Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Сейчас его в значительной степени рассматривают как устоявшуюся, учебную дисциплину. Однако из сказанного не следует делать вывод, что в математическом анализе не осталось тем для научных исследований и глубоких открытий. Дело в том, что составные части математического анализа настолько разрослись, что давно превратились в отдельные математические дисциплины, такие, как теория функций действительного переменного (ТФДП), теория функций комплексного переменного (ТФКП), теория вероятностей, дифференциальные уравнения, математическая статистика, уравнения в частных производнык, уравнения математической физики, вычислительная математика и т.д.
В широком смысле математический анализ включает в себя все эти области, т. е, почти всю математику. В узком же смысле, как учебная дисциплина, математический анализ представляет собой составную и, пожалуй, ббльшую долю той части математического знания, которая сейчас является обшей для всех современных математических дисциплин.
И потому понятна та совершенно исключятельная роль, которую играет математический анализ в математическом образовании. Он, по существу, является фундаментом математических знаний. Не будет преувеличением сказать, что стержневое понятие всего курса анализа — это понятие предела во всевозможных его проявлениях. В общих чертах вы с ним уже знакомы из школьной математики. Тем не менее получить совершенно ясное и отчетливое представление о пределе — самая большая трудность при изучении всего курса анализа и самый важный его момент. Так как понятие предела является начальным понятием анализа, то к его изучению мы приступим очень скоро.
Каждый должен и может овладеть этим понятием. Тот, кто этого не сделает, освоить курс не сможет, так хак вся оставшаяся часть курса анализа будет представлять собоЯ использование понятия предела в различных ситуациях. Для тех, кто овладеет этим понятием, в дальнейшем при изучении основного курса потребуется в большей степени усердие, чем способности. Понятие предела является главным, но, разумеется, не единственным понятием анализа. Оно само опирается на понятия множества, отображения и функции. Наше изучение мы и начнем с этих понятиЯ.
Определение 1. Множество — это совокупность объектов любой природы. Посмотрим на это определеняе внимательно. На первый взгляд, оно никуда не годится, поскольку вводимое понятие, т.е. "множество", определяется через четыре (!) других понятия, никак нами не определенных. Однако это не совсем так. Дело в том, что назначение определений — это вовсе не наведеняе логической строгости как таковой. Устанавливать логическую строгость требуется тольхо там, где иесшрого введенные понятия приводят х недоразумениям.
А как решить, что ведет к недоразумениям, а что нет? У современной математики есть только такие средства: логический анализ, практика и интуяция. Имеется два типа определеняй: 1) логически строгое сведение определяемого объекта к уже введенным понятиям; 2) описательное определение с помощью слов разговорного языха. Определение множестпво есть определение второго типа. В математике предпочитается, хонечно, первый тип определений, но, увы, начальные понятия, к которым и относится понятие множества, приходится вводить описательно.
Это плохо по многим причинам, и прежде всего потому, что приводит к противоречиям (есть так называемые парадоксы теории множеств). Однахо иного подхода не найдено и приходится доверяться интуиции. Здравый смысл подсказывает, что по-другому и вообще нельзя сделать ([19). С. 352-403). Определение 2. Обьекты, образующие в своей совокупности данное множество, называются его элементами или точками.
Для обозначения различных множеств мы чаще всего будем использовать заглавные (прописные) буквы латинского алфавита, а для обозначения элементов этих множеств — малые (строчные) буквы. Определение 3. Два множества Х и У наэываютсв равными, если ояв состоят яз одних и тех же элементов. Это записывают так; Х = У или У = Х.
Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут: а б А (или А Э а). Если а не принадлежит А, то этот факт записывают в виде; а к А (или аФА). Определение 4. Если все элементы множества В принадлежат множеству А, то В называется подмножеством множества А и пишут: В С А (или А З В).
Очевидно, что если В С А и А С В, то А = В. Обычно удобнее рассматривать все множества, участвующие в каком-либо рассуждении, как подмножества некоторого фиксированного множества Е, которое мы будем называть универсальным. Таким образом, А С Е для любого множества А. Для того чтобы с определенностью говорить о каком-либо множестве А (являющемся, как мы договорились, подмножеством Е), мы должны иметь четкий критерий, правило, условие, свойство, которое дает возможность установить, какие именно элементы входят' в А.
Если обозначить это условие через о, то тот факт, что условие о порождает множество А, будем записывать следующим образом: А=(абЕ(в), Читается это так: множество А совпадает с множеством тех элементов (из множества Е), которые удовлетворяют условию о. Может оказаться, что для некоторого свойства а во всем множестве Е вообще нет элементов, ему удовлетворяющих. Для единообразия считают, что и в этом случае запись А = (а Е Е(о) определяет особое множество, называемое пустым множеством.
Пустое множество не содержит ни одного элемента. Оно обозначается символом И, В наших обозначениях можно записать, например, так: И = (а б Е(а ф а). Здесь и — это свойство, что а ф а. Для краткости вместо некоторых часто употребляемых выражений общепринято использовать особые математические значки, называемые кванторами: 3 — "существует"; 3! — "существует строго один элемент" или "существуег единственный элемент"; — "для всякого", "для всех"; => — "справедливо", "следует", "имеет место".
В качестве примера в этих обозначениях запишем следующее утверждение: ЧА С Е =~ э С А. Здесь утверждается, что пустое множество является подмножеством любого множества из Е. Это утверждение следует из наших определений, так как оно означает, что если элемент принадлежит И, то он принадлежит А, что действительно так, посхольку в пустом множестве Э вообще нет ни одного элемента и для доказательства справедливости этого утверждения его не надо проверять ни для одНого элемента. Определение 5.
Множество С называется объединением (нли суммой) множеств А и В, если оно состоит нз тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из указанных множеств. Объединение С множеств А и В обозначается так; С= АОВ. С во й с т в а: АОВ=ВОА, АО(ВОС)=(АОВ)0С. Определение 6. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и А, и В, т.е, элементов, общих для этих множеств. С во й с т в а: АОВ=ВОА, АО(ВОС)=(АйВ)ОС. Заметим, что доказать равенство двух множеств — это значит доказать, что всякий элемент х, принадлежащий правой части равенства, принадлежит и левой, и наоборот. Для произвольной совокупности множеств А, где а пробегает все элементы некоторого множества 1, пишут С= ( ~ Аа =ДАа асl а если С есть объединение всех множеств Аа, а с У. Аналогично, С = ПА, если С вЂ” пересечение всех множеств А .
а го Определение Т. Разностью С = А ~ В двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не принадлежащих В. Множество А' = Е ~, А называется дополнением А или дополнением до Е множества А. Если множество индексов 7 — есть просто множество натуральных чисел, т.е. натуральный ряд 1,2, 3„..., то его обозначают 1 = И, а вместо ) )А„и ПА пишут Ц А„и П А„.
а=1 Определение 8. Симметрической разностью С = АЬВ двух множеств А н В назовем множество С = (А О В) 1 (А П В). Свойства операпий над множествами ЯООФ Е Е! Я И'.(ДА„) =ДА'. 12о АЬВ (А 1В) 0 (В 1А) Все эти свойства доказываются весьма просто. Покажем для примера, каким образом доказывается последнее свойство. Нам надо доказать, что если С~=(АОВ)~(АПВ) и Сз=(А~В)0(В~А), то С1 — — См Это значит, что надо доказать утверждения: 1) Ча б С1 =~ а б Сю откуда имеем С~ С Сг' 2) ЧабСт ~ абСы т.е. СтССы Мы ограничимся только доказательством утверждения 1, т. е.
что С~ ССм Пусть абСп Тогда абА1.1В, но афАПВ. Но если а б А0 В, то или а б А, или а б В. Рассмотрим первый случай, т.е. а б А. В этом случае а ф В, так как иначе было бы а б А Г1 В„что неверно. Тогда а б А 1В, откуда а б Ст = (А\ В) 0 (В ~ А), что и требовалось доказать. В первом случае справедливость соотношения ы 1~.А С А, ЗаАСВ, ВСС ~ АСС, 5~.() ))А ) йВ=( )(А йВ). а а 7аАСВ ~ АОВ=В, АПВ=А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
