Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Такие прямоугольныкк мы будем называть стандартными прямоугольниками. Замегым, что стандартный прямоугольник может включать в себя любое подмыожество точек', лежащих на его сторонах. Как невестка, каждый стандартыый прямоугольник имеет площадь, равную произведению длин его смежных сторон. Пря определеыии площади фигуры в общем случае, как и в случае кряволиыейной трапеции, мы можем действовать по аыалогии с критерием Римана существования определенного интеграла. Для этого естествепяо для плоской ограниченной фигуры Р ввести поыятие верхней плошади фигуры (по аналогии с верхней суммой Дарбу) как точную нижыюю граыь площадей д(Р1) всех открытых простейших плоских фигур Рь описаыыых вокруг Р, т.е.
Р С Рп а также вижвкио плоптддь этой фигуры как верхнюю грань плошадей д(Рт) всех замкнутых простейших фигур Рз, вписанных в Р, т.е. Рт С Р. Введенная таким образом верхняя плошадь обозначается через д'(Р), а пыжняя — через Р,(Р). Заметим, что для простейшей фигуры Р имеем Если для фигуры Р справедливо равеыство д'(Р) = п,(Р), то зта велячиыа называется площадью фигуры Р 'и обозначается через д(Р). Точно так же обстоит дело и с объемом трехмерных фигур, т.е, аналогично определяются верхний и нижний объемы трехмерной фигуры.
Для ыих используются те же самые обозначения: д (Р),д'(Р),д(Р), где, по определению, для измеримой фигуры Р полагают д(Р) = д (Р) = Й (! ). Введенное понятие плошади фигуры называется мерой Жордана, а сами фигуры, которым с помощью этого определения приписывается зыачение площада (или объема в трехмерном простраыстве)— квадрируемымв (или кубируеммми в случае объема) или измеримыми по Жорддву. Для таких фигур вычислеыие площади (или объема) сводится к вычислеыию определенного интеграла Римана.
Примеры. 1. Плоская мера Жордана отрезка !, параллельного одной из осей коордиыат, равна ыулю. Этот отрезок содержится внутри прямоугольника, одна из сторон которого имеет длину, равную нулю. 2. Любой отрезок 1 имеет нулевую меру Жордана, так как этот отрезок можно поместить в простейшую фигуру сколь угодно малой площади. 3. Пусть Р— простейшая фигура. Тогда мера Жордана ее границы дР равыа нулю. Границей Р служат стороны прямоугольыиков, составляющих фигуру Р. Их коыечыое число, и каждый яз них можно поместить в прямоугольник с одной стороной, имеющей длину, равную нулю.
4. Объедыыеыие, пересечеыие и разность простейших фигур является простейшей фигурой. 363 Действительно, пересечение двух стандартных прямоугольников будет стандартным прямоугольником. Поэтому для фигур А = ОРь и В = Оьп, Состоящих из стандаРтных прямоугольников Рюф, их пересечение А П В = А = 0(Рь П Ц~) является простейшей фигурой. оу Разность двух стандартных прямоугольников является простейшей фигурой. Покажем, что разность А~ В двух простейших множеств А и В является простейшим множеством.
Пусть Р— прямоугольник, содержащий АО В, тогда А~ В = Ай(Р~ В). 2 2. КРИТЕРИЙ ИЗМЕРИМОСТИ МНОЖЕСТВА ПО ЖОРДАНУ Как и в случае интеграла Римана, можно сформулировать критерий квадрируемости фигуры, аналогичный критерию Римана с омегцсуммами (по форме он напомянает критерий Лебега), Для этого введем понятие границы дР фигуры Р, которое, в свою очередь, использует следующие понятия.
1. Пусть Б > О. Тогда Б-окрестностью точки хо нв плоскости назовем множество точек х, лежащих внутри круга радиуса Б с центром в точке хо. 2. Точка хо называется внутренней точкой множества Р, если найдется Б-окрестность Е(хо, Б) точки хо целиком принадлежащая Р, т.е. Е(хо,Б) С Р. 3. Точка х1 называегся внешней точкой множества Р, если существует окрестность Е(хм Б) такая, что Е(хна) О Р = ю. 4, Если точка х не является ни внутренней, ни внешней точкой множества Р, то она называется граничной точкой множества Р.
б. Множество всех граничных точек фигуры Р называется его границей и обозначаегся через дР. Т е о р е м а (Критерий кввдрируемости фигуры). Фигура Р— квадряруема тогда я только тогда, когда мерв ее границы равна нулю, т.е. р(дР) = О. Д о к а з а т е л ь с т в о. НеоБходимость.
Нам надо доказать, что если Р— квадрируемая фигура, то р(дР) = О. Для этого достаточно при любом с > О указать простейшую фигуру Н такую, что дР С Н и р(Н) < с. Поскольку фнгура Р— кввдрируема, существует величина ЯР) = р,(Р) = р'(Р).
Следовательно, для всякого 41 > О найдутся открытая простейшая фигура Р1 и замкнутая простейшая фигура Р2 такие,'что Р2 С Р С Р1 и, кроме того, справедливы неравенства и(Р) — е1 <и(Рз) <д(Р) =д (Р). Рассмотрим фигуру Рз = Р1 ~ Рз. Она является простейшей. Пусть Н = Рз.
Тогда вне этой фигуры Н содержатся только внешние или внутренние точки фигуры Р. Поэтому дР С Н. Далее, имеем Р1 — — РзОРз, Рзр1Рз —— й!, следовательно, д(Р1) = д(Рз)+р(Рз), откуда и(Рз) = д(Р ) — д(Рз) < д(Р)+е1 — д(Р)+ е1 = 2еы Заметим, что д(Рз) = д(Рз), так как граница простейшей фигуры имеет нулевую меру. Возьмем е1 = е/2, получим, что д(Н) < е, дР С Н, следовательно, р(дР) = О. Необходимость доказана. Досташочмосшь.
Нам дано, что граница дР фигуры Р имеет нулевую меру. Надо доказать, что фигура Р измерима по Жордану, т.е, имеет место равенство и'(Р) = р.(Р). Для этого потребуется одна лемма, полезная и сама по себе. Л е м м а (О связности отрезка на плоскости). Пусть на плоскости заданы отрезок 1 с кояцами А1 и Аз н некоторое множество М, причем А1 Е М, Аз ф М. Тогда существует точка Ао Е 1 такая, что Ао Е дМ. ,!! о к а з а гп е л ь с 'па е о леммы. Для каждой точки а Е ! рассмотрим функцию р(а), равную расстоянию от нее до точки Аы Очевидно, что для любой точки а Е 1 справедливо неравенство р(а) < )1). Пусть В = ! О М. Тогда множество В непусто, так как точка А1 принадлежит и отрезку 1, и множеству М.
Пусть, далее, ро = знр р(А). Рассмотрим точку ао, лежащую на расстоянии ро от Аен точки Ао. Любая точка а, удаленная от точки А1 на расстояние р(а) > ро, не принадлежит как В, так и М, поэтому ао не может быть внутренней точкой множества М. С другой стороны, в любой окрестности точки ао на отрезке 1 найдется точка, принадлежащая В С М. Поэтому точка ао не является внешней точкой множества М, следовательно, ао Е дМ.
Лемма доказана. Итак, пусть д(дР) = О. Это значит, что для любого е > О существует открытая простейшая фигура Рз такая, что дР С Рз, д(Рз) < е. Граница ее дРз состоит из конечного числа отрезков, параллельнык осям координат. Заключим эти фигуры Р и Рз в квадрат К со сторонами, параллельными осям координат. Далее, продолжим отрезки границы дРз; параллельные оси Оя, до пересечения со сторонами квадрата К. Тогда квадрат К и фигура Рз разобьются на отдельные стандартные прямоугольники.
Пусть это будут прямоугольники , Ь (каждый из них будем раассматривать без границы). Тогда прямоугольники 6,, з = 1,..., гп, либо целиком принадлежат Рз, либо и, ПРз — — ~8. гез Покажем, что если прямоугольник И, не является подмножеством Рз, но имеет хотя бы одну обшую точку с фигурой Р, то Ь, С Р. Действительно, если в этом прямоугольнике х~ Е Р, хз ф Р, то некоторые точки отрезка!, соединяющего эти точки (а он тоже целиком принадлежит прямоугольнику И,), принадлежат Р, а некоторые точки не принадлежат Р. По лемме отрезок ! содержит точку хо Е дР, т.е. точка хс Е И„хо Е ОР С Рз, а это значит, что И С Рз, что противоречит условию, что прямоугольник И, не является подмножеством Рз.
Таким образом, если И, й Р ф И, то прямоугольник И, целиком лежит в Р. Объединим все такие прямоугольники И, во множество Рз. Очевидно, что Рг С Р. Рассмотрим еше простейшее множество Р~ = Рз Й Рз. Докажем, что Р С Рь. Действительно, фигура Р, как и всякая фигура, состоит иэ внутренних точек, обраэуюпшх множество Р ~ дР, и некоторого подмножества Г С дР, — множества своих граничных точек. Достаточно показать, что дР С Ры Р~дР С Р~. Включение дР С Р~ следует иэ того, что дР С Рз С Рь А всякая внутренняя точка множества Р по построению принадлежит: 1) либо Рз, 2) либо некоторому.
открытому прямоугольнику Ь„З) либо его границе дИ,. Но тогда в первом случае точка х Е Рз С Рм и, следовательно, она принадлежит Рь, во втором случае .х Е Ь„х Е Р, а это значит, что Ь, С Рз (по способу построения множества Рз), т.е. х Е Ь, С Рз С Р~, в третьем случае имеем, что внутренняя точка множества Р лежит на границе открытого прямоугольника И,, Но тогда некоторая з - окрестность этой точки целиком состоит из точек множества Р и в то же время в ней содержатся точки из прямоугольника Л„ тогда И, С Рш откуда дЛ, С Рю а потому х Е дЛ, С Рз С Р. Отсюда имеем: Р С Рь Далее, имеем Рз й Рз = 8, кроме того, Рм Рз и Рз — простейшие фигуры. Поэтому р(Р1) — р(Рз) + р(Рз) < р(рз) + Следовательно, р(Р ) < р.(Р) < р'(Р) < р(Рд < р(Рз)+ Таким образом, получим 0 < р'(Р) — и (Р) < п(Рз) + е — п(Рз) = ш Но так как г > 0 — произвольно, то, следовательно, р'(Р) = р,(Р), т.е.
фигура Р— измерима по Жордану. Теорема доказана полностью. Лекция 14 2 3. СВОЙСТВА МЕРЫ ЖОРДАНА Проверим, что неотрицательная функция д(Р), опредеденная нами для измеримых фигур на плоскости, обладает. свойствами монотонности, инвариантности относительно движений, плоскости и аддитивности, имеющих место для простейших фигур. Во-первых, покажем, что множество измеримых фигур замкнуто относительно теоретико-множественных операций: объединения, пересечения и разности множеств. Другими словами, если фигуры Р1 и Рг — измеримы, то измеримыми по Жордану являются фигуры Р, О Р„Р, О Р„Р, ~ Р,.
Докажем'сначала измеримость объединения двух множеств. В силу критерия измеримости множества по Жордану достаточно показать, что д(д(Р1 О Рг)) = О. Докажем, что д(Р1 0 Рг) С дР1 О дР2. Возьмем любое х б д(Р1 О Рг). Предположим, что х ф дР1, х ф дР2. Тогда точка х является либо внутренней точкой Р1, либо внутренней точкой Рг, либо внешней точкой и Р1, и Рг.
Отсюда следует, что точка х по отношению ко множеству Р1 СР2 является либо внутренней, либо внешней точкой. Но это противоречит тому факту, что точка х принадлежит границе множества Р1 0 Рг. Следовательно, граница объединения двух множеств является подмножеством объединения границ этих множеств. Поместим измеримые множества Р1 и Рг в стандартный квадрат К. Тогда множества К ~ Р1 и К ~ Рг являются измеримыми по Жордану, так как их граница содержится в объединении границ множеств К, Р1 и Рг. Отсюда следует измеримость множеств Р1 ~ 1 2~ Р1 П Р2 = К ~ (К ~ Р1) 0 (К ~ Рг). Перейдем теперь к свойству монотонности функции р(Р). Если Р1 С Рг, то всЯкаЯ пРостейшаЯ фигУРа, описаннаЯ вокРУг Рг, соДеРжит и Р1, а потому д'(Р1) < д'(Рг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
