Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 67

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 67)

Но это означает, что ряды 2 !а„) и 2 ) 1п(1+ а»)( сходятся и расходятся одновременно. Теорема 2 доказана. Следствием этой теоремы является следующее утверждение. Утверждение 3. Если пря достаточно большом п > пе все числа а„имеют один и тот же знак, то сходямость произведения П(1+ а») эквявалеятяа сходямостя ряда ~а„.

/У о к а э а т е л ь с т в в. Поскольку и сходимость ряда, и сходимость произведения влечет эа собой соотношения а„— > О, 1п(1 + а„) -~ О, 1п(1+ а») -+ 1 при и — > оо, в» отсюда следует, что при достаточно большом п > пе величина 1п(1+а») сохраняет знак вместе с а . Это означает, что сходимость рядов ',у"а„, 2'1п(1+а») и произведения П(1+а„) эквивалентна их абсолютной сходимости. Теперь, применяя теорему 2, получаем требуемое утверждение.

Рассмотрим некоторые примеры бесконечных произведений. Пример 1. Гамма-функция Эйлера Г(в). По определению имеем Г(в) = — П (1+ — ) е'У", »гы где в ф О,— 1,— 2,... — любое вещественное число (или даже комплексное число, если определение 3 распространить на комплексные числа), у — постоянная Эйлера, 1 1 у = (пп (1 + — + + — — 1п и) = О, 577... -~со 2 я Бесконечное произведение, через которое определяется гамма- функция Эйлера, сходится абсолютно при любом в ф. О,— 1,— 2,..., так как при достаточно большом и > пе в силу формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа справедлива оценка и сходящийся ряд ~ в~/и является мажорантой для ряда 2,'(!пЬ„!. 418 натурального числа на простые сомножителях Отсюда имеем.

неравенства 1 1 1 С) ) = ~ — „, > К вЂ”, > П. = К вЂ” „,. п=1 т=1 '" ьж1 Переходя здесь к пределу при х -+ со, получаем требуемый результат. Утверждение доказано. При з = 1 справедлива оценка ! 1 1 1 Пь = И!1+ — + — +. ) > 1+ -+ + —,. р, рз 2 х' расходится к +со, а вместе с ним поэтому произведение 1) )! — — ) расходятся ряды — 2 !и!! — ~ ) и к=~ Рэ Лекция 14 1 10. БЕСКОНЕЧНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Понятие определителя бесконечного порядка возникает в связи с изучением "систем из бесконечного числа линейных уравнений от бесконечного количества неизвестных.

Потребность в рассмотрении таких систем уравнений и таких определителей впервые возникла при исследовании задачи об определении движения перигелия лунной орбиты, которое провел Г. Хилл. Позже, в !880 г. А. Пуанкаре дал строгое математическое обоснование метода Хилла. Еще одно приложение метода бесконечных определителей дано в работах Е. Фредгольма в 1903 г. при исследовании линейных интегральных уравнений. Пусть 6 „— двойная последовательность вещественных чисел. Обозначим через Р = ))В )) определитель квадратной матрицы В« = = 16ы), где индексы 6 и 1 пробегают значения от 1 до гп.

В этой матрице число Ьы находится на пересечении строки с номером 6 и столбца с номером 1. Главную диагональ этой матрицы образуют числа Ььм где 6 = 1,...,гп, Обозначим через В бесконечную матрицу ))Ь „)), где и!, н = 1, 2, 3,.... Определение 1. Если последовательность определителей Р сходится к числу Р при и! -! со, то будем говорить, что бесконечный определитель Р = ))В)) матрицы В сходится к числу Р илн что он равен Р, Если последователыгость Р,«расходится, то этот определитель будем называть расходящимся. Определители Р будем называть частичными определителями бесконечного определителя Р. Введем новые обозначения.

Для диагональных элементов матрицы В положим 6„„= 1+ а„„. Если же гп 16 и, то будем считать, что а „= 6 „. Определение 2. Мажорантой Пуанкаре бесконечного определителя Р назовем бесконечное произведение Р вида при условен, что все ряды 2,' )а «) сходятся н само произведение Р ««е тоже сходвтся. Т е о р е м а 2 (теорема Пуанкаре). Бесконечный определитель сходится, если абсолютно сходятся бесконечное произведение его диагональных элементов я двойной ряд, составленный нз его неднагональных элементов. Д о к а э а яг е л ь с пг е о.

Так как Ь„, = 1+а„,,„, то абсолютная сходимость П Ь произведения диагональных элементов т=1 эквивалентна сходимости ряда ~ ~а ~. Кроме этого, по условию т=1 сходится и двойной ряд ~ )а тфа Но тогда сходится и бесконечное произведение Р, где так как его сходимость обеспечена сходимостью повторного ряда ~ат „~. Представим значение определителя Р матрицы В в т=1 «=1 вйде суммы ряда: Р = Р1 + (Рг — Р1) + (Рз — Рг) + = а1+ аз+ из+ = ~~~, и' .

я=1 Согласно теореме 1 при всех п Е И справедлива оценка ~А,+1! = Ря+1 — Ря~ < Р +1 — Рв = р„+ы где Є— мажоранты Пуанкаре определителя Р„и Р„< Р. Отсюда следует, что сходящийся ряд ~ р„э1 = Р— Р1 является мажорантой «=1 для ряда ~ ' Ы„+1, и поэтому сходится последний ряд, а также ят1 и последовательность его частичных сумм Р„. Но это и означает сходимость бесконечного определителя Р. Теорема доказана. Замечание. Аналогичная теорема имеет место и для бесконечного определителя Р матрицы В вида В = (Ь,„„), где — оо < пг,п < +оо. Здесь частичные определители Р,„и матрицы В,„имеют вид Р = ))В !), В = (Ьэ1), -гл < Ь,1 < пг.

424 Задача. Доказать теорему Коха о том, что необходимым н достаточным условием абсолютной сходимости определителя Р вида 1 а| ... О О В, 1 ... О О Р= !пп в-ню О О ... 1 а О О ... В 1 является абсолютная сходимость ряда ~ а„4,. При этом абсолютная сходимостьопределителяР означаетсходимость ряда ~ ~Р +,— Р ). п~= 1 В заключение дадим еще одно определение, обобщающее понятие мажоранты Пуанкаре. Определение 4. Пусть А„(х) — функциональная последовательность, а „— числовая последовательность, причем „— > В при и — э сю.

Пусть также при всех п б И для каждого х б .Р справедливо неравенство ~А„+1(х) — А„(х) ~ < В„+1: В„. Тогда числовая последовательность В„называется мажорантой для последовательности функций А„(х) на множестве Р, Очевидно, что последовательность А„(х), имеющая на множестве Р мажоранту В„, равномерно сходится на атом множестве. | 11. РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЪ|ВНОСТЬ И ТЕОРЕМА АРЦЕЛА Докажем теорему Арцела, важную главным образом для приложений за пределами основного курса математического анализа.

Определение 1. Множество функций М называется равностепенно непрерывным на отрезке | = (а, 6], если для всякого е > О найдется число д = б(е) > О такое, что для любой функции |(х) б М и любых х| и хз с условием )х1 — яз) < б справедливо неравенство Щх1) — У(хг)~ <е. Т е о р е м а 1 (теорема Арцела). Если бесконечное множество функций М равномерно ограничено на отрезке Г и равностепенно непрерывно на нем, то из всякой последовательности функций У„(х) б М можно выбрать подпоследовательность („,(х), равномерно сходящуюся на 1 к некоторой непрерывной на Г функции уа(х), не обязательно принадлежащей М.

Д о к а з а т е л ь с гп е о. Будем для простоты считать, что Г = [0,1]. Идея доказательства состоит в замене с допустимой ошибкой произвольной точки х при использовании критерия Коши на близкую к ней двоично-рациональную точку с возможно меньшим знаменателем. Занумеруем множество (к») всех двоично-рациональных чисел а/2" этого отрезка в порядке возрастания показателя степени И при его различных значениях и в порядке возрастания числителя дроби а при равных значениях знаменателя дроби 2". Таким образом, имеем — О, хг = 1, хз = 1/2, х» = 1/4, хз = 3/4...

хг»+~ = (2 1)/2", хз»+з — — 1/2ь+~,.... Рассмотрим теперь множество чисел В~ —— (/а(х~)), где /„(я) — исходная последовательность функций, /„(х) б М. Множество В~ ограничено в силу условий, наложенных на М, и по теореме Больцано — Вейерштрасса из последовательности В~ можно выбрать сходящуюся подпоследовательность /„(х~). Рассмотрим последовательность номеров пм ..,, и,... получившейся последовательности и образуем первую вспомогательную подпоследовательность функций С~ — — (д~ (х)), полагая д~ (х) =/„(х).

Тогда будем иметь, что последовательность дп,»(х~) = /„(х~) сходится к некоторому значению у~. Далее образуем по тому же правилу подпоследовательность функций Сз = (дьд(х),..., Ух,»(х),... ), используя в предыдущих рассуждениях последовательность д~ (х) вместо /„(х) и точку хз вместо хь В результате получим, что дз (х) — подпоследовательность для (уц» (х) ) и уг,»~(хг) -+ уг при гп -+ со. Многократно повторяя этот процесс, получим подпоследовательности Сз = (уз,, (х)), С4 = (у4»»(х)) н т.д., причем тогда дь (хь) -+ уь при гп -+,оо и последовательность дь (х) будет подпоследовательностью относительно дь ~ (х) при всех И > 2.

Рассмотрим теперь "диагональную" последовательность функций (И„(х)), где И„(х) = д„„(х). По построению, начиная с номера и = И, все функции Л„(х) при и > Й образуют подпоследовательность последовательности Сю поскольку И„(х) =д„„(х) б С» С С» ~ С С Сю Отсюда следует, что при любом И и п > И числовая последовательность Л„(яь) является подпоследовательностью для д»(хь), и поэтому Л„(хь) -+ уь при п -+ со. Покажем, наконец, что последовательность функций Л»(х) удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости. Рассмотрим произвольное число е > 0 и покажем, что существует номер пе = пе(е) такой, что при всех гп и и > пе одновременно для всех х б 1 выполнено неравенство (/ (х) — /„(х)! < е. Для этого, используя равностепенную непрерывность множества функций М, найдем число е = е(е/3) такое, что при всех х~ и хз б Х с условием (хз — х~~ < б и для любой функции /(х) б М имеем (/(хз) — /(х~)~ < е/3. Выберем число И из условия 6/2 < 2 " < У и перенумеруем все двоично-рациональные точки хм..., кз»+~ со знаменателями, не превосходящими 2, в порядке ь возрастания их величин.

Характеристики

Список файлов книги