Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Важно отметить, что теорема 1 допускает следующую переформулировку, полезную для доказательства расходимости конкретных последовательностей. Т е о р е м а 2. Для расходимости последовательности (в„) необходимо я достаточно, чтобы опа не была фундаментальной, т.е. сушествоваео число е > 0 такое, что для каждого пе Е г! нашлись бы номера тп > ие и п > ие, для которых выполнялось бы неравенство )а — в„) > е. Примеры.
1. в„= 1+ -'+ + „-'. Возьмем е = 1/2. Тогда при любом т имеем неравенство 1 1 ги 1 хзш х»1— + .+ — > — — —. то+ 1 2т — 2т 2' Последовательность (а„) расходится (здесь мы полагаем т = пе, п = 2т). 2. Для решения уравнения Келлера х — ампх=у (0<а<1) используют метод последовательных приближений: хе = у, х1 = у+ а аш хе,..., х„= у + а гйп х„ Докажем, что существует ~ = 1пп х„и что х = ~ является един»-»со ственным корнем уравнения Кеплера. Согласно критерию Коши для любого е > 0 существует число пе = пе(е) такое, что при всех и > пе и при всех р > 1 имеем !х„+р — х„) ( е. Оценим модуль разности )х„.ьр — х„1 В силу неравенства !з1пу( < !у) имеем !х»+р — х»( = й! а!их»+р 1 — з1пх» 1) < а(х».рр 1 — х» 1! < (х».~р-з х»-2) ( й (хр — хе) = а (8!пер-1! < й Далее поскольку !а~ < 1, последовательность (а» ы) является бесконечно малой последовательностью. Поэтому для любого е > 0 существует и1 — — и1(е) такое, что при всех и > п1 имеем !а» ы! < е.
Теперь в теореме 1 положим пе = иы В результате получим, что последовательность является фундаментальной и, следовательно, сходится к некоторому числу ~. Поэтому, переходя к пределу при и -+ со в равенстве х„= у+ ампх„п получим ( = у+ аз!и(, те. х = г, есть решение уравнения Кеплера. Далее, если ~1 — другое его решение, то тогда )~~ — г! = а!а(п41 — а!пс! ( а!с1 — с!, и если с1 ф с, то отсюда имеем 1 < а, что не так по условию. Другими словами, х = 4 — единственный корень уравнения, что и требовалось доказать. Уравнение Кеплера ввел в рассмотрение И.
Кеплер (1571-1630) при изучении движения планет по эллиптической орбите (задача двух тел). Глава П1 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОх1КЕ Лекция 9 1 1. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ Мы познакомились с понятием предела числовой последовательно- сти. Последовательность — зто функция, определенная на множестве натуральных чисел. Но еще большую роль в анализе играет по- нятие предела функции, определенной на всей числовой оси или на каком-либо ее промежутке либо луче. В дальнейшем мы будем рассматривать пелый ряд понятий подобного рода.
Эти понятия по своему духу близки как между собой, так и с уже рассмотренным нами понятием предела последовательности. Перечислим наиболее важные из них: 1) 1= !пп у(х) — ' предел функции у(х) в точке хо, 0-000 2) 1= 1пп у(х) — правый предел функпии у(х) в тцчке хо, 0-+00+ 3) 1= 1пп у(х) — левый предел функции у(х) в точке хо, 0-000- 4) 1= 1пп у(х) — предел функции 1(х) при х -+ оо; 0-+00 5) 1= 1пп у(х) — предел функции у(х) при х -+ асс; 0-+Х00 Будем счятать, что функция у(х), о пределе которой будем го- ворить, определена на всей числовой прямой Ж или на некотором множестве А, являющемся его подмножеством, т.е. А С Е. Этим мне.
жеством А, напрямер, может быть интервал, отрезок, совокупность промежутков и вообще какое угодно бесконечное множество. Важно только, чтобы точка хо, к которой устремляется аргумент функции Дх) (т.е. х -+ хо), являлась предельной точкой множества А, а именно: чтобы в любой б-окрестности точки хо содержалось беско- нечно много точек из множества А.
В случае х -+ со или х -+ атос зто означает, что множество А должно быть: не ограничено, если а -+ оо; не ограничено сверху, если х -+ +ос; не ограничено снизу, если х -+ — оо. В дальнейшем нам понадобится следующее определение. Определение. Множество точек *, принадлежащих А и удовлетворяющих неравенству 0 ( (х — хо( < б, называется лрокологаой б-окресшнос~пью 1аочки хо (относительно множества А). При А = Е проколотая б-окрестность точки хо состоит из двух интервалов: (хо — б,хо) О(хо,хо+б)- Определения предела По Гейне По Коши Обозначения ! = 1пп )(х) Число ! называется пределом функцяи Дх) при х -+ ха, если или У(х) -« ! при х -Ф хо Число ! называется правым пределом функцни у(х) при х -а хо, если 1пп у(х) ~~ар+ или Дх) -+ ! при х -Ф хо+ 1пп Дх) Число ! называется левым пределом функции У(х) при х а хо, если или Дх) -а ! при х -+ хо- 1= 1пп у(х) Число ! называется пределом функции Дх) при х -+ со, если или У(х) -а ! при х -а оо ! = 1пп у(х) Число ! называется пределом функции У(х) при х — ~+со, если Ч бесконечно большой пос- ледовательности х„> 0: х„Е А, ри и -+ со имеем,1(х„) -+ ! или у(х) -а ! при х ->+оо 1пп у(х) Число ! называется п ределом функции Дх) — оо, если Ч бесконечно большой последовательности х„< 0: х„ЕА, ри и — ~ оо имеем Дх„) -+ ! при х -+ Че>03с=с(е) <О такое, что Чх: (х ЕА,х < с) ~ 1У(х) ~ 1 < а или ~(х) -+ ! при х -а -со Че > 0 3 6 = Б(е) > 0 такое, что Чх: (х Е А, 0 < (х — хо! < б) ~ !У(х) — !! < е Че > 0 3 а = о(а) > 0 такое, что Чх: (хбА,О < я — хо <6) =а (У(х) — !) < е Че>038=6(е) >О такое, что Чх: (хЕА,-о<х — хо<0) «1У( ) — !1< Че > 0 3 с = с(е) > 0 такое, что Чх: (х 6А, !х! > с) =а 1У(х) — !) < е ' Ча>ОЭс=с(е)>0 такое, что Чх: (х Е А, х > с) ~ )У(х) !! < е Ч последовательности (х«): хе ф хо Чп Е 1Ч х„ б А и х„ -+ ха ри и -а оо имеем Дх„) -> ! Ч последовательности (х„): х„> хо Чп б й! х„Е А их„-а хо ри и -а оо имеем /(х„) — ~ ! Ч последовательности (хе): хл < ха Чп Е 1Ч х„ЕАих„-+хо ри и -+ оо имеем у(х„) -а ! Ч бесконечно большой последовательности (х„); х„ЕА, ри и — а оо имеем у(х„) -а ! Для всех этих видов пределов справедливы теоремы, аналогичные теоремам о пределах последовательности.
Например, если, у1(х) -+ !ы ут(х) -+ !т (при одном и том же виде стремления аргумента х), то: 1) !1(х) к !2(х) + !ь к !т 2) у1(х)ут(х) -+ !г!г 3) ~Я -+ ~~ при !т ф О. Если с(х) — постояыная, т.е. с(х) = ! для любого х б А, то с(х) -+ !. Доказательства этих теорем, по существу, повторяют доказательство утверждений для сходящяхся последовательыостей.
Но тем не менее их надо провести, а это заняло бы у нас очень много времени. Для того чтобы этого избежать, мы дадим общее определение предела, под которое будут подходить все рассмотренные нами пределы, в том числе и предел последовательности. Речь идет о так называемом пределе по базе множеств. б 2. БАЗА МНОЖЕСТВ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ Определение 1. Пусть А есть область определения функции У(х). Тогда совокупность мяожеств (6) = В, где Ь С А, называется базой мноясеств или просто базой для множества А, если для ее элементов выполняются следующие условяя: !) В состоит из бесконечного числа непустих множеств (6); 2) 'ч' бг, бт б В 3 Ьз б В такое, что Ьз С бг П бт. (Здесь надо помыить, что бг, бю бз суть подмножества множества А.) Элементы множества В называются окончаниями базы В.
Само множество А будем называть основным множеством базы В. Далее для любых двух окончаний бг и бт базы В с условием бт С Ь| будем говорить, что бт следует за бп а 61 предшествует бт. Определение 2. Число ! называется пределом фуыкпнн у(х) по базе В, если для любого г ) О существует окончание 6 б В такое, что при всех х б Ь ямеем неравенство 1!(х) — !) < е. Обозначение: 11щг'(х) =! или у(х) ~! (по базе В). в В этом случае еще говорят, что у(х) сходится к ! по базе В. Аналогично определяются следующие пределы: 1)гп!(х) = оо (кос). в Следует заметить, что с точки зрения формальной корректности определения 2 предела функции по базе В, вообще говоря, требование бесконечыости множества окончаний в базе В является избыточным. Б случае конечного количества окончаний данное определение малосодержательно я не отражает в достаточной степени существа понятия предела.
Важно отметить, что если вместо основного множества А базы В взять любое ее окончание ее, то совокупность В' окончаний базы В, следующих за эе, с учетом сделанного выше замечания, тоже образует базу множеств. При этом из существования предела 11щу(х) = 1 в следует, что существует предел 1ипДх) =! и наоборот. В силу этого в свойства на практике между базами В и В' фактически не делается никакого различия. Примеры баз. 1. А = И.
База Ве (обозначение: п -+ оо) состоит из множеств ~ = Л„з > 1, где Ф, — множество натуральных чисел (з,э+1, в+ 2,...). Тогда предел по базе Ве — это предел последовательности (а„): х = и, Дх) = а„и 1пп~(х) = 1пп а„. в. о -+оо 2. А = )й. База В1 состоит из всех проколотых о-окрестностей точки хе, 6 > О (обозначение: х -~ хе).
Тогда 1ппу(х) — это предел в, при х-Ф хо, т.е. 1ппу(х) = 1пп Дх) в, *-+*. 3. А = К. База Вт (х -+ хе+) состоят из всех интервалов вида (хо,хо+о), где 6 > О, !пнях) = 1пп у(х). 4. А = )й. База Вз (х ~ хе — ) состоит яз всех интервалов вида (хо -о,хо), где о > О, 1ппДх) = 1пп Дх). 5. А = й. База Вв (х -+ оо) состоит из всех множеств (о), где 6 есть объединение двух лучей: (-оо, -с) 0 (с, +со), с > О, 1ппу(х) = 1пп у(х).
6. А = )й. База Вз (х -+ +ос) состоит из всех лучей вида (с, +оо), где с> О, 1пп у(х) = 1пп Дх). 7. А = 1й. База Ве (х -+ -оо) состоит из всех лучей вида (-оо,с), где с( О, !ппу(х) = 1пп Дх). 58 Легко убедиться в том, что все эти совокупности множеств В!,Вг,...,Вт действительно удовлетворяют определению базы. Проверка всех этих множеств на соответствие определению базы однотипна. Поэтому мы ограничимся рассмотрением толвко множества Вг. 1) Вг состоит из окончаний Ь = 6| вида (хг — б, хо) 0(хо,хо+6) Ф И, где Ь вЂ” произвольное положительное число. Следовательно, Вг является бесконечным множеством, и каждое его окончание Ьг не пусто. 2) При всех Ю! < Бг имеем Ьг, йЬг, = Ьг,, т.е.
и второе условие базы выполнено. Таким образом, множество Вг является базой множеств. Определение 3, Пусть множество ?? С А (где А — область определения ?(х)) и пусть существует с > О такое, что (~(х)( < с при всех х б ь?. Тогда функция ?(х) называется ограниченной (числом с) на множестве ??. Аналогично определяется ограниченность функции ?(х) на множестве ?? сверху и снизу. Определение 4. Функция, ограниченная (ограниченная сверху, снизу) на каком-либо окончании базы В, называется финально ограниченной( финально ограниченной сверху, снизу) относительно этой базы. Утверждение 1. а) Пусть ?(х) = с при всех х б Ь, где 6 некоторое окончание базы В. Тогда 1гпг?(х) = с. в б) Если предел функции по базе В существует, то о» единственен ,/? о к а з а га е л ь с пг в о.
а) Для любого с > О возьмем окончание 6 б В. Тогда при всех х б 6 имеем (?(х) — с! = О < г. б) Допустим противное, т.е. что существуют 1, г61г такие, что 1гпг ?'(х) = 1г, 1)п! ?(х) = 1г. в ' в Возьмем с = ' ' . Тогда: !!!-!!! Л Ь! — — Ь,(г) б В такое, что !? х б Ь, имеем Щх) — 1!) < г; В Ьг = Ьг(е) б В такое, что У х б Ьг имеем /~(х) — ?г) < г. По определению базы существует Ьз такое, что Ьз С Ь! О Ьг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
