Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Замечание. С помощью леммы 2 (о системе вложенных отрезков) можно доказать несчетпость множества точек отрезка. (Указание. Предполагаем, что все точки пересчитаны. Отрезок делим на три части. Тогда точка с номером один не принадлежит одному из этих отрезков. Делим его на три части. Точка с номером два пе принадлежит одному из получившихся отрезков деления и т.д. По лемме 2 существует точка х, принадлежащая сразу всем отрезкам, ио эта точка не запумерована.) Определение 2.
Система М вложенных отрезков называется последовательностью вложенных отрезков, если все зти отрезки занумерованы, причем любой отрезок с большим номером содержится в любом отрезке с меньшим номером. Определение 3. Последовательность вложенных отрезков называется стягнвазогцейся, если среди отрезков, в нее входящих, имеются отрезки сколь угодно малой длины. Другими словамн, каково бы ни было положительное число е, в последовательности стягивающихся отрезков содержится и такой отрезок, длина которого меньше е.
Л е м м а 3. Последовательность стягивающихся отрезков содержит общую точку и притом только одну. Д о к а з а 1п е л ь с гп в о. Первая часть утверждения следует иэ леммы 2. Докажем его вторую часть. Если бы все отрезки содержали одновременно две различные точки а и 6 (где а < 6), то тогда длина каждого отрезка из М была бы больше, чем 6 — а > О, по это не так, поскольку по определению в М есть отрезки и меньшей длины. Теперь лемма 3 доказана полностью. Глава 11 ПРЕДЕЛ ПОСЛЕПОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция б 1 1.
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. БИНОМ НЬЮТОНА И НЕРАВЕНСТВО БЕРНУЛЛИ Для обоснования метода математической индукции мы будем использовать следующее свойство натуральных чисел: в любом непустом подмножестве множества натуральных чисел существует наименьшее число. Убедимся в том, что данное свойство действительно имеет место.
Для этого возьмем какой-нибудь его элемент (зто можно сделать, так как данное подмножество не пусто). Если окажется, что выбранный элемент минимален, то свойство доказано. В противном случае натуральных чисел, меньших данного числа, конечно. Рассматривая их последовательно,мы найдем требуемый минимальный элемент. Метод математической индукции состоит в следующем: для справедливости любого утверждения, высказанного для всех натуральных чисел и > 1, достаточно: 1) доказать это утверждение для и = 1; 2) предположить его справедливость при и = к и А > 1; 3) доказать, что оно верно при и = (г+ 1.
Действительно, отсюда следует, что высказанное утверждение верно для всех натуральных и. Допустим противное. Тогда множество тех и, для которых утверждение неверно, содержит наименьший элемент пь Число т ф 1, поскольку утверждение верно для и = 1. Число т не может быть больше 1, так как утверждение в этом случае было бы верно для т — 1 и в силу п. 3 оно было бы справедливо и для т, что противоречит выбору числа т. Замечание.
Методом математической индукции можно доказывать утверждения, справедливые и при и > т, где т > 1. В ходе доказательства надо заменять первый шага доказать утверждение при и = т, а все остальное оставить, как и прежде, при необходимости пользуясь тем, что и > т. Перейдем к рассмотрению формулы бинома Ньютона.
Сначала определим величину и! = и(и — 1), 2. 1, О! = 1 (и! читается; зн-факториал). В частности, имеем О! = 1, 1! = 1, 21 = 2 1 = 2, 31 = 3 . 2 1 = 6 и т д. Т е о р е м а 1. Имеет место равенство (формула бинома Ньютона) (1+х)" = Се+С„х+ + Сзх + . + С„"х". (Коротко эту формулу можно записать так: и! где С„" = (ь) =,, — биномиальный коэффициент.) )с((п — lс)1 Д о к а з а т е л ь с сп е о проведем методом математической индукции. 1.
При и = 1 формула верна: 1+ х = 1+ х, поскольку (') =И= 2. Пусть формула бинома Ньютона справедлива при и =1, 1 > 1. 3. Докажем, что она верна при и = 1+ 1. Сначала докажем вспомогательное утверждение о биномиальном коэффипиенте: при О<1с<п — 1имеем (:) (-')=(",) Действительно, п! п! й)( -й)1+ у+1)1( й 1)1 = п1 ст 1 1 ~ 1'и+ 1') Iс((п — /с — 1)! ~,~ — Iс /~+ 1/ (,/с+ 1) ' Далее имеем (1+ )с+1= (1+ )с(1+ )— — + 1х+ .+ 1х+ х+ + х+ х'+'= =(' ) ("')" ("')" (",')"" за Теорема 1 доказана. Замечание. Подобным образом доказывается и формула для поли- нома Ньютона от в неизвестных вида п! (к+У+" +2)" = Е „, ',хь'ум'...22, 21+ "+ь,па где йм...,/с, — целые положительные числа. При изложении теории предела последовательности нам потребуется приводимое далее неравенство Бернулли.
Т е о р е м и 2. При х > — 1, х ф О и при целом и > 2 справедливо неравенство (неравенство Бернулли) (1+ х)" > 1+ хп. ,11 о к а з а пг е л ь с в2 в о (по индукции). Сначала убедимся, что при и = 2 оно верно. Действительно, ~1+ )г 1+2.+ .2>1+2. Предположим, что для номера и ю /с оказалось, что утверждение справедливо: (1+ х)й > 1+ах, где х > 2, Докажем его при и = й+ 1. Имеем (1 + х) + = (1 + х) (1 + х) > (1 + /сх)(1 + х) = 1+ (й+ 1) + 2 > 1+ (1 + 1) Теорема 2 доказана.
Следует отметить, что метод математической индукции допускает многочисленные, иногда неожиданные, модификации. В качестве примера приведем доказательство одной теоремы из книги известного норвежского математика Т. Нагелля [34). Под методом мульпгипликвпгивцоц индукции мы будем понимать доказательство, которое проводится по следующей схеме. 1. Опытным или каким-либо другим путем выдвигается гипотеза' о том, что для каждого номера п(> 1).выполнено свойство Е.
2. Проверяется, что свойством Е обладают все простые числа р. 3. Предполагается, что некоторое натуральное число пг обладает свойством Е. Зг 4. Исходя из предположения индукции доказывается, что числа вида гор тоже обладают, этим свойством. 5. Отсюда по теореме об однозначности разложения на простые сомножители натуральных чисел, больших единицы, вытекает, что свойством Е обладают все натуральные числа, и тем самым установлена справедливость гипотезы из пункта 1 ((34], с.
16). Докажем этим методом свойство мультипликативности функции Мебиуса, определяемой на множестве натуральных чисел следующим образом: 1, если н= 1, д(п) = О, если рз делит и, ( — 1)', если и =р1...р„, рь ф рбй ф1,1 < к,(< г. Будем говорить, что функция у(п) натурального аргумента является мульгаипликативной, если для любых взаимно простых чисел гл и и справедливо равенство ф(гоп) = /(га)у(п).
Достаточно доказать утверждение о мультипликативности функции Мебиуса только для чисел гн и н, не делящихся на квадрат простого числа, т.е. бесквадрашнмх чисел, Зафиксируем произвольное гв. Покажем, что утверждение имеет место для и = р, где р произвольное простое число. Действительно, поскольку (тп, н) = 1, то д(гар) = ( — 1)" +, если гп = р1... р, и ры ..,, р, — различные простые числа.
Следовательно, д( ч ) = д( )и(р). Пусть утверждение верно для н = /с. Докажем его для и = йр, где р — произвольное простое число. Так как н — бесквадратное число, то (/с,р) = 1. По условию (гн, и) = 1, поэтому (гл/с,р) = 1. Тогда по доказанному утверждению для простых чисел и по предположению индукции имеем цепочку равенств и( ) =д(тйр) =и( ~)д(р) = = д(га~д Яд(р) = д(т)д(ар) = д(га)д(п). Тем самым мультипликативность функции Мебиуса доказана. Заметим, кстати, что функция Мебиуса возникает во многих областях математики, играя важную роль при изучении ее дискретных объектов.
1 2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА Определение 1. Функция, определенная яа множестве натуральных чисел И н принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью нли просто последовательностью. Обозначения: хм хт, хз..., или, коротко, (х„), или, если это не вносит путаницы, просто х„. Примеры. 1. Последовательность 6„длин вложенных отрезков (см. определение 2 зб) (А«), А«С й, А«+~ С А«У и б И.
2. х„= с при всех натуральных п (постоянная последовательность). Определение 2. Если (х„) и (у„) — две числовые последовательности, то (х«+у«] называется суммой двух числовых последовательностей, (х„— й«) — разностью двух числовых последовательностей, (х„у„) — произведением двух числовых последовательностей, при у«ф 0 последовательность (х„/у«) называется частньим двух числовых последовательностей. Замечание. Обычно мы подразумеваем, что запись а/6 сама по себе предполагает выполнение условия 6 ф О.
Последовательности бывают: 1) ограниченными сверху, если найдется а такое, что для всех членов последовательности.выполняется х„< а; 2) ограниченными снизу, если существует 6 такое, что х„> 6 при всех обИ; 3) ограниченными, если существует с такое, что для каяСдого номера я б И имеем (х„~ < с. Определение 3. Последовательность (х„) называется бесконечно большой, если для любого с > 0 множество тех членов последовательности, которые удовлетворяют неравенству (х„! < с, конечно. Другими словами, это значит, что для всякого с > 0 существует номер пс = ое(с), такой, что все члены последовательности (х„) с номерами, большими чем ое, удовлетворяют неравенству 1х«~ > с. Коротко это определение записывается так: Ч с > 0 з по = по(с)такое, что У и > пе имеем 1х„! > с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
