Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Убедимся, что интеграл у(у) сходится равномерно ма У. Для этого воспользуемся признаком Абеля. Положим а(х,у) = в«их/х, «3(х,у) = е ". Тогда функция «т(х,у) монотонна и 0 < «3(х,у) < 1, а интеграл [ а(х,у)Их сходится равномерно на У, поскольку а(х,у) ме о зависит от у. Заметим, что равиомермую сходимость у(у) можмо было бы установить и непосредствеммо из определемия с помошью интегрирования по частям.
Возьмем теперь ма отрезке У произвольную точку уо ф 0 и окружим ее мекоторым отрезком Уе = [уо — о,уо+ д], целиком примадлежашим множеству У. На этом отрезке имтеграл /„(х,у)«1х = — е о*в)пх««х / о о сходится равномерно. Это следует из признака Вейерштрасса, поскольку [е *"в«пх[ < е *«"' 41, а интеграл / е *«"' 41«1х сходится. о Кроме того, подымтегральная функция е *" «йп х непрерывна ма Ре = Х х Уе, Поэтому по правилу Лейбница для несобственных интегралов имеем у (у) = — е в*в«их««х о 459 Последнии интеграл можно вычислить путем интегрирования по ча- стям.
При этом получим 1 д'(д) = — —. 1 1.„У' Итак, мы показали, что функция д(д) непрерывна на У = [О,Ф], а ее производная д'(д) существует при всех д ф 0 и равна — 1/(1+ у ). Отсюда по формуле Ньютона — Лейбница при всех д Е (О, Ф] вытекает равенство Г о'1 д(у) = д(Ф) — 1 — = д(Ф) т агсок Ф вЂ” агсоя у. ./ 1+гг— Пользуясь непрерывностью функции д(д) в точке у = О, мы получим д(0) = !гпг д(д) = 1пп (д(Ф) + агсгк У вЂ” агсгя д) = у-+о+ у-~о+ = д(У) + агсгб Ф.
Теперь, устремляя Ф к +ос, приходим к соотношениям атство Ф -+ х/2, ]д(Ф)] < / е ~» Ых < 1 е ~~гЬ = — -+ О. ог,]о)пх] Г и, ! -/ -ю о о Отсюда следует, что В = д(0) = !пп (д(Ф) + агсгб Ф) = х/2, Теорема 1 доказана. Непосредственно из теоремы 1 вытекает справедливость следующего утверждения. С л е д с т в и е. Прн всех а Е Ж имеет место равенство ьг(а) = — о)кп а, 2 Лекции 21 $ 10. ИНТЕГРАЛЫ ЭЙЛЕРА ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА Гамма-функция Эйлера. которая была определена ранее, и бета- функция, определение которой мы дадим ниже, называются соответственно интегралами Эйлера второго и первого рода.
Начнем с дальнейшего изучения свойств гамма-функции. Т е о р е м а 1 (формула Эйлера — Гаусса), При з ф 0,-1,-2, имеет место равенство Г(з) = 1пп Р (з), где (т — 1)! гп' з(з+ 1)... (з+ гп — 1) Д о к а э а ш е л ь с ш е о. Применяя формулу Эйлера, получим выражение для Г(з): — 1пп П (з).
%-+ й3 Теорема 1 доказана. Т е о р е м а 2. (формула Гаусса). При з > 0 в обозначениях теоремы 1 справедливо равенство Р„,~.~(з) = 1+ — 1 — — 1' 'Й. о ,У о к а э а ш е л ь с вэ е о. С помощью замены переменной и интегрирования по частям получаем нз 1 с +-~~ ~'~1--~ — =( + ) ( .)-.— .= о о Кроме того, заметим, что из неравенства Бернулли при 0 < у < 1 следует, что (1 — у) > 1 — ту, т.е. 1 — (1 — у) < ту.
Отсюда при 0 < х < т и у = — г получаем оценки 0<е ~ — (1 — — ) =е *(1 — ее(1 — — ) )< -к 2 = е *(1 — (1 — у) ) < е *1пу = Но тогда величина В (г) оценивается так; т ОО Гх'+'е е 1 Г 0 < В (з) </ пх< — / х'+1е *пх. П1 т о о Здесь з+ 1 > 1, и позтому последний интеграл сходится, откуда 0 < В (з) < -"-, где А, — некоторая величина, зависящая только от параметра з. Следовательно, В (з) -+ 0 при т — > оо, Отсюда окончательно имеем С.'О пз /-- = /-- х' е ~Их= йт х' е гИг= ачоа Г и а 1 3 "~ — 11П1 Ве(6) + Р„,+1(г) 1+ — ) ) = О+ Г(8)" 1 = 1(б). Теорема 3 доказана. Замечание 1. Идея изложенного доказательства теоремы 3 высказана Шлемильком (1879).
Замечание г. С помощью интегрирования по частям из тевремы 3 выводнтся следующая формула Коши, справедливая при всех значениях е вида — (т + 1) < г < — т, где т Е 31: Г(г) = х' (е * — ~р (х))дх, о где 1е (х) = ~, ( — „;)-. «ме Здесь условия, наложенные на э, обеспечивают сходимость несобственного интеграла, имеющего две особые точка: х = 0 и х = +оо. Действительно, в окрестности особой точки х = 0 подынтегральная функция эквивалентна величине э+и! ( ) (ог + 1)!' а в окрестности точки х = +со является величиной порядка 0(к"+ !).
Отсюда по признаку сравнения следует сходимость интеграла. Далее нам потребуется представление функции згпкз в виде бесконечного произведения. Приведем его в качестве следующей леммы, которая будет доказана при изучении рядов Фурье. Л е м м а 1 (лемма Эйлера). При всех вещественных нецелых з имеет место формула згп ггз = ггз 1 —— ьы! Т е о р е м а 4 (формула дополнения Эйлера). Прн всех нецелых з справедливо равенство Г(1 — з)Г(з) =— зив ггз В частности, Г(1/2) = ь/к.
7 о к а з а гв е л ь с га в о. Иэ формулы Эйлера и леммы 1 имеем 1 -! -! Г(1 — з)Г(з) = — зГ( — з)Г(з) = — Д (1 — — ) (1+ -) 3 и и ьы! ~о г г г~ гг гг =-П(1- — 1 з ~~ ! цт/ кзП„, (1 — зз/пт) згпкз' Второе утверждение теоремы прямо следует иэ первого. Теорема 4 доказана. Т е о р е м а б (формула удвоения Лежандра).
Справедливо равенство Г(2з)à — = 2ы 'Г(з)Г и+в Д о к а з а вг е л ь с га е о. Составцы произведение Р (з), где 2з* 'Р (з)Р (и+1/2) Ртт(2з)Рт(1/2) Выпишем явное выражение для Р (о). Имеем Рд~(б) = 2г' г(т — 1)~т'(т — 1)!т'+г~г. 2о... (2о+ 2т — 1), г... (т — г) (2т — 1)!(2т)г' г(т — 1)!тг1го... (о+ т — 1)(о+ -)... (о+ т — -) что равно 1.
Устремляя т к +оо, приходим к равенству 'Г(о)Г(о+ 1Д Г(2о) Г (1/2) Тем самым теорема 5 доказана. Рассмотрим теперь интеграл Эйлера первого рода, т.е. бетафункцню Эйлера, Определение 1. Прн а > О я,9 > О бета-функпия Эйлера В(о, 13) задается равенством В(а,33) = х~ (1 — х)~ Ых. о Т е о р е м а 6. Прн а > 1 н 33 > 1 справедлява формула Г(а)Г(33) В(а„9) = Д о к о э о т е л ь с т е о. В интеграле, определяющем функцию В(а,33), выполним замену переменной вида х =;~-„.
Тогда имеем (1 ~ у)г ' * (1 ~ у)«-г ' В = ~ У ИУ В(а,13) = г о Отсюда следует, что Н = В(а„.8)Г(а + 13) = 1 1 у 'Г(а+'~3)пу о Далее, если у > О, то Г(а + 33) = х"+ 'е 'о(х = о 465 (1 + у)а+а ха+Я-1е-а(у+11~1х о Поэтому Г а-ао] 1а+а а о (ху) 1хае 1 "+Пйх Иу. =1 а а В последнем интеграле получим — (ху)а 1с аухйу хФ о о = Г(а) х~ е ~пх = Г(а)Г(~3). о Остается только обосновать перестановку порядка интегрирования.
Подынтегральная функция у(х, у) = у 'х +а 'е ~"+П всюду положительна и непрерывна. Кроме того, каждая из функций, т.е. интегралов уа+'Г(а + 11) у(у) = ~ Их,у) 1 = (1 + у)а+а , й(х) = Дх,у) Ну = Г(а)х~ е ', а о непрерывна и неотрнцательна на (О,+оо) х [О, +оо), а несобственные интегралы ) д(у) ау и ~" Ь(х) ах сходятся. Следовательно, порядок а о интегрирования действительно можно изменить. Теорема 6 доказана. Замечание. Поскольку гамма-функция Г(о) определена при всех о ф О, — 1, — 2,..., то формула теоремы 6 позволяет распространить определение функции В(а, Д) на все множество вещественных значений (а, ф), за исключением точек (а, В), где либо величина а, либо величина 11 равна О, — 1, — 2,.... Лекпмя 22 5 11. ФОРМУЛА СТИРЛИНГА Изучение эйлеровских интегралов завершим доказательством важной для приложений формулы Стирлинга, дающей приближенное значение для гамма-функции или для функщби и!.
Т е о р е м а 1 (формула Стирлинга). При б > 2 имеет место равенство !пГ(б) = б+ — 1и ( б+ — ) — ~б+ -) — 1пб+ со+ Я, » — 1 !п Р„(б) = б 1п п — 1п б + ~ ~(1п )б — 1п ()б + б)) . Применяя формулу суммирования Эйлера, получим !пР„(б) = А — В, где »-О,б »-0,5 Р! 1 А= (1их — 1п(х+б))ах+0!пи — !пб, В= р(х) ~ — — Ых. Х Х+5/ 0,5 0,5 Сначала рассмотрим величину А. Имеем »-0,5 »-0,5 / 1пхИх — 1п(х+5)ЫХ = 0,5 0,5 »-0,5 »+»-0,5 1п ХЫХ вЂ” 1п хах = 0,5 »+0,5 46т где со = 1и»/2~г, а для величины остатка Я выполняются неравенства О > Л > — 1/(Вб + 4), Д о к а з а га е л ь с иб е о. Воспользуемся равенством 1пп Р„(б) = Г(б). Далее имеем «Сз-0,5 з+0,5 / 1пхдх — / 1пхс!х = Ас — АХ. «-О,о 0,5 Интегрируя, находим з+0,5 / 11 / 1 ! 1п2 Ас = (х1пх — х)!' ' = (5+ - 1п 5+- — 5+ —, Далее будем считать, что и > 25.
Тогда, применяя формулу 1п(1+ х/и) = О(х/и), получим и+з-0,5 хт 51пп — Аа = / (1пп — !пх)сзх = — / 1и (1+ — )Ых = -О,О -0,5 з-0,5 = / о(-*)с*=о( — ') -0,5 Такям образом, приходим к соотношению А= 5+ — 1п 5+ — — 5 — !по+Ос+О где сс — постоянная. Рассмотрим теперь величину В. Заметим, что неравенство с 1 — -(~/ р(х)ссх(0 5 †/ О,а справедливо при всех 1 > О, 5. Поэтому по признаку Дирихле интеграл с(х сходится.
Следовательно, 0,5 и+0,5 Вс = ! — с!х = ср + 0(1). р(х) 0,5 Для опенки величины и+а,о в,= /! — ( р(х) Х+ 5 О,о 468 применим вторую теорему о среднем. Тогда получим с 1 Вт =, / Р(я) пз, з+О,б./ о.з откуда имеем — з,., з < Вт < О. Но по определению имеем В = В~ — Вю Следовательно, из равенства 1пР„(з) = А — В вытекает соотношеиие 1пр„(з) = з+ — !и з+ — — з+ — — 1пз+ со+ Вт+ О Здесь со — некоторая абсолютная постоянная. Устремляя п к бесконечности, мы приходим к равенству з 1пГ(з) = з+ -/ 1п ~з+ -~ — ~з+ -) — (пз+ сз —— 8з+4' где 9 = 0(з) — некоторая функция с условием 0 < В < 1. Осталось вычислить значение константы со. Для втого применим формулу Лежандра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
