Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 63

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 63)

Теорема 1 доказана. м Если А„(х) — последовательность частичных сумм функционального ряда 2,'а„(х), то теорема 1 дает нам критерий Коши равномерной сходимости этого ряда. Сформулируем его в виде следующей теоремы. Э94 Т е о р е м а 2. Для равномерной сходимости ряда 2 а«(х) яа множестве М необходимо и достаточяо, чтобы для любого е > 0 существовало па — — па(е) такое, что для каждого п > па, и для каждого р б г1 и для всех х б М выполпялось бы веравепство «+р аь(х) < е. ь««+1 И наконец, исходя из теоремы 2 сформулируем в прямой форме критерий отсутствия равномерной сходимости ряда 2 а«(х). Т е о р е м а 3.

Утверждеяие о том, что ряд 2 а«(х) или последовательвость А«(х) не являются равномерно сходящимися на множестве М, означает, что существует е > 0 такое, что пайдутся две последовательности (и„,) и (р,„) б п1, причем ам+1 > п„„а также последовательность (х ) б М, для которых имеет место неравенство «+р аь(х ) > е. ьх« +1 Примеры неравномерно сходящихся рядов и последовательностей. 1. Ряд А(х) = 2 х(1 — х)«сходится неравномерно па [0,2). ««а Действительно, сумма ряда А(х) при х 11 0 равна 1 х А(х) =х~ (1 — х)«=х = — =1 ««в и А(0) = О, Это значит, что х = 0 — точка разрыва функции А(х). Но если бы сходимость была равномерной, то функция А(х) была бы непрерывной в силу теоремы 112, поскольку а«(х) = х(1 — х)« непрерывна в нуле.

Но это не так. Следовательно, равномерной сходимости иет. 2. Если А«(х) = х", то па множестве М = (0,1) равномерная сходимость не имеет места. Действительно, в теореме 3 положим г = 0,1 и при каждом рп > 1 возьмем и = т, х = 1 — 1/гп, р = рп. Тогда будем иметь ~А (х ) — Ат (х )! = 1 — — ) — ~1 — — ) рпу' тп) 1 — — 1 — 1 — — » — — О, 1 = г.

Таким образом, по критерию Коши в форме теоремы 3 последова- тельность А«(х) ие является равномерно сходящейся. Задача. Пусть функции („(х) непрерывны на (0,1) при всех и б И н Д„(х) -+ 7о(х) прн и -+ оо. Доказать, что 1о(х) имеет точку непрерывности на (О, 1). 1 4. ПРИЗНАКИ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ Докажем три признака Равномерной сходимости функционального ряда, принадлежащие Вейерштрассу, Абелю и Дирихле. Эти признаки дают достаточные условия для равномерной сходимости, но они не являются необходимыми, т.е. ряд ~ а„(х) может сходиться равномерно, но не удовлетворять любому из них.

Впрочем, та же ситуация имела место и для сходимости обычных числовых рядов. С другой стороны, отметим, что они соответствуют признакам сходи- мости числовых рядов того же названия и развивают заложенные в них принципы. Рассмотрим сначала следующий критерий равномерной сходимости для бесконечно малой функциональной последовательности. Т е о р е и а 1. Для того чтобьг 6„(х) =6 0 прн и -~ оо, необходимо зг н достаточно, чтобы существовала числовая последовательность Д, с усЛовием Д, — > 0 прн и -+ оо и (Ьь(х)) < Д, для'каждого и б И н для всех х б М.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность. Пусть такая последовательность б„сущесгвует. Тогда для любого е > 0 существует номер ио =- ио(е) такой, что для каждого и > ио справедлива оценка рь <е. Но тогда при тех же и и всех х б М имеем 16„(х)) < 4, < е, те. 6„(х) =60 при и + со. Необходимость.

Пусть 6„(х) =60. Положим бь = зпр ,'6„(х)/. ПоМ ьеМ скольку для любого е > 0 существует номер ио = ио(е) такой, что для каждого и > ио справедливо неравенство ~6„(х) ~ < е, при тех же и имеем б„= епр ~6„(х)( < е. Это значит, что д„— ~ О при и — ~ оо. ьем Теорема 1 полностью доказана. Замечание. Последователыюсть д„в доказанной теореме называется мажорантой для Ь„(х), и утверждение этой теоремы означает, что равномерная сходимость бесконечно малой функциональной последовательности равносильна существованию бесконечно малой ее мажоранты. Теперь рассмотрим признак Вейерштрасса для равномерной сходи- мости функционального ряда.

396 Определение 1. Сходящийся числовой ряд ,'1,' рп с условием рп > О при всех и называется мвжорантой функционального ряда ,'1, ап(х) на множестве М, если для каждого п Е И и всех х Е М справедлива оценка (ап(х)) < Рп. ГовоРЯт также, что РЯд 2,ап(х) мвжоРиРУетсн. рядом ),рп на множестве М. Т е о р е м а 2 (признак Всйер!дтрасса). Пусть функциональный ряд ~, ап(х) на множестве М имеЕт мажоРантУ 2, Рп. Тогда оп РавномеРно сходится на этом множестве. л2 о к а з а т е л ь с и в о.

Достаточно установить, что остаток ряда гп(х) равномерно сходится к нулю на М. Но заметим, что при любом фиксированном х Е М числовой ряд 2. а„(х) сходится, поскольку име.т мажоранту 2,'р„= Р. Кроме того, при каждом фиксированном х имеем оз сп оп (г„(х)(= ( Ь ап(х) < ~ )ап(х)) < ~ рь = рп, (Ьпп+1 ьппь! Ьпп+! где Рп — остаток числового РЯда 2.'Рп и Рп -+ О пРи и -+ со, Но по теореме 1 это означает, что гп(х) имеет бесконечно малую мажоранту рп. Следовательно, гп(х) =ФО, те. ряд ,"! ,'ап(х) равномерно сходится. м Теорема 2 доказана. Т е о р е м а 3. (А) (признак Абеля). Пусть: 1) ~',ап(х) эА(х); и 2) последовательность 6п(х) равномерно ограничена на М; 3) при всех фиксированных х Е М числовая последовательность 6п(х) монотонна. Тогда ряд 2,6п(х), Ап(х) = ап(х)Ьп(х), равномерно сходится на М.

(Д) (признак Дирихле), Пусть: 1) частичные суммы Ап(х) равномерно ограничены на М; 2) 6„(х) ~О при и -+ со; м 3) при всех фиксированных х Е М числовая последовательность 6„(х) монотонна. Тогда ряд ! Ап(х), 6„(х) = ап(х)Ьп(х), равномерно сходится на М. Д о к а з а и! е л ь с т е о.

Применим ту же схему, что и при доказательстве одноименных признаков для числовых рядов. Как и раньше, сначала будем считать, что последовательность 6п(х) убывает и 6п(х) > О для каждого п Е Я. Применяя преобразование Абеля к частичным суммам ряда 2 Ип(х) и используя обозначения Н„(х) = ~~~ 6 (х), Аь(х) = Ь а (х) 1п=п+1 ~п=п+1 397 для отрезков рядов 2'И«(х) и 2„е„(х), получим «+р !Нр(хИ = ~~ аь(х)Ьр(х) и««+1 «+р-1 А„+ (х)Ь«+р(х) + ~~! Аь(х)(68(х) — 68+1(х)) < й««+1 «+р-1 < )А„рр(х))6„+р(х)+ ацр ~Ар~ ~ (Ьр(х) — 6«Ь1(х)) = «<ь<«+р + ' = 6«+1(х) впр (Ар(х)). «<ьб«+р Рассмотрим случай (А).

В силу равномерной скодимости ряда 2 е«(х) и согласно критерию Коши для любого е > 0 существует номер пе — — пс(е) такой, что длЯ каждого 6 > по спРаведливо неРавенство вцР (Ар(х)! < ж «ем Кроме того, в силу равномерной ограниченности 6«(х) при некотором С > 0 для каждого и Е И и для всех х Е М имеем Ь«(х) < С. Следовательно, при и > пе справедлива оценка (Н (х)~ < Се. В силу произвольности г > 0 это означает выполнение условия критерия Коши для равномерной сходимости ряда 2,'Ь„(х), т.е, в случае (А) теорема доказана. Рассмотрим теперь случай (Д).

При этом в силу равномерной ограниченности сумм Ар(х), а вместе с ними н Ар(х) = Ар(х) — А«(х) найдется число С > 0 такое, что ~А„(х)~ < С при всех 6 Е И и всех х Е М, По критерию Коши при достаточно большом п > по(г) в силу п, 2 имеем 6«(х) ~О прн п -+ оо. Тогда получим )Ь„+1(х)( < е, откуда, М как и раньше, получим ~Нр(х)~ < Се, Тем самым утверждение (Д) тоже доказано. Осталось освободиться от ограничений; 1) последовательность 6«(х) убывает; 2) Ь«(х) > 0 при всех н.

Для того чтобы снять ограничение 1), можно поменять знаки на противоположные у всех функций а«(х) и 6«(х) одновременно. Тогда условие возрастания 6«(х) переходит в условие убывания Ь«(х), а все условия на ряд 2 е«(х) сохраняются. Чтобы освободиться от ограничения 2), рассмотрим функцию 69(х), где 69(х) = 1пГЬ„(х) = 1цп Ь„(х). « «->«о 398 Тогда Ьь(х) = Ьо(х) +Д,(х), где Д,(х) > О !сх Е М и Д,(х) убывает. Отсюда а„(х)6„(х) = Ьо(х) ) а„(х) + ~~с а„(х)]У„(х).

Д о к а з а т е л ь с сп а о. Необходимость. По критерию Коши имеем, что для любого г > О найдется ио — — по(х) такое, что при всех т > ио, всех и > ио и всех х Е [О,я] справедливо неравенство ь Ььз]пйх < г. Возьмем сп = [и/2] и * = сс/(4и), Тогда при Ьжьс+! си+ 1 < Ь < и получим а!и Ьх > а1п я/4 = !/2/2.

Следовательно, ь Ьь з]п ]сх > (и — т)6„~ 2/2 > пб„ьГ2/4. !=и+! Таким образом, для любого х > О нашлось число ио — — по(х) такое, что при всех и > пс выполняется неравенство ]иЬ„~ < 4г/!/2, т, е. !пп пЬ„= О. Необходимость доказана. ь-!сь Досспаспочпосспь: Так как для любого натурального числа и функции' гйп пх — периодические с периодом 2я и нечетные, то достаточно доказать равномерную сходимость рассматриваемого ряда только на отрезке [О, я].

Из условия теоремы имеем, что для любого г > О найдется ио = ио(х) такое, что при всех и > по справедливо неравенство ]пЬ„~ < х Возьмем любое и > ио и любое р > 1 и оценим сумму ь+р Ььа]пйх < А!+В!, к=и+! где о+р Ььз]пйх . ь=!с/с] ]с!с] Ьь зсп Ьх В=о+1 В случае (Д) первое слагаемое равно нулю, а в случае (А) оно представляет собой равномерно сходящийся ряд. Второй же ряд удовлетворяет условиям теоремы и обоим сделанным выше допущениям. Тем самым теорема 3 доказана полностью. Докажем следующий изящный критерий равномерной сходимости синус-ряда (см.

[Зб],[37]). Т е о р е м а 4 (Критерий Чоунди — Джолиффе равномерной ~ходимости тригонометрического синус-ряда). Пусть 6„— положительная, монотонно убывающая последовательность. Тогда для равномерной сходнмостя ряда ~ ' Ь„а!них на й необходимо н достаточно, чтобы ь=! оп пЬ„= О. При /г < л/х имеем э(п г < /, поэтому [х/х[ Е1< Е -/гх< х =пх+1 Для оценки суммы Еэ применим преобразование Абеля, Получим и+9 э(п /гх х=[х/х( (л/х) + 1 х Ег < 6[ /*(+1 шах 1<9<Р поскольку функция э(пх/1 монотонно убывает при О < 1 < л/2 и и+9 Э1П ЙХ хп(х/х( сов(и+ д — 1/2)х — сов ([л/х]+ 1/2)х 1 1г « —. 2 эгп х/2 э(п х/2 х (37). Следовательно, Е < е(л+1).

Характеристики

Список файлов книги