Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Следовательно, г1 ф 6„,. Далее, сушествует точка гг Е 6„, такая, что Щгг) — (( > г. Как и выше, мы находим окончание 6„„удовлетворяюшее условию гг (е 6„,. Затем выбираем гз б 6„, такое, что (у(гз) — 1! > г, и т.д. 'Таким образом, мы получаем последовательность (г„), которая удовлетворяет условиям гь Е Ь„„„гь ф 6„„, и последовательность окончаний Ь, = 6„, 3 Ь„, Э Ь„, З ...
Покажем, что последовательность (г„) является фундаментальной и монотонной по базе В. Фундаментальность. Возьмем любое окончание 6* б В. По лемме 2 существует окончание 6| такое, что Ьг С 6'. Если и, > 6, то 6„, С Ьа С 6'. Окончанию Ь„„не принадлежат только элементы гш,,г, последовательности (г„), и для любого и > г имеем г„б 6„, С 6'. Значит, последовательность'(г„) является фундаментальной. Монотонность. (От противного).
Предположим, что существует окончание 6' Е В такое, что для некоторого номера 6 имеем гь б Ь', гь+1 к 6'. Из построения последовательности (г„) получим, что гьы б 6„,. Следовательно, Ь„„Э 6' (по свойству 3 базы). Так как гг б 6*, то гг Е Ь„„. Однако это противоречит тому факту, что по построению последовательности (гь) справедливо условие гь к 6„„. Таким образом, последовательность (гь) является монотонной. Далее, из того, что Нти-!нп((х) = (, в имеем !пп ~(г„) = (, и-~со Следовательно, мы можем перейти к пределу в неравенстве Щг„) — (( > г > О. Получим 0 > г > О, что невозможно. Теорема доказана.
Будем говорить, что число 1 называется Н-пределом функции 7(х) по базе В, если для любой фундаментальной последовательности (х ) по базе В выполнено условие !пп у(х„) =1. Обозначение: ( = Н-((тУ'(х). В (гт Т е о р е м а 2. Следующие три понятая предела эквнввлентяы: 1) 11щу(х) = 1; в 2) Н-11щ г(х) = 1; в 3) НЬП-1ппу(х) = !. в Д о к а з а яь с л ь с 1п о о. Имеет место следующая цепочка утверждений: 1 =ь 2 ~ 3 ~ 1. Первые два нз них очевидны, а третье следует из теоремы 1. 4. Теперь докажем несколько свойств верхнего и нижнего предела по базе.
Пусть (х„) — монотонная последовательность по базе В и пусть существует 1пп у(хх) = !. Тогда ! называется частичным пределом по базе В. Наибольший из частичных пределов (если он существует) называется верхним пределом функции у(х) по базе В и обозначается 1ппу(х); нов добным образом наименьший частичный предел называется нижним пределом по базе В и обозначается йпу(х).
в Число 11 называется верхним предельным числом, если !1- -1пГ вор!(Х), ЬЕВ «Е6 а число 11 — нижним предельным числом, если !1 = ВПР 1П1 1 (Х). ЬЕВ «ЕЬ Т е о р е м а 3. Пусть у(х) фянально огранячеяа. Тогда верхний я нижний пределы 1'(х) по базе В существуют. и 11щу(х) щ1 вару(х), В ЬЕВ хв6 1пп у(х) = впр 1п1 у(х).
В ЬЕВ«ЕЬ Д о к а з а т е л ь с щ е о. Для любых двух окончаний Ь1, Ьв базы В имеем ш! у(х) ( впр у(х). «ЕЬ! хЕЬ« Действительно, если Ьз — окончание базы В и 68 С Ь1 Г16ю то 1п! У(х) ( щ! У(х) ( впр 1(х) ( впр У(х). хЕЬ1 хЕЬ« «ЕЬ«хЕЬ« ггв Следовательно, в силу финальной ограниченности у(х) по базе В существует такое число Л, что Л = 1п1 виру(х). ЬВВ «вь Докажем, что 11п1у(х) = Л. в Шов 1. Мы можем найти окончание 6* б В, для которого у(х) < Л+1 для любых х б Ь*. Из леммы 2 следует, что существует окончаяие Ь„, б В с условием 6„, С 6'. Покажем, что можно найти элемент х, б 6„, с условием А+1>у(х1) >Л Достаточно показать, что впр у(х) > у(х1) > Л вЂ” 1.
«ВЬ д Если бы такого элемента х1 не было, то У. х б 6„, выполнялось неравенство Дх) < Л вЂ” 1. Следовательно, впр у(х) < Л вЂ” 1, «вь, откуда имеем Л= 1пГ впрах) < Л вЂ” 1, ЬВВ «вь Имеет место противоречие. Далее мы можем найти окончание 6„ такое, что х1 ф 69 . (Такое (1) (1) окончание сушествует, поскольку НВ = Пь В 6 = 0.) Шаг х. Выберем окончание 6(в) б В, подчиненное условию У(х) < Л + — Ч х б 6('). 2 Рассмотрим окончание 6( С 6(9) Г) Ьв( . Окончанию Ь, б В не (в) принадлежит х1. Далее, как и в шаге 1, сушествует окончание 6„, С 6,, которое содержит точку хв ~ х1 такую, что (9) 1 1 Л вЂ” — <У( 9) < Л+-, 2 2' и т.д.
Наконец мы получаем последовательность (х,), которая удо- влетворяет условиям х, б Ьп, х« к Ьп,, Л < У(х«) < Л + 1 1 в в 179 Как и при доказательстве теоремы 1, устааавливаем, что (х„)— монотонная последовательаость по бвэе В. Кроме того, пра и -г со справедливо равенство 1пп„+ у(х„) = Л, т.е. Л вЂ” частичаый предел по базе В. Шаг Ю. Покажем, что любой частичаый предел фуакции у(х) по базе В ае превосходит Л.
Из определеаая величиаы Л имеем, что для любого в > О существует окоачааие 6 с условием вару(х) < Л+ в. Пусть (х„) — произвольная монотонная последовательность по базе В, для которой существует 1пп У(х„). В силу фундаментальности и~со последовательаости (х„) только конечное число ее членов ае принадлежат 6, т.е. существует номер ио такой, что для всех номеров и, большых ио, имеем у(х„) < Л + г. Переходя к пределу при и -о оо, получим 1цп Дхи) < Л+ в. и-ь оо Ввиду произвольаости в > О имеем 11ш„.+,1(х„) < Л.
Теорема дока- зааа. Пусть 11 и 1м как и прежде, верхнее и аяжаее предельные числа соотвегствеаао. Мы аазовем число 1о -11 > О колебанием функции Дх) по базе В и обозначим овс У(х) !2 11. в Критерий Коши в зтах обозначениях формулируется следующим обраДля существовааия предела фуакции у(х) по базе В необходимо и достаточно, чтобы овсу(х) = О. в Отметим, что из теоремы 3, в частности,' следует, что: 1) 1пп У(х) = ш1' вар~(х); + т>о,>т 2) Еш У(х) = шу впр У(х); т>а1,1>т 3) 1пп ~(х) = 1п(' впр у(х).
г г>во<1 -я 1<6 Замечания. 1. Теорема 1 даже в простейших случаях несколько сильаее, чем классическая теорема, утверждающая зквавалеатаость поточечаой сходимости по Коши и Гейне, поскольку требуются только моаотоааые последовательаости. Это, в свою очередь, иаогда удобно в приложеаияя. С другой стороны, можио рассматривать базы, для которых каждая фундаментальная последовательиость не является моиотовиой. В этом случае, коиечио, Нпз-сходимость не определена, тем ие менее, теорема 2, утверждающая эквивалеитиость Н- и С-,сходимости, остается справедливой, так как ее доказательство, по существу, тождественно с выводом теоремы 1 при очевидной подстановке просто фундаментальной последовательности вместо монотонной.
2. Необходимо подчеркнуть, что понятия Нт-, Н-сходимости могут быть определены в том случае, если существует по крайней мере одна мопотоииая фундаментальная последовательность'по базе. Кроме того, как показано в лемме 1, для такой базы всегда существует основная последовательность окончаний, которая сама является счетной базой, кофииальиой к первоиачальиой.
На языке теории фильтров это означает, что проблема обобщения теоремы Гейне об эквивалентности Н- и С-сходимости может рассматриваться только для фильтров со счетной базой. 3. Мы ограничиваемся рассмотревием понятия сходимости только для числовых функций. Однако результат теоремы 2 без труда может быть распространен иа общий случай отображений двух баз тогда и только тогда, когда оии допускают существование моиотоииых или просто фундаментальных последовательностей. 4. Условие 3, налагаемое иа базу В, иногда 'оказывается иевыполиеииым. Обычио в этих случаях можно вместо базы В рассматривать базу 11, удовлетворяющую этому условию, заданную иа том же основном множестве и эквивалентную базе В в том смысле, что сходимость любой функции по одной из этих баз влечет за собой ее сходимость и по другой базе к тому же самому значению.
Примером эквивалентных баэ являются база В и основная последовательность окоичаиий (Ь„) из леммы 1. ТХАСТЬ П ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ДЦИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЩФИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ! Эта часть курса математического анализа читаегси во втором семестре и включает в себя основы интегрального исчисления функций одной переменной и дифференциального исчисления в пространстве нескольких измерений. Обе темы объединяет появление в них геометрических понятий как главного объекта изучения.
Следует отметить, что источником основных понятий математического анализа во многом являются представления о простейших свойствах геометрическкх объектов в реальном пространстве. В качестве примера можно указать на метод Вычисления плошадей у Архимеда или метод "ясчерпываиия" Евдокса. Чтобы быть ближе к сущности предмета устанавливается взаимосвязь понятия интегрируемости функции по Риману и вопроса о существовании плошади криволинейной трапеции, т.
е. ее измеримости по Жордану. Второй источник понятий математического анализа — арифметика. Поэтому мы стремились к раскрытию арифметических аспектов математического анализа, понимая под этям, скорее, их обусловленность дискретными элементами, имеющими арифметическую природу, связанную, в конечном счете, со свойствами натуральных чисел. Сюда можно отнести доказанные в курсе формулы суммирования Эйлера и Абеля, метод интегральных сумм, равномерные разбиения в теории интеграла Римана, критерий Г.
Вейля для равномерного распределения последовательности по модулю единица, признак алгебраичности функций, данный Эйзенштейном. Упомянем также об упрощенки в изложении вывода формулы длины дуги кривой. Необходимо сказать еще о том, что в этой части книги рассматривается ряд понятий, которые в дальнейшем более подробно изучаются в рамках других предметов. Здесь даегся о них первое и в то же время достаточно отчетливое представление с тем, чтобы облегчить усвоение соответствующего материала в будущем, и, может быть, что еще в большей степени обеспечит понимание специальных курсов естественнонаучного содержания.
Глава Ч11 ОПРЕДЕЛЕННЪ|Й ИНТЕГРАЛ Лектнья 1 | 1. ВВЕДЕНИЕ Пусть функция у(х) определена на интервале (а,1?), содержащем отрезок [о,б]. Определемным интегралом от функции у(х) на этом отрезке [а,э] называется число, равное площади криволимейной трапеции, т.е. фигуры, заключенной между прямыми *= а, х = 6, у= 0 м кривой у = у(х), причем площадь той части, которая лежит выше оси абсцмсс берется со знаком +, н ниже ее — со знаком - Интеграл обозначается так: ь у(х) ь(х, а где число о называется нижним, а число 6 — верхним ирвделами интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
