Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Тогда согласно свойствам 5в и Зв будем иметь: Пусть /(х) — непрерывная функция и и(х) — функция с ограниченным изменением на отрезке [и,6], и пусть У = (а = !в < 1! < < ! = 6, сг,...,с„) — размеченное разбиение отрезка [а,6] и Т = Т(У) — соотвегствуюшее ему неразмеченное разбиение.
Пусть, кроме того, в Ь,и = и(й,) — и(й, !), о(У) = х„(У) = ~ /ф)Ь,и. г=! !о вгп х, Ув'(вгп х) = 2 — вш х, 4+ вш если О < х < гг/2, если х/2 < х < Зя/2, если Згг/2 < х < 2гг. Тогда е(т') называется интегральной суммой Стнльтьеса. Если существует предел !пп а(У) = 1„(1), аъ ~О то функция У(х) называется интегрируемой по функпни н(х) на отрезке [а,6], а величина 1 = 1,(1) — интегралом Стнльтьеса от функции 1(х) по функции и(х) (или относительно функции и(х)) н обозначается так: Этот предел можно рассматривать как предел по базе В, окончаниями которой 6 = 6з служат множества, состоящие из размеченных разбиений У с диаметром !аи < е. Следовательно, предел 1 единственен.
Докажем теперь одно достаточное условие существования интеграла Стильтьеса. Т е о р е м а (достаточное условие интегрируемости). Пусть функция и(х) имеет огравичевяое взмевение на отрезке [а,6]. Тогда ь для сушествоваввя интеграла Стильтьеса ] 1(х) ни(х) достаточяо, а чтобы функция 1(х) была непрерывной ва [а,6]. Д о к а з а та е л ь с та е о. По крвтерию Коши имеем, что существование предела интегральных сумм Стильтьеса, 1!ш е(У), во~О эквивалентно выполнению условия Коши: для всякого е > О должно найтись число 8 = 6(е) > О такое, что для любых размеченных разбиений У! и Уз с условием Ло, < Б, Ло, < е, следует, что справедливо неравенство ]е(У!) — е(Уз)~ < е.
Обозначим через з полное изменение функции и(х) на отрезке [а,6]. Зададимся проязвольным числом е > О. Тогда в силу непрерывности функции 1(х) существует число Ю = 6(е) > О такое, что для любых хт, хз с условием )х!-хз) < Ю выполняется неравенство !1(х!) — 1(хз)] < е! —— е/2е. Возьмем теперь любые размеченные разбиения У! и Уз с дяаметрами Ли, и Хи„меньшими й Пусть Т! = Т(!т!) и Тз = Т(Уг)— соответствующие им неразмеченные разбиения отрезка [а, 6]. Разбиение Тз — — Т! !.!Тз является нзмельченнем разбиений Т! и Тз, и пусть Уз— произвольное разбиение с условием Тз = Т(Пз).
Тогда ]е(У!) — е(Уз)~ = ] ~ 1(х;)Л;и — ~~! ~~~ 1(х!,1)бч ты)] = вл! 1=! = )~~~ ~~~ (т(х!) — ~(хс,у))Ь!ти] < е!э. вю! 1л! Аналогично доказывается, что )в(Уз) — в(Уз)( < еь». Следовательяо, ) (Щ- (из)(<)в(Ц)- (Ь))+) (из)- (из))<йь,»= . Теорема докиьана. Укикем основные свойства интеграла Стильтьеса, 1». Если функция и(х) дифференпируема, то имеет место равенство ь ь Дх) дя(х) = Дх)я'(х) Нх, где последний интеграл понимается как интеграл Римана.
2». Свобсяьво яммебмосяьи: (~ь(х) + Ях)) дя(х) = ~ь(х) Ни(х) + Ях) Ии(х), / оу(х) хи(х) ~ а Дх) дн(х) та е Й. Зо. При в < с < Ь имеем ь с ь / у(х) ои(х) = у(х) вя(х)+ Дх) ои(х), (свойсяьво аддияьмвмосяьи). 4». Если у'(х) и и(х) интегрнруемы по Риману, то имеет место следуюШее «равняв имяыгрировамия «о частям: у(х) Ии(х) = Дх)и(х)~, — у (х)и(х) Нх, l где последний интеграл понимается как интеграл Римана.
Ьо. Если и(х) монотонно возрастает на отрезке (а,Ь) и у(х) > д(х) на этом отрезке, то ь ь у(х) ои(х) > д(х) Ия(х). Приведем примеры вычисления интегралов Стнльтьеса. зоз 1. Пусть (х) — дробная часть числа х, т.е. (х) = х — [х], где [х] = пю Е Ж вЂ” целая часть числа х, гп < х < гп + 1. Найти значение интеграла ) х а(х). о Имеем: 3 3 х й(х) = х йх+ 1 ( — 1) + 2 ° ( — 1) + 3 (-1) = -1,5. е е 2.
Пусть е)пх, если О < х < я, н(х) = соех, если я < х < 2х. Вычислить нытеграп 1 = ) х ао(х). е Имеем: 1 = х аз)пх+ х ассах+(-1) я = -2. В заключение приведем теорему об общем выде линейного фуыкционала в пространстве С[а,6]. Т е о р е м а. 1) Пусть функции и(х) имеет ограниченное измевевве ва отрезке [а,6]. Тогда интеграл Стильтьеса ь 1(У) = У(х) й а является ливейвым функционалом в пространстве С[а,6].
2) Пусть 1(1) — любой линейный функционал в С[а,6]. Тогда существует фувкцвя и(х) с ограниченным взмеиевием ва отрезке [а,6] такая, что 1(1) аредставлиется в виде ь 1(1) = 1(х) йо(х). в Мы ые будем давать полыого доказательства этой теоремы, остановимся только нв его освовяых моментах.
1) Аддитввность в однородыость 1(1) следует из лныейностн интегральных сумм Стильтьесв о((1), соответствующих размеченному разбиенюо 11 отрезка [а,6], Т = ТЯ). Для этой суммы справедливо неравеы ство ]о(Ц] < []1[] У(и,Т) < [[1[] У,(и). Переходя в нем к пределу при 14 -~ О, получим ! / 1(х) Ыи(х)! < ][1][$; (и). а Тем самым, доказана ограниченность 1(1). 2) Пусть 1(1) — линейный функционал на пространстве С[о,6].
Этот функционал можно продолжить на пространство ступенчатых функций. Пусть отрезок [а,р] содержится в отрезке [а,6]. Тогда положим д ~ ~ ~ ~ ~ ш г ~ ~ ~ ! О, если х=а,)1<х<Ь, хв(х) = 1, если а<я<11. далее определим функцию 1е(Х) = и(11). Эта функция и(11) имеет ограниченное изменение на отрезке [а,6]. Зададимся произвольным х > О. Тогда в силу равномерной непрерывности 1(х) на отрезке [а,Ь] будем иметь, что существует число б = б(е) > О такое, что для всех хы хз с условием [х~ — хз! < 6 выпол.няется неравенство [1(х~) — Дхз)! < е.
Возьмем теперь размеченное разбиеняе У: (а = хо < х~ < .. < х„= 6,(м...,с„) с диаметром 1ьи, меньшим 6. Рассмотрим функцию Отсюда имеем п 1(Р) = ~(б~)н(х~) + ~ 1(1ь)(о(хь) — н(х„,)), Далее, из определения функции ~о(х) получим, что для любого х Е [а, Ь] справедливо неравенство [1(х) — р(х)! < е. Следовательно, имеем И-1~! = [1У-Ю)! <с[[1[! А это означает, что при Ьп -~ О величина 11' является пределом величин 1у, но предел 1р представляет собой интеграл Стильтьеса ь ~ 1(х) Ии(х). О На зтом и завершается доказательство теоремы.
Глава ХП1 НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ, МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Лекция 18 1 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ В предыдущей главе было показано, что с помощью интеграла Стильтьеса можно выражать линейные фуыкциояалы, определеыиые ыа пространстве непрерывыых функций С[а, Ь[. На примере пространства С[а,Ь[ мы позиакомились с фуыкциоыальыым пространством. Может возникнуть вопрос: почему миожество С[а, Ь[ непрерывных на отрезке [а,Ь[ функций называется пространством? Ответ достаточно прост. Дело в том, что термии "пространство" по существу эквивалентен термину "множество".
Отличие состоит в том, что термин простраиство "в чистом виде" употребляется редко, а чаще в сочетании с другими терминами, например: топологическое пространство, метрическое, линейное, нормированное пространства и т.д. Все эти понятия яграют важную роль в математике вообще и в математическом анализе в частности. Здесь мы познакомимся с некоторыми из ыых. Рассмотрим следующую схему. Пространства Топологическяе Линейные (векторные) Хаусдорфовы Линейные топологические Метрическяе — ~ Нормированные Полные — + Ванаховы — + Гильбертовы — + Евклыдовы На этой схеме показаны те некоторые из рассматриваемых в математике пространств, определения которых мы дадим.
Стрелки имеют следующяй смысл: то пространство, иа которое указывает стрелка, является частным случаем того, из которого оыа "выходит". Перейдем к определению пространств, указанных на схеме. Пусть Х вЂ” некоторое множество, Е = Ех — множество, состоящее из некоторых подмножеств множества Х, т.е. Е С П(Х), где П(Х)— множество всех подмножеств Х.
Пусть Е обладает следующими свойствами: 19 ХбЕ а~бЕ 29. а) Если А и В б Е, то А й В б Е; б) Объединение любого числа элементов из Е принадлежит Е. Для того чтобы указать, что элементами Е являются некоторые подмножества множества Х, говорят, что Е есть некоторая система подмножеств. Определение 1. Каждая система подмножеств Е, удовлетворяющая свойствамм 19 и 29, называется топологией на множестве Х. Определение 2. Пара множеств (Х, Е) называется топологическим пространством. Часто говорят просто, что Х вЂ” топологическое пространство, если на нем задана топология Е.
Каждый элемент ч б Е, т.е. каждое подмножество ч С Х, принадлежащее системе Е, называется открытым множеством (в топологии Е). Любое подмножество А С Х такое, что Х ~ А б Е, называется замкнутым множеством (в топологии Е). Пусть х — некоторая точка, принадлежащая Х. Тогда любой элемент ч б Е, которому принадлежит точка х, называется окрест-. ностью точки х, т.е. любое открытое множество, содержащее точку х, называется ее окрестностью. Фиксированные окрестности точки х часто обозначают символом и . Определение 3. Топологическое пространство Т = (Х, Е) называется хаусдорфовым, если любые две различные точки х и у этого простраяства имеют непересекающиеся окрестности аа и вэ б Е, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
