Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Но так как фигуры Р1 и Рг измеримы, то д(~ 1) Ф*(~ 1) ~ Ф*(Р2) д(Р2). Это и означает, что функция д(Р) является монотонной. Инвариантность меры Жордана относительно параллельных переносов следует из того, что при параллельном переносе площадь гет простейшей фигуры не меняется, поэтому при сдвигах плоскости не меняется значение величин д'(Р) и д,(Р). Далее, как известно, по теореме Шаля все движения плоскости сводятся либо к сдвигам, либо к поворотам плоскости относительно некоторой неподвижной точкн.
Так что для завершения доказательства ннвариантности меры Жордана относительно движений плоскости нам достаточно показать, что она инвариантна относительно поворотов плоскости вокруг некоторой неподвижной точки. Заметнм,, что при повороте плоскости площадь простейшей фигуры не меняется, но, к сожалению, она уже перестает быть простейшей. Итак, пусть задана измеримая по Жордану фнгура Р, Тогда существуют простейшне фигуры Ры Рэ такие, что Р, С Р С Рю прнчем д(Р1) < п(Р) < д(Р1)+е, п(Рэ) — е < п(Р) < н(Рэ), и Ры Рэ представляются в виде объединения конечного числа стандартных прямоугольников.
Прн повороте плоскости вокруг неподвижной точкн фигуры Р,Р; и Рэ перейдут соответственно в измернмые фигуры (~, (~1 и (~ю причем Д1 С Д С (~ю Очевидно, достаточно показать, что если стандартный прямоугольник при повороте, переходит в прямоугольник П, то его можно заключить в открытую простейшую фигуру П1 и вписать в него замкнутую простейшую фигуру Пю такие, что Пэ С П С П~ и разность д(П,) — д(Пэ) может быть сделана сколь угодно малой.
Для этого обрамляем прямоугольник П прямоугольником Пэ со сторонами, параллельными сторонам П и находящихся от ннх на достаточно малом расстоянин. Затем вписываем в Пэ простейшую фигуру, которая содержят П. Она и будет искомой. Докажем теперь свойство аддитивности меры Жордана. Заметим сначала, что для простейших фигур справедливо неравенство д(А 0 В) < д(А) + д(В). Далее, пусть фигуры Р1 и Рг измеримы по Жордану и пусть Р = Р1 0 РюР1 П Рэ = Э. Тогда по критерию измеримости множества фигура Р измерима, поскольку гранина объединения двух множеств содержится в,объединении гранин самих множеств.
Докажем, что имеет место равенство д(Р) = д(Р1) + д(Рг) В силу измеримости фигур Р1 и Рэ для всякого е > О найдутся простейшие фигуры Я1 и Яю В1 и йэ такие, что 14Я1) < д(Р1) < дЯ1) + е, д(Юг) е < д(Р1) < д®г), геэ р(Вг) < р(Рг) < р(Вг)+ е, р(Вг) — е < р(Рг) < р(Вг). Кроме того, для простейших фигур Яг и В1 с условием Я1 О Вг = гг имеем р(аг ОВг) = р(йг)+р(Вг), а также р(йгОВг) ( р(92)+р(Вг) Поэтому, учитывая теоретико-множественные включения Яг 0 Вг С Рг О Рг — Р С Яг 0 Вг, получим р(Яг) + р(Вг) = р(Я О Вг) ( р(Р) ( р(Яг 0 Вг) < ( р(Яг) + р(Вг) < р(йг) + р(Вг) + 2е. Очевидно также имеем р(аг) + р(Вг) ( р(Рг) + р(Рг) < р(~ег) + р(Вг) + 2е. Из последних неравенств найдем [р(Р) — р(Рг) — р(Рг) [ < 2е. В силу же произвольности выбора е ) 0 будем иметь р(Р) = р(Рг) + р(Рг) Это и доказывает свойство аддитивности меры Жордана.
г 4. ИЗМЕРИМОСТЬ СПРЯМЛЯЕМОЙ КРИВОЙ Цель этого параграфа показать, что если Ь вЂ” спрямляемая кривая, то ее плоская мера Жордана равна нулю. А значит, в силу критерия измеримости фигуры по Жордану будет измеримой фигура, ограниченная спрямляемой кривой. Для дальнейшего нам потребуется одна полезная лемма о спрямляемых кривых. Л е и м а. Пусть кривая Ь задается уравнениями вида РЯ, у = 4(1), 1 б [а,6] и является спрямляемой кривой. Тогда длина з(г) части этой кривой, соответствующей отрезку [а,г], где г б [а, о], является непрерывной и монотонно возрастающей функцией параметра б ~7 о к а з а гн е л ь с пг е о.
Возрастание функции з(г) следует из свойства аддитивности длины дуги кривой. Действительно, при гг < гг имеем з(гг) = з(12) + во, где эо — длина дуги кривой, находящейся 269 между точками Аг = (у(!г),ф(!г)) и Аз = (р(!з),ф(!э)), т.е. величина вз — положительна. Отсюда имеем: в(!г) > в(!г). Докажем, что функция в(!) не имеет разрывов. В самом деле, пусть в точке !о функция в(!) имеет разрыв.
Тогда в силу монотонности в(!) точка !о является точкой разрыва первого рода со скачком 6 > О. Значит, для любого отрезка [!ы!в], содержащего эту точку !о, длина дуги кривой, отвечающей этому отрезку [!ы!в], превосходит а. Далее, ысходная кривая А является спрямляемой, поэтому для всякого числа в > О существует вписанная ломаная 1 такая, что О < в(Х,) — в(1) < в. Эта ломаная порождает неразмеченное разбиение Т: а = !о < 1~ < . < 1„ = 6, отрезка [а,6], и каждая точка А» = (у(!»),ф(!»)) отвечает некоторому узлу ломаной 1.,Очевидно, для любого наперед заданного положительного числа Б можно считать, что Ьг < з. Ясно, что длина 1» звена ломаной с номером 6 удовлетворяет условию 1» < в(!» ) — в(!» г ) . Пусть точка !о принадлежит некоторому интервалу (!» ы!»+1). В силу равномерной непрерывности функциЯ р(!) ы в6(!) на отрезке [а,6] существует положительное число Ю такое, что для всех !',!в с условием ]!' — !" ] < 6 выполняются неравенства ]~ (!') — а(!")] < —, ]6(!') — 6(!")[ < —.
8' 8 Следовательно, имеем 1 = (ж(!') — р(!"))'+(Ф(!') — Я"))' < —,1»+ < —. 4' 4 Отсюда и из условыя спрямляемости кривой получим И 6 — = Ь вЂ” 2 — < в(!»+г) — в(!») — (1» + !»+~) < в(ь) — в(1) < в. 2. 4 Последнее неравенство справедливо при любом в > О, но при в = -" > О оно противоречиво. Следовательно, предположение о разрывносты функции в(!) не имеет места. Лемма доказана. Т е о р е м а. Пусть Ь вЂ” снрямляемая кривая. Тогда она имеет плоскую меру Жордана, равную нулю. ,1! о к а в а га е л ь с га е о. Разделим кривую Ь на и дуг, длина н»1 каждой из которых равна а = „.
Это возможно, поскольку функция в(!) является монотонной и непрерывной. Тогда й-я дуга кривой А при 6 = 1,...,и целиком лежит внутри квадрата со сторонами, параллельными осям координат и равными 2а, и пентром в 6-й точке деления кривой Ь. Объединение всех квадратов образует простейшую фигуру Р, целиком покрывающую.
Ь, причем р(Р) < п(2а) = 4п вэ(Ь) 4вг(1,) Устремим и к бесконечности,'получим р'(Ь) = О, а значит, и !з(А) = О. Теорема доказана. это С л е д с т в н е. Пусть граница фигуры Р является спрямляемой кривой. Тогда Р язмеряма по Жордапу. ,7 о к а э а т е л ь с т в о. В силу критерия измеримости и предыдущей теоремы получаем измеримость фигуры Р, что и требовалось доказать. з 5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬЮ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ И ИЗМЕРИМОСТЬЮ ПО ЖОРДАНУ ЕЕ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ Рассмотрим криволинейную трапецию Р, ограниченную кривыми у = У(х), у = О, х = а, х = 6. Имеет место следующий критерий интегрируемости функции по Риману.
Т е о р е м а. Пусть функция у(х) ограявчева я пеотряцательпа на отрезке (а,6). Тогда для интегряруемоств функция у(х) по Рямаяу необходимо я достаточно, чтобы криволинейная трапеция Р, отвечающая крввой у = э(х), была язмеряма по Жордаяу. э7 о к а э а т е л ь с т в о. Необходимость.
Нам дано, что функция у(х) интегрируема по Риману. Тогда в салу критеркя интегрвруемости имеем, что для любого е > О найдется разбиение отрезка [а,6) такое, что о(Т)-э(Т) < е, где Б(Т), в(Т) — соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу, отвечающие разбиению Т.
Заметим далее, что замкнутая простейшая фигура Рь соответствующая верхней сумме Дарбу Я(Т), объемлет криволкнейную трапецию Р, а замкнутая простейшая фигура Р~, соответствующая нижней сумме Дарбу э(Т), вписана в нее, т.е. имеют место теореткко-множественные включения Рэ С Р С Р1 и отвечающие им неравенства э(Т) = р(Рэ) < р (Р) < д (Р) < р(Р1) = Б(Т). Поскольку справедливо неравенство о(Т) -в(Т) = р(Р1) -д(Рэ) < е, то р'(Р) — р,(Р) < е. Отсюда в силу произвольности выбора числа е > О будем иметь, что р'(Р) = р,(Р), т.е. криволинейная трапеция Р измерима по Жордану. Необходимость доказана. Достаточность. В силу критерия измеримости гранина дР криволкнейной трапецви Р имеет плоскую жорданову меру нуль.
Следовательно, плоская мера Жордава ее части: кривой Ь вида у = у(х), а < х < 6, — равна нулю. Поэтому для всякого е > О существует простейшая фигура Я такая, что 6 С Я, р(Я) < е. Продолжим вертикальные отрезки сторон стандартных прямоугольников, составляющих фигуру ф до пересечения с осью Ох. Эти точки пересечения дадут разбиение Т отрезка (а,6]. Обозначим через Я1 простейшую фигуру, лежащую под фигурой»,] в области у > О, а через Яз обозначнм фигуру ЦОЯы Тогда имеем 9ь С Р С 9ю д(Яз) -]ь(Ф) = РД) < г Заметим, что фигуре Яь соответствует нижняя сумма Дарбу, а фигуре 9з — верхняя сумма Дарбу. Следовательно, Б(Т) — е(Т) < г, т.е. имеем 1Ы(Я(т) — (т)) = О, значит, по критерню интегрируемости функция ((х) является интегрируемой.
Теорема доказана. Примеры. 1, Соображения, использованные нами при доказательстве первой части предыдущей теоремы, показывают, что площадь криволинейной трапеции Р; у=Ях)>О, у=О, х=е, х=Ь, равна ь и(Р) = / У(х) ь[х. а 2. Площадь криволинейного сектора Р, граница которого задана в полярных координатах уравнениями г = Др), [о = а, [о = ]3, определяется по формуле а Я о к а з а пь е л ь с пь е о атой формулы опирается на свойство монотонности меры Жордана. Разобьем отрезок [а,]») на ц равных частей точками а = хо < [оь « .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
