Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 65
Текст из файла (страница 65)
В этом случае будем писать: в 1( ', у) =6 у(у) Рассмотрим теперь базу П = (е), заданную на множестве У. Определение 2. Если 7 (х, у) сходится к д(у) ло базе В, а функция у(у) сходится к 11 по базе В, то число 11 назовем повторным пр~хелом функции 7(х,у) по базам В и О.
Этот предел будем обозначать символом 11щ11щт(х, у) =1ы в в Изменяя порядок выполнения предельных переходов, можно рассматривать еще один повторный предел, а именно, !1пз!нпу(х, у) = 1з. в в Далее введем понятие двойного предела по базам В и В. Определение 3, Рассмотрим в качестве основного множества декартово произведение Х х У, состоящее из всевозможных пар (х,у), где х б Х и у б У, и рассмотрим определенную на нем базу Н, составленную иэ всех возможных сочетаний Ь вида Ь = Ь х е', где Ь б В и о б Р.
Эту базу будем называть декартовым произведением баз В и 0 и обоэначатзк Н = В х В. Легко убедиться в том, что множество Н действительно образует базу множеств. В самом деле, 1) каждый ее элемент Ь = Ь х о, очевидно, не пуст и 2) пересечение любых двух ее элементов Ь1ОЬз = = (61 х л1) г1 (ьз х из) содержит некоторый третий элемент ьз = ьз х из, где окончании Ьз б В и оз б 0 удовлетворяют условиям 6з С Ь~ О Ьз и й С л', П йз. 407 Т е о р е м а 1 (теорема о двойном и повторном пределах по базам в в множеств). Пусть У(х,у) =Фг?(у) и У(х,у)-?гг(х).
Тогда существуют У оба повторных предела: 1пп1пп/(х,у) =1?, 1пп1пп/(х,у) =!г в в ' ' в в и двойной предел по базе Н = В х Вт 1пп/(х,у) =!з и причем 1? = 1г =!з. Д о к о з о т е л ь с т е о. Пусть е > О произвольно. в Поскольку У(х, у) =8 г'?(у), существует окончание Ь = 6(е) Е В та- У кое, что при всех х е 6(е) и при всех у Е У справедливо условие )У(х,у) — г?(у)) < е/3. Зафиксируем какое-либо х = хо Е Ь(е).
В силу в условия У(ха,у) ?гг(ха) найдется окончание и = о(е) е ь?, для всех точек у? и уг которого имеем )У(хо у?) — У(ха,уг)~ < е/3. Но тогда при тех же у? и уг справедливо неравенство )г?(У?) — г?(уг)~ = = )(г?(у?) — У(хо У?)) + (У(ха, У?) — У(ха, Уг)! + (У(ха, Уг) — Р?(уг))) < < ~Р?(у?) — У(хо, у?)) + ~У(ха, у?) — У(ха, уг)) + ~У(хо уг) — Р?(уг)) < < е/3+ е/3+ е/3 = е. По критерию Коши отсюда следует, что при некотором 1 имеем в и Г?(у)-+1, те, 1пп!пп/(х,у) = 1.
Теперь покажем, что У(х,у)-?1, в в в где Н = В х О, Поскольку Р?(у) — ?1, для любого е > О найдется окончание Н = Н(е) е П с условием )г?(у) — 1) < е/2 при всех у Е о((е). в Далее, в силу того, что У(х, у) 4 Г?(у), найдется окончание 6(е) с У условием )У(х, у) — г?(у)) < е/2 при всех х Е 6(е) и у Е У. Возьмем теперь в качестве Л = Л(е) Е Н окончание Л(е) = 6(е) х ?!(8). Тогда для всех его элементов (х,у) имеем неравенство !У(х, У) — 1) < )У(х,у) — Р?(у)/+ /Р?(у) — 1/ < е/2+ е/2 < 8. Это значит, что У(х,у) 41. в Осталось доказать, что гг(х) ?1. Для этого в неравенстве )У(х, у) — Р'?(у)) < е/2, 408 справедливом при всех (х, у) Е Л(с) = 6(с) х о(с), при каждом фикси- рованном х рассмотрим предел по базе Р.
Тогда получим (Рз(х) — !! < с/2 < с. Это и означает, что Рз(х) — > !. Теорема 1 доказана. в Профессор Т. П. Лукашенко обратил внимание на критерий сушествования и равенства повторных пределов по совокупности двух баз В и Р, доказанный Р. А. Гордоном [32) в 1995 г. Это утверждение обобщает соответствующий критерий А. А, Маркова (1858 - 1922) для повторных рядов.
Т е о р е м а 2 (критерий существования повторных пределов по базам множеств).,Пусть яа множестве Х = (х) задана база В, а на множестве У = (у) — база Р. Рассмотрим функцию /(х,у), определенную на декартовом произведении Х х У я удовлетворяющую следующим условиям; /(х,у) +д(у); /(х,у) +Л(х). Тогда для того чтобы оба повторных предела 1ип!ип/(х, у) =!ипд(у) и в ' и и 11ш11ш/(х,у) = 1)гпЛ(х) существовали и были равны между собой, в в ' в необходимо и достаточно выполнения следующего условия: для любого с > О найдется окончание 6(с) Е В такое, что для каждой его точки х существует свое окончание о' = а (с) Е Р, для всех точек у которого выполнено неравенство ~/(х,у) — д(у)~ < с.
Д о к а з а ш е л ь с т е о. Необходимость. Пусть оба повторных предела существуют и равны !. Тогда справедлива оценка //(х,у) — д(у)/ = !(/(х,у) — Л(х)) + (Л(х) — '!) + (! — д(у))/ < < //(х, у) — Л(х) /+ /Л(х) — 1/ + ~! — д(у) /. Так как оба. повторных предела равны 1, то для всякого е > О найдутся окончания 6 е В и И Е Р такие, что при всех х Е 6 и при всех у Е И имеем (Л(х) — !/ < с/3 и /д(у) — Ц < с/3. Кроме того, при фиксированном х Е Ь в силу условия /(х,у) -+Л(х) и найдется окончание Ы1 б Р, для всех точек у которого выполнено неравенство ~/(х, у) — Л(х) ~ < с/3. Теперь в качестве искомого окончания 6(с) возьмем окончание Ь, а в качестве И (с) возьмем некоторый элемент дс Е Р, принадлежащий пересечению с~ и ды т.е.
Ик(с) = Иа С 409 ЫО4. Тогда для всех точек х б 6(е) и всех у б Н (г) будут выполнены все три неравенства, откуда имеем )/(х,у) — у(у)~ < е. Необходимость доказана. ,Уостаточаосгаь. Возьмем произвольное число е > О и рассмотрим окончание 6(е) б З из условия теоремы. Проверим выполнение критеряя Коши для сходимости у(у) по базе Р. Для этого рассмотрим фиксированную вспомогательную точку х б 6(е) и соответствующее в ей окончание Ы,(е) базы Р. Далее, в силу сходнмости у(х,у) +Ь(х) из критерия Коши следует, что при данном х найдется окончание И Е Р такое, что для всех уы ут б Н справедливо неравенство Щх, у~)— у(х, ут) ~ < е. Возьмем теперь окончание Ио С ИйИ,(е).
Для любых точек у1 и уз, принадлежащих окончанию Ио Е Р, величина Ь = ~у(у1) — у(уз)! опенивается так: Л < /я(у1) Лх у1)! + йх у1) ~(х, у2)/ + !Дх, у2) я(ут)! < Зе. в Это и означает, что при некотором 1 имеет место сходимость у(у) -+1. в Осталось показать, что Ь(х) ~1. Для этого снова возьмем произ- вольное число е > 0 и соответствующее ему окончание 6(е) Е В, и для каждой фиксированной точки х б 6(е) оценим величину Ь1 — — ~Ь(х) — 1(. в в Иэ условий у(х, у) -+ Ь(х) и у(у) ~! следует, что существует окончание Ы б Р такое, что для всех у б И выполняется неравенство )Дх,у) — Ь(х)! < е и (д(у) — 1( < е.
Возьмем вспомогательную точку у б Ий И,(е). Тогда справедлива оценка Ь~ — — $Ь(х) — 1/ < $Ь(х) — у(х, у)!+ /~(х, у) — у(у)) + $у(у) — Ц < Зе. в Другими словами, имеем Ь(х) ~1. Теорема 2 доказана полностью. Замечание. Если в формулировке теоремы 2 положить И,(е) = У, то получится условие равномерной сходимости по базе В относительно множества У.
В этом случае утверждение теоремы 2 будет следстви- ем теоремы 1. Таким образом, теорема 2 позволяет осуществлять перестановку предельных переходов при более слабых ограничениях. Однако при этом двойной предел в общем случае уже не существует, так что обе теоремы имеют свои сферы применения, Тем не менее если в условии теоремы 2 считать, что в качестве Н,(е) можно взять окончание И(е) одним и тем же вне зависимости от точки * б 6(е), то двойной предел существует и равен повторному, Отметим также, что утверждение теоремы 2, являясь критерием существования и равенства повторных пределов, симметрично относи- тельно двух рассматриваемых баз, в то время как в ее условие обе базы входят неравноправно. Это дает определенную свободу выбора при ее использовании.
Лекпня 12 $8. СТЕПЕННЫЕ РЯДЪ| Напомним, что степенной ряд — это ряд вида 2 а„(х-ха)" = А(х), »=0 1де хц — фиксированное вещественное число. Основные свойства степенных рядов практически не зависят от. хй, и поэтому часто считают, что ха = О. Примерамя степенных рндов являются рассмотренные ранее ряды Тейлора. Оказывается, что всякий степенной ряд является ридом Тейлора своей суммы. Рассмотрим вопросы, связанные с определением области сходимости степенного ряда. Определение 1. Число Н называется радиусом сходнмости степенного Рида 2 а„(х — хе)", если этот РЯд сходитси пРи всех х с условием )х — хе( < В и расходятся при )х — хо! > Й. Корректность определения обеспечивается следующей теоремой. Т е о р е м а 1 (теорема.
Коши — Адамара). Пусть задан степенной ряд ~ /„(х) = 2,а„(х-хц)™, Рассмотрим числовую последовательность Ь„= )а„!'!". Тогда: !) если Ь„является иеограяичеияой последовательностью, то этот ряд расходится при всех х ф ха, 2) если Ь„ограяичеиа и ! = 1пп Ь„ф О, то !! = 1/1; »-ссо 3) если 1пп Ь„= О, то данный ряд сходятся при всех х б й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
