Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Множество Ра С Р, состоящее из тех точек хси в которых ряд 2 аи(х) (или последовательность Аи(х)) сходится, называется областью сходнмостн этого ряда (или этой последовательности). Замечание. Область сходимости функционального ряда обычно бывает чже, чем область ее определения. Пример — бесконечная геометрическая прогрессия †;~- = ~ д". и=1 Определение 6. Пусть Ра — область сходямостн функциональной последовательности (Аи(х)) и пусть А(х) есть предельное значение этой последовательности лри фиксированном значении х б Рю Тогда множество лар (х, А(х)) лри всех х б Ра задает некоторую функцию у = А(х), определенную на всем множестве Рю Эта функция называется предельной функцией функциональной последовательности (Аи(х)) .
Если при этом Аи (х) — последовательность частичных сумм ряда ~ а„(х), то функция А(х) называется суммой этого ряда. Итак, сумма функционального ряда — это некоторая функция, определенная на его области сходимости. При х б Рс остаток ряда ги(х)тоже представляет собой некоторую функцию от х, 1и(х) = А(х) — Аи(х), лРичем ги(х) -+ О лРи и -1 оо и пРи любом х б Ро. Многие свойства суммы А(х) такие, например, как непрерывность суммы ряда ~аи(х), связаны с поведением его остатка ги(х) при и -+ оо. Для описания этого поведения далее будет введено важное понятие равномерной сходимости функциональных рядов и функциональных последовательностей на множестве.
Для того чтобы подчеркнуть отличие от него введенного выше понятия простой сходимости, последнюю называют еще поточечной сходимостью. Важные примеры функциональных рядов возникают из разложения различных функций по формуле Тейлора. Например, разлагая в точке хо = О функцию 'у = 81п х при х б %, имеем 2 2и — 1 81цх = х — —, + +( — 1)и ' +си(х), 3! (2и — 1)! 889 где гл(х) — остаточный член формулы.
Записывая его в форме Лагранжа, получим т« Гл(Х) = — 81П! «1т (2п) ! при некоторой точке т с условяеы, что она лежит между точками О и х. Отсюда )х)тл )г«(х)! < —. — (2п)! ' Но при и ) хт имеют место следующие неравенства: (2п)! ) пл, — « — —, хт 1 (2п)! пт и ' т.е. гл(х) -+ О при и ~ со. Таким образом, полагая ( 1)л-1х2»-1 (2п — 1) ' при всех х Е )к имеем разложение а!па = ~ а„(х). «=1 п Определение т. Степенной ряд ~„„О „-, (х — а) называется ридом Тейлора функпнн У(х) в точке х = о, а также разложением функпии у(х) в ряд Тейлора в втой точке. Примеры рядов Тейлора для некоторых функций: 1) е'= ~ — „, (УХОВ); ««О 2) 1п(1+х) = ~, '(-1)л !'— л (-1 < х < 1); л=! 3) з(пх = ~ (-1)л ф-!р (Ух Е В); ил! 4) СОаХ = 2 ( — 1)л(М«)1 ()тя Е В); »=О 5) )1~-*) = 1~ лл -'))=')е'="+-')*" )-1 <*( 1): и«1 б) 1к х = Е (-1)«1$-„- —, ()х) < 1); ««1 7) а!сага х = х+ 2; ~.~~ф)а 'т„+г ()х) < 1).
л«1 1 2: РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЪ Опрщ~еленае 1. Пусть последовательность функций (гп(х)) сходится к нулю при всех х б М. Тогда говорят, что гп(х) сходится к нулю равномерно ма множестве М, есля для любого с > 0 найдется такой номер во = во(е), что пря всех в > во я одновременно прв всех х б М выполнено неравенство (гп(х)( < х. В этом случае используют обозначение: гп(х) =$0 при и ~ оо. ы Замечание. Слово "одновременно" в этом определении, вообще говоря, является избыточным и его можно опустить, однако оно обращает внимание ва главное отличие равномерной сходвмости от поточечной, состоящее в том, что в первом случае число во(с) в определенив предела одно и то же для всех точек х б М, а во втором случае оно может зависеть еще и от а, т.е. во(х) = во(с,х). Определение 2.
Есля функцня А(х) = А„(х) + гп(х), где гп(г) =$0 ы ари в ~ оо, то последовательность Ап(х) называют равномерно сходящемся к функции А(х) на множестве М при в -! со и зто обозначают так: Ап(х) =$ А(х) при и -! оо. м Символ М здесь можно опустить, если по смыслу понятно, о каком множестве идет речь. Далее, если при этом Ап(т) — последовательность частичных сумм ряда ~а„(х), то этот ряд называют равномерно сходящимся к А(х) на множестве М.
Важность введенного понятия равномерной сходимости видна на примере следующей теоремы. Т е о р е м а 1. Пусть каждая нз функций ап(х) непрерывна в точке хо б Ж н ряд ~', ап(х) равномерно сходятся к функция А(х) на внтервале 1 = (хо — Б, хо + 6), где 8 > 0 — некоторое фвксярованное число. Тогда сумма А(х) является непрерывной функцией в точке х=хо Д о к а з а т е л ь с т е о. По определению равномерной сходимости имеем А(х) = Ап(х) + гп(х), гп(х) =$0 (в -+ оо), 1 и СЮ Ап(х) = ~аз(х), гп(х) = ~ аь(х).
ь=! йпп+1 Используя обозначение Ьу(х) = у(г) — у(хо), где у(г) — любая фувцвя, получим ЬА(х) = ЬАп(х) + Ь) п(х) = ЬАп(х) + !'п(х) — гп(хо). 391 Отсюда (б»А(х)/ < /ЬА (х)|+ ~г„(х))+ !го(хо)!. Поскольку г„(х)=$0 (и ~ оо), при любом с1 > 0 найдется номер 1 по — — по(с~) такой, что для всех и > по и для всех х Е! имеем /Г (Х)! < С1, /Го(ХО)/ < СЬ Заметим теперь, что функция А„(х) непрерывна в точке х = хо, поэтому для любого с~ > 0 найдется б» = б~(с1) > 0 такое, что прн всех х с условием !х — хо/ < б~ выполнено неравенство /б»А„(х) / = /А„(х) — А„(хо)/ < с1, Теперь при заданном с > 0 можно взять е~ —— с13, и тогда прн всех х с Условием (х — хо( < б(с) = б1(с~) и пРи и = по(с1) + 1 = по(с) полУчим )ЬА(х)( < )ЬА„(х)(+ (г„(а)(+ )г„(хоИ < с1+ с1+ с1 = с. Но это и означает, что функция А(х) непрерывна в точке х = хо.
Теорема 1 доказана. Далее рассмотрим некоторые простые свойства равномерно сходя- щихся функциональных последовательностей. Определение 3. Последовательность функций (А„(х)) называется равномерно ограниченной на множестве М, если существует такое число С, что при всех и е 1Ч и при всех х е М имеем /А„(х)/ < С. Утверисденне 1. Равномерно сходящаяся на множестве М после- довательность А„(х), состоящая из ограниченных на М функций, является равномерно ограниченной на М. Д о х а з а гп е л ь с тп в о. Пусть В = зпр(А (х)~ хЕМ для каждого натурального числа т. В определении равномерной сходнмостн возьмем с м 1.
Тогда при всех достаточно больших и > по н при всех х Е М )А(х) — А„(х)) < 1, )А(х)) < )А„(х)(+ 1 < В„, + 1. Это значит, что А(х) ограничена, Далее, пусть Во = апр (А(х)(, В = п»ах В». Положим С = В+ 1. вЕМ О<»<оо Тогда прн и < оо справедлива оценка )А»(х)( < В < В + 1 = С, а при й > по имеем ~А»(х)! < ~А(х) — (А(х) — А»(х))) < (А(х))+ )А(х) — А»(х)~ < < Во+1 < В+1= С. Таким образом, утверждение 1 доказано полностью, Попутно доказано еще одно утверждение.
392 Утверждение 2. Если функция А(х) является ограниченной на множестве М и А„(х) ч А(х), то при некотором по Е И функциои нальная последовательность В„(х) = А„,+„(х) равномерно ограничена на М. Следующие два утверждения приведем без доказательства, поскольку они доказываются точно так же, как и в аналогичных случаях для числовых рядов, Утверясдеиие 3. Пусть при и -ч оо имеем а„(х) ч а(х), 6„(х) =Ь 6(х), и м Тогда: 1е.а„(х) + Ь„(х) ~ а(х) + Ь(х); 2~, если )6(х)! ( С при некотором С > 0 и всехх Е М, то а„(х) Ь„(х) ч а(х) .Ь(х); Зе.~~ф=$®, если только 1ДЬ(х)(> С > 0 при всехх Е М. Утверждение 4.
Если последовательность д„(х) является равномерно ограяиченной и г„(х) =60 при и -ч оо, то Н„(х)г„(х) =60 при м м п -ч оо. Лекции 9 з 3. КРИТЕРИЙ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Докажем теперь критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. Т е о р е м а 1 (критерий Коши). Для того чтобы функциональная последовательность А„(х) равчомерно сходилась яа множестве М, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О существовал номер па — — па(г) такой, что при всех п1 > па и и > по и всех х Е М имело бы место неравенство )Ач(х) — Ам(х)) < е. Д о к а з а тл е л ь с ш в о.Необходимость.
В этом случае А„(х)~А(х). Таким образом, для любого е > О существует число м по = па(е) такое, что для всех и > па и для всех х Е М имеем ~А„(х) — А(х)( < г/2. Но тогда при гп > па и и > па имеем (Ат(х) — Аэ(х)! < )А~(х) — А(х)!+ /А(х) — А„(х)/ < е/2+ е/2 = е, что и требовалось доказать. ,досташочносшь. При каждом фиксированном х Е М функциональная последовательность А„(х) превращается в числовую и для нее выполняется критерий Коши.
Это значит, что она имеет предел А(х), т.е. предельная функция существует на всем множестве М. Далее, каково бы ни было число г > О, по условию найдется номер и; = п1(е/2) такой, что при всех гп и и > п1 имеем ~А„(х) — А (х)~ < г/2. Снова произвольно зафиксируем х Е М и устремим ш к бесконечности. Получим неравенство !А„(х) — А(х)/ < е/2 < г. Но тогда, полагая пе .— — па(г) = п1(г/2), прн всех и > пэ и всех х Е М будем иметь |А„(х) — А(х)! < г, т.е. А„(х) =$А(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
