: Х вЂ” + У. Тогда отображение Г называется непрерывным в точке хо, если для всякого е > О найдется б = б(е) > О такое, что для любого х с условием рк(х,ха) < б имеет место неравенство ру(Г(х), Г(хо)) < е, т.е. в лрсстранстве У любая г-окрестность Ог(Г(хо),е) точки Г(ха) б У содержит целиком образ некоторой б-окрестности этой точки лри отображении Г, а именно: Г(Ох(ха,б)) с Ог(Г(ха),е).
Пример. Сжимающее отображение Г: Х вЂ” + Х является непрерывным. В этом случае достаточно взять б(е) = е. Определим базу множеств х -+ ха для точек метрического пространства Х как множество всех открытых б-окрестностей точки хо. Тогда определение непрерывности выглядит так: 1нп Г(х) = Г(хо), е-+ь0 где х, хо б Х, Г(х), Г(хо) б У. Заметим также, что определение предела по базе множеств В отображения Г:Х -+ У метрического пространства Х в метрическое пространство У будет иметь вид: точка уо б У называется пределом отображения Г:Х -+ У по базе В, если для всякого г > О найдется окончание 6 = 6(г) б В такое, что для всякой точки х б 6 имеем р1 (Г(х) уо) < г. Для числовых функций остается прежнее определение предела функции у': Х -+ В по бозе В со всеми доказанными ранее свойствами предела. Докажем теперь теорему о непрерывности сложного отображения.
Т е о р е м и 1. Пусть отображения Г: Х -+ У и С: У -ь Я таковы, что отображение Г непрерывно в точке хо б Х, а отображение С непрерывно в точке уо = Г(хо) б У. Тогда композиция отображений Г и С, те. отобрюкение Н: Х -+ ь, где Н(х)зх С(Г(х)), является непрерывной функцией в точке хо. Д о к о з а гл е л ь с н1 в а. Положим хо — — С(уа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
