Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 66
Текст из файла (страница 66)
«-ссо Напомним, что для всякой ограниченной последовательности существуют верхний я нижний пределы. /| о к а э а сп е л ь с т е о. Для краткости записи будем считать, что число ха равно нулю. Для общего члена числового ряда имеем равенство )/„(х)) = )а„х") = Ь"„)х( = (Ь„ф) В случае 1) общий член /„(х) не стремится к нулю и потому ряд расходится. В случае 2) при фнксированном )х~ < 1/! и любом а > яа, применяя признак сходимостя Коши в предельной форме к ряду 2 )/„(х)), имеем 1пп )/сс (х) / с" = х |пп Ь„< !/! = 1. «-соо »-ссо Это значит, что все х < 1/! принадлежат области сходимости ряда.
Если же )х~ > 1/1, то легко вндеть, что общий член ряда, как и в случае !), не стремится к нулю и ряд тоже расходится. 411 В случае 3) снова согласно признаку Коши при всех х имеем 1пп [/«(х)]П" = ]х! 1пп Ьп = О < 1, т.е. ряд сходится. Теорема 1 доказана. Замечание. Если [х! = й, то ряд ~ у«(х) в доказанной теореме может и сходиться и расходиться. Примером служит ряд хп 1 — = 1п —, и 1 — х пь1 для которого Я = 1 и при х = -1 имеет место сходимость, а при х = 1 — расходямость.
Т е о р е м а 2. Пусть й > Π— радиус сходимости степенного ряда ~ апх«и г — проязвольное число с условием О ( г ( Я. Тогда на отрезке [ — г,г] этот ряд сходится абсолютно и равномерно, а его сумма А(х) непрерывна на нем. ,У О к а з а ш е л ь с ш е О. Точка г1 = (Е+ г)/2 < й принадлежит области сходимости ряда, поэтому при х = г1 его общий член апг1 ограничен, т.е. ]ап]г", < с при некотором с > О и всех и. В силу того, что г < г1, имеем й~"~"=Й~"~;Я'= ЙЯ'=,;, НО тОГДа СХОДЯЩИЙСЯ РЯД 2 ]ап! ГО ( ОО бУДЕт МажОРаитай ДЛЯ 2 а«Х« на отрезке [-г,г]. Следовательно, на этом отрезке ряд сходится абсолютно и равномерно.
При тех же условиях сумма А(х) ряда 2" а«хи является непре- рывной функцией на отрезке [ — г, г], поскольку он сходится там равномерно и его члены непрерывны. Теорема 2 доказана. Т е о р е м а 3. Если Я > Π— радиус сходимости степенного ряда 2 апх", то на любом отРезке [-г,г] С [-В, Я] этот РЯд можно почленно дифференцировать и интегрировать на интервале сходимостн. Д О к а з а ш е л ь с ш е о. Формальное почленное дифференцирова- НИЕ СТЕПЕННОГО ряда ~„"а«Х" даст ряд Х 1 ~ Иа«Х« = Х '2 „, Ь«Х", «=О «=1 а интегРиРование его пРиводит к РЯДУ х ~ с«хи = х 2 и„'+ — *, . ДлЯ п«О ««О величин ]Ьп[П« и [сп]П" в теореме Коши — Адамара имеем равенства ]Ьп[П« = иП« ]ап! ~", [сп! ~ = (и+1) Пп]ап! ~". Но так как (и+ 1) ~" -+ 1 при и-+ оо, то по этой теореме радиусы сходимости всех трех рядов равны и ряды сходятся равномерно на любом отрезке вида [ — г,г], г < Н.
Но тогда их можно почленно дифференцировать и интегрировать на этом интервале сходимости. Теорема 3 доказана. ОЩ Т е о р е м а 4 (теорема Абеля). Пусть ряд 2 а х" сходятся в точке х = с > О. Тогда его сумма А(х) непрерывна на отрезке .! = [О,с], Если же число с ( О, то функция А(х) непрерывна на отрезке [с, 0). Д о к а з а и! е л ь с тп е о. Рассмотрим сначала случай с > О. Представим общий член а„х" этого ряда в виде аях = а„(х)Д,(х), где о„(х) = а„с" и 4,(х) = х" /с". Тогда к этому ряду на отрезке ! = [О, с[ можно применить признак равномерной сходимости Абеля, так как: 1) ряд 2 а„с" не зависит от х и поэтому сходится равномерно на отрезке /; 2) последовательность !1„(х) = х~/с" монотонна и равномерно ограничена на /, так как [х" /с" [ < ! при всех х б Е Но тогда сумма А(х) этого ряда непрерывна на Е Случай с ( О сводится к рассмотренному заменой у = — х.
Теорема 4 доказана. Т е о р е м а 5 (выражение коэффициентов степенного ряда через значения производных его суммы в точке разложения). Пусть степенной ряд 2 а„(х. — хо)" = А(х) имеет положительный радиус ь=о сходимости В. Тогда ао = А(хо) и при всех п > ! имеем равенства аь — '1 (хо)/и" Д о к а з а и! е л ь с га е О. По теореме 3 равенство А(х) = 2 а„(х — хо)" можно почленно дифференцировать. Поэтому я=о при х = хо имеем А(хо) = ~ а (хо — хо)" = ао, я=о А'(хо) = ~ ~' аь п(хо — хо)" ' = а! 1!, я=1 А" (хо) = ~ а„п(п — 1)(хо — хо)" = ао ° 2!, я=о А!"1(хо) = т а„.п(п — 1) ... (я — к+1)(хо — хо)" "= аь й!. Отсюда и следует требуемое утверждение. Теорема б доказана. 413 и<шерввл сходимости, выходящий за пределы прежнего интервала. Рассмотрим, например, разложение вида 1 1 1 ! А(х) = =1 — х+х' —...— 1+ х 2+ (х — 1) 2 1+ (х — 1)<<2 1 х — 1 (х — 1) 2 =- — — + 22222т Здесь разложение по степеням х имеет радиус сходимостн Яе = 1, а по степеням (х — 1) — радиус В< = 2.
Определение 3. Метод распространения области определения аналитической функции путем ее разложения в степенной ряд в точке, не совпадающей с центром первоначальной области определения, называется принципом аналитического продолжения функции. Особую ценность этот принцип приобретает при рассмотрении степенных рядов от комплексного аргумента. Дело в том, что формальная подстановка комплексного числа х = а+61 вместо вещественного х в степенной ряд 2', а„(х — хв)" позволяет естественным образом распространить область определения функции А(х) на точки комплексной плоскости. Для этого достаточно ввести понятие сходимости ряда, составленного из комплексных чисел. Самый простой способ сделать это состоит в том, чтобы считать ряд ~(а„+ 16„) сходящимся к комплексному числу А+ В1, если одновременно 2'а„сходится к А и 26„сходится к В.
Можно очень просто показать, что для сходи- мости рядов с комплексными членами верен мажорантный признак Вейерштрасса. Но тогда если, например, ряд 2 а„х" сходится при некотором х = хс ф О, то при всех г с условием г < )хв( ряд 2 )а„( г" тоже сходится. А если х = а+ 6< и !г! = г, то сходится и ряд 2 а„х".
Это значит, что область сходимости рида 2 а„х" содержит на комплексной плоскости С круг радиуса В = !хв~ с центром в нуле. Используя принцип аналитического продолжения, можно определить значения аналитической функции и в других точках комплексной плоскости. Важно, что указанная процедура, по существу, дает в некотором смысле однозначное продолжение. Такой способ позволяет однозначно продолжить на комплексную плоскость все элементарные функции. Например, оказывается, что при вещественных а и 6 имеем е'+<в = е'(сов 6-1-1в1п 6). Аналитические функции на комплексной плоскости играют очень большую роль в математике. Связанные < ними проблемы составляют содержание обширной ее области — теории функций комплексного переменного, знакомство с которой входит в 'отдельный курс.
Задача. Пусть у'(х) — функция, бесконечно дифферекцируемая на интервале (а,6). Обозначим через й„число решений уравнения 11«1(х) = О. Пусть й„< Г при некотором С и всех п б г<. доказать, что функция 1'(х) является аналитической на интервале (а,6). Лекция 13 ! 9.
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ Определение 1. Рассмотрим числовую последовательность положительных чисел 16„), Формальное бесконечное произведение всех ее членов Ь1 61 . Ьз . Ь„ называется бесконечным числовым произведением, или беско- нечным произведением, или просто произведением. Бесконечное произведение обозначается так: 61 Ьт П Ь» — ПЬ», »=1 Определение 2. Конечное произведение П» вида П» = 61 ° ..6» называется и-м частичным произведением. Определение 3.
Если последовательность П» сходится к числу П ~ 0 !т.е. П ) О), то бесконечное произведение называется сходяшимся !к числу П). Если П = О, то это бесконечное произведение называется расходяшимся к нулю, а если П -+ +со, то оно называется расходяшимся к бесконечности. Если предела нет вообпсе, то оио называется просто расходящимся. Утверждение 1 (необходимый признак сходимости бесконечного произведения), Если ПЬ» сходится, то Ь» -+ 1 при п -+ сю.
Д о к а з а л! е л ь с и! в о. Если П» -1 П ф О, то П» П Ь» = — -1 — = 1 при и -+ сю. П» П Утверждение доказано. Утверждение 2. Сходимость бесконечного произведения ПЬ„влечет за собой сходимость ряда !п6», и наоборот, причем !.йЬ.=Е1.6. и»1 п Я о к а з а»! е л ь с и! в о. Имеем!и П» = ~', 1п Ьь. Функция у = !ах Ми! устанавливает непрерывное взаимно однозначное соответствие между лучом (О,+оо) ы всей вещественной осью )й = ( — оо,+оо). Поэтому в салу положительности Ь„для всех и Е, )Ч возможен переход к пределу в одной часты равенства пры сходвмосты другой его части, ы пры этом !пП = ~~~,)пЬ». Сходымость к нулю левой часты равенства эквывалентна сходымосты к -оо правой его части.
Утвержденые доказано. Замечание. Очевидно, что отбрасывание ылы добавление любого конечного чысла ненулевых сомножытелей ве влияет на сходымость бесконечного произведения. Поэтому можно счытать, что конечное число членов этого произведения могут быть в отрицательными. ОО Определение 4. Бесконечное провзведенве П 6» называется аб»»о солютно сходящимся, если абсолютно сходится ряд ~;1пЬ». Это означает сходвмость ряда 2;!!пЬ„).
Сходящееся бесконечное провзведение П Ь„, не являющееся абсолютно сходящвмся, называется э=1 условно сходяшнмся. Из предыдущего утверждения ы теоремы о сходымосты абсолютно сходящегося ряда непосредственно вытекает следующая теорема, Т е о р е м а 1. Абсолютно сходящееся произведение всегда сходится в обычном смысле. Поскольку мы считаем, что 6„> О пры всех и, чысла Ь„обычно представляют в виде Ь„= 1+ а„, где а„> — 1. Тогда имеем ццц ьэ ПЬ.=П(1+ -) э=1 Т е о р е м а 2 (крытерый абсолютной сходымосты бесконечццц ного произведения).
Бесконечное произведение П (1+ а„) абсолютно э»п сходится тогда и только тогда, когда сходвтся ряд ~,)а„). Д о к а з а щ е л ь с щ е о. Так как 1+ а„~ 1 пры и -» оо, то а -+ О. Однако !п(1+ я) -~1 пры х-+О, поэтому пры и ~ оо нмеем !п(1+ а„) ~ !п(1+ а„)) !а„) Следовательно, пры достаточно большом и > иэ выполнены неравен- ства 1 ! 1п(1+ а„)) 3 2 )аэ) 2 !4 Лекции цц ццицццц ццм цу цццээц щт Если, например, сходится ряд ~',(!и(1+ а„)(, то оп будет мажорантой для ряда ~„(а»!/2, а если сходится ряд ~)а„), то он является мажорантой для ряда 2';2)1п(1+ а„)!/3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
