Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 69
Текст из файла (страница 69)
432 Дословно повторяя рассуждения теоремы 1, цля интеграла А, при Ь -+ О будем иметь А~ — » / 1„(х,у)Нх. а' Далее, применяя теорему о среднем для интегралов Аз и Аз н используя непрерывность функции 1(х, у), получим Аз = — — ~(о+В1Ьо,у+ 6), Аз — — — ~(О+Вз1»В,у+Ь).
Ьо »4 Л Ь Отсюда при Ь -+ О имеем Ат -+ — а'(у)1(а(у), у), Аз — + В'(у)~(В(у), у). Теорема 2 доказана. Пояснение к доказатвельстеу теоремы 1. Проведем более подробно обоснование возможности предельного перехода 1пп Д,',(х,у+ ВЬ) Их = 1'„'(х,у) Нх, Л,ОВ а а опираясь на условие равномерной сходимости ~„'(х,у+ ВЬ) ~~„'(х,у) при Ь вЂ” » О, где 1» = [а,6].
[1 " Как известно, интеграл по отрезку 1» от функции г" (х, Ь) = ~„'(х, у+ВЬ) есть предел интегральных сумм а(Т) = ар(Т) = ~~~ г"(~», Ь)с»х». »кн Здесь предел берется по базе 1»т -» О, определенной на основном множестве А, образованном всеми размеченными разбиениями (Т) отрезка 1» = [а,6]. При зтом точки а = х~ < хз < < х„= 6 образуют разбиение, а точки ~м(м,~„лежат соответственно на отрезках [ха, х)],..., [х„», х„] и образуют его разметку, величины же с»х» = х» — х» ~ равны длинам соответствующих отрезков. Функция ар(Т) определена на множестве А, а величина с»т равна птах»»х», » и, наконец, окончания 6ю В > О, базы Ьт -+ О состоят из всех размеченных разбиений Т с условием 1»т < В. Важно подчеркнуть, что если при некотором с > О и всех х Е 1» имеем [г (х, Ь) — Г(х, О) ] = ]ух(х, у + ВЬ) — ~„'(х, у) ] < с, азз то [ор бал! (Т) — прйьо1(Т)1 < е.
Отсюда следует, что если при И вЂ” ь О выполнено условие ~„'(х, у+ ВИ) =6 ~„'(х, у), И то и при И-ь О также имеем Но тогда оба повторных предела существуют и равны между собой, т.е. существует предел ! = 1пп 1пп врйьл!(Т) = !пп !пп ср<, л!(Т).
л-~о ат- о ' ат-эо л-~о При этом имеем 1пп ар!в л1(Т) = ~ К(х, у+ ВИ) Вх, ат -~0 а 1пп ~„'(х, у + ВИ) = 1'„(х, у), откуда !пп ~„'(х,у+ ВИ) с(х = фх,у) <Ь, л-~о 1 а в что и утверждалось выше. С другой стороны, аналогичное утверждение прямо доказано нами в теореме ! 6 1 иа основе использования равномерной непрерывности подынтегральной функции. Точно так же мы могли бы рассуждать и в данном случае.
Т е о р е м а 3. Если функция У(х,у) непрерывна на прямоугольнике П= 1с х 1т, где 11 — — [а,6), 1г = [с,д), то оба повторных интеграла а с существуют и равны между собой. Д о к о э а пь е л ь с пь е о. Рассмотрим вспомогательную функцию В(С,у); где ь В(С,У) = У(х,У)йх, С б [а,6), Уб [с,Ы~. а 434 Покажем, что эта функция непрерывна на П по совокупности пере- менных (г, у). Действительно, ,г(х, у+ сьу)Их — Г(х, у)Ых / а а (М = (д(1 + Ы, у+ ~гу) — д(1, уП = Их у+~И) — Их,у)) (х / а + Дх, у+ Ьу)Ых < (Ь вЂ” а) гпах (ЬкУ(х, у) (+ с(Ь1(, хед где с = пзах ),Г(х,у)(. 1ххйеп Поскольку функция ~(х, у) непрерывна, тпах ЬкДх, у) -э 0 при ~И, съу -+ О.
Следовательно, Ьд — + 0 при (Ьу, Ь1) -+ (0,0), т.е. д(х,1) непрерывна на П. Далее, д,'(1,у) = ~(1, у), поэтому по теореме 1 для функции ~(~)=~к~.р)ь=~~р) л*,яа имеем Г С(1) = — / д(1, у)Иу = / д~(х, у)оу = / ДГ, у)оу = 6(1). с Ь(1) = — ~( Ь( )Ь = Н'(1), Н Г а с где Н(Ф) = ) Ь(х)йх = / Их ) г(х, у)Ыу. а а а Следовательно, Ь(1) = Н'(1) = С'(1). Кроме того, очевидно, что С(0) = Н(0) = О, поэтому при всех 1 Е 1з имеет место равенство С(1) = Н(1). В частности, при М = Ь имеем С = С(Ь) = Н(Ь) = Н. Теорема 3 доказана.
С другой стороны, функция Ь(1) = ) Я,у)Ыу тоже непрерывна, по- этому по формуле Ньютона —. Лейбница Лекции 16 ~ 3. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА Дадим приложение обобщенного правила Лейбница (теорема 2 12) к выводу формулы Лагранжа с остаточным членом в интегральной форме. Этой формуле Лагранж посвятил две знаменитые работы, опубликованные в Мегао1гез ае Р4саЫте ае Вег)т (1768) и г7о1е (1798, Х1). Здесь мы приводим доказательство ее, предложенное Е.И.Золотаревым.
Т е о р е м а (формула Лагранжа). Пусть функция 1(х) имеет и непрерывных производных для всех х б )к. Пусть некоторая функция х = х(и, 1) будет решением уравнения и — х + 17( х) = О. Тогда для любой функция Р(у), имеющей и непрерывных производ- ных, справедлива формула о г'(х(и,1)) = г'(и) + ~~~ —, „+ В„, К=1 ' где аио ,Л о к а з а т е л ь с га а о. Рассмотрим функцию г(и) Я, = Яь(и) = / Р (х)(и — х + !Дх)) йх.
ь Продифференцируем ее по параметру и. Из теоремы 2 получим — = /сЯк, — 1 Р (и)Г (и), ь т.е Я, ; = — В (и)7 (и) + — . 1 аВь а й а)и Продифференцируем последнее равенство й — 1 раз. Имеем с1ь-1~„1ь 1н-1(Р'(и)Гь(и)) 1~йЯ, Ни" ' й 0и" ' й Ни" 436 Перепишем зто равенство при 1с = 1,..., я.
Получим Яо =1Р (и)У(и) + — ' Ы51 аи ,1о, 1о,1(Р''(и)Уг(и)) 1,,1з о о(и 2 аи 2 о(ио ' (з-1Я 1п 1п-1(Р'(и) гз(и)) 1 о1зс' и с1из-1 + о(из Подставим последнее выражение в предпоследнее и так далее до первого выражения. Будем иметь 12 ((Р' (и)~2(и)) 1з ~1» — 1(Р' (и)~з(и)) 1 Дзо зо =17 (и)((и) +, + +, „, + Кроме того, для Яо справедливо равенство Бо = / г (х)йх = Р(х(и)) — Р(и). и Подставим зту формулу в предыдущее выражение. Получим сформу- лированное в теореме утверждение Р'(х(и)) = Р(и) + ~ —,, + Л„, 1" о1~ '(г' (и)у~(и)) о=1 где 1 и" ()„Г (х)(и — х+ Щх))" о(х) В„ и! Ии" и! о(из Теорема доказана.
Приведем два частных случаи формулы Лагранжа. 1. В случае когда выполнено тождественное равенство 1'(х) = 1, формула Лагранжа превращается в формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. 2. Пусть 1'(х) = з1пх. Тогда функция х = х(и) является решением уравнения Кеплера х — 1о1пх = и, где 1 — эксцентриситет эллиптической орбиты в задаче двух тел. 437 Для функции Л(я) = 1 — 1совя Лаплас получил разложение в ряд Лагранжа 1ь Иь 1(з1пи)к+1 Л(я(и)) = 1 — М соз и + М ~ ь=1 и, по существу, установил его сходимость пря 1 ( 0,662... В заключение отметим, что о богатстве содержания понятия ряда Лагранжа позволяют судить исследования етого ряда, которые провели Эйлер, Ламберт, Лаплас, Бюрман, Пфафф, Шлемильх, Гейне, Коши, Якоби, дю Буа Раймон, Руше, П.
Л. Чебышев, Е. И. Золотарев, Ю. В. Сохоцкий, П. А. Некрасов. Исследования по вопросам сходимости обобщений ряда Лагранжа актуальны и сегодня. Лекции 1Т 1 4. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ПО ГЕЙНЕ Понятие равномерной сходимости функции по базе множеств является обобщением классического понятия равномерной сходимости и опирается в своей основе на понятие предела функции по Коши. В математическом анализе используется и другой тип определения предела — предела по Гейне, как обычного, так и равномерного. Оба определения равномерной сходимости — по Коши и по Гейне— эквивалентны, и каждое нз них оказывается более предпочтительным в своей сфере применения.
Введу удобства использования обоих этих определений в различных ситуациях, мы докажем теорему об эквивалентности понятий равномерной сходимости по Коши и по Гейне в общем случае сходимости по базе множеств, Нам потребуется несколько новых определений. Определение 1. Пусть  — некоторая база, определенная на основном множестве Х, и для любых ее окончаний 6э и Ьт имеем или 61 С Ьт, или Ьт С Ьь Назовем последовательность (х„),х„б б Х, фундаментальной по базе В, если вне любого окончания 6 содержится лишь конечное число членов этой последовательности.
Определеыые 2. Фундаментальную последовательность (х„) мы будем называть моыотоыыой по базе В, если для любого окончания 6 условие х„б 6 влечет за собой включение х„+~ б 6. Далее будем считать, что рассматриваемая база множеств В обладает хотя бы одной фундаментальной монотонной последовательностью. Кроме того, полагаем, что пересечение всех окончаний базы В пусто. Рассмотрим, наконец, функцию у(х), определенную на некотором окончании 6 базы множеств В. Определение 3. Число ! называется пределом по Гейые функняи у(х) по базе В, если для всякой монотонной по базе В последовательности (х„) имеем, что (цп у(х„) =1.
в -Ф оо В этом случае пишем Нт — ((шУ(х) = Е в Имеет место теорема об эквивалентности определений предела по Гейне и в обычном смысле, т.е, по Коши, Приведем ее формулировху (см. ч. (, лекция 30). Т е о р е м а 1. Для существования предела Нт — )1пт~(х) в необходимо и достаточно существования )ипу(х) по Коши.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
