Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Но тогда по теореме 4 г2 последовательность 7«является бесконечно малой. Таким образом, )пп с« = 1г/1г, что н требовалось доказать. «-»сп 40 Пример. Сумма членов бесконечно убивающей геометрической прогрессии. Пусть зи со а+ад+ . +ада 1. Тогда а — ад" дзи = ад + . + ади + ад", зи = 1 — ~ ' Так как при ~д~ < 1 имеем (ди) — бесконечно малая последовательность, то а г= 1пп зисе и-+ со Доказательство закончено.
Заметим, что величину з можно представить в виде а з= 1ппзи= —. и-~оо " 1 — д' где зи оо ~ ьи, ад" называется п-й частичной суммой рида, а величина ги = з — зи — остатком рида. 1 4. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В НЕРАВЕНСТВАХ Утверждение 1.
Пусть 1пп аи = 1; тогда, если для всякого и и-+оо имеет место неравенство аи > с (или аи > с), то 1 > с. До к аз а т ел ь с те о. Из условия имеем, что ои= аи — 1 — бесконечно малая последовательность, причем ои = аи— с — 1 1 > с — !. Если допустить, что с — 1 > О, то тогда при е =— 2 получим, что е-окрестность нуля вообще не содержит' ни одной точки последовательности (ои). Это противоречит тому, что (ои) есть бесконечно малая последовательность. Значит, с — 1 < О, ! > с, что и требовалось доказать. Утверждение 2.
Пусть 1пп аи = 1; тогда, если аи < с (или аи < с) и — о со привсехпбИ, то1<с. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если Ьи ос — аи, то Ьи -+ — 1 при и -Ь со, 6и > — с (или 6и > — с). Тогда из УтвеРждениЯ 1 имеем, что -1 > -с, т.е. 1 < с, что и требовалось доказать. Утверждение 3.
Пусть 1пп„аи = 1ы 1ппи 6и = 1з. Тогда; 1) для аи < 6и имеем 11 < !з, 2) для аи < 6и имеем !1 < !з. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим си оо 6и — аи. По условию си>О (или си >О ) при всех и и с„-э6=1з — 11 при п-зоо. Согласно утверждению 1 в обоих случаях имеем 6 > О, т.е. 1з > 1г, что и требовалось доказать. Утверждение 4. Если (ои) — бесконечно малая последовательность н прн всех натуральных и имеем ~4,~ < аи, то /1„— тоже бесконечно малая последовательность.
Утверждение 5. Пусть аи < си < 6» для всех и б И, н пусть 1пп„аи = 1, 1пп„6» =!. Тогда существует предел 1пп„, си существует н равен !. Д о к а з а п2 е л ь с гп в о. Из условия следует, что О < си — аи < 6» — аи. Но справедливо соотношение (6» — аи) -+ О, т.е. 6„ — ои — бесконечно малая последовательность , Но тогда по утверждению 4 (си — аи) — тоже бесконечно малая последовательность, т.Е. (Си — аи) -+ О.
СЛЕдОВатЕЛЬНО, Си = (Си — аи) + а„-4 О+ ! = ! При и -4 оо, что и требовалось доказать. ПРимеРы. 1. Если а > 1, то 1пп„„о Ога = 1. Действительно, Оса = 1+ аи, аи > О. Тогда а — 1 а = (1+о»)и > 1+ паи, О < ои < —. По утверждению 5 имеем 1пп ои = О, откуда следует, что !пп Ога = »-ос» и-с со 1. 2. 1пп Осп = 1 и-ссо Действительно, положим Огй = 1+ ои. Тогда п(п — 1) 2 п(п — 1) 2 Г 2 и = 1+ паи + а~ + . > — аз, О < аи < ))'— По утверждению 5 имеем 1пп аи и — сои 1пп ~/и = 1 и — с со 3. Пусть 1пп аи = а.
Тогда п-с со О, откуда следует, что 02 + ' + аи 1пп = а. и-ссо и Действительно, пусть 6» = аи — а. Тогда доказать, что Г 6+ +6. !пп и-: со и 1пп 6» = О, и достаточно и — с со 42 Д о к а з а гп е л ь с »2 в о. Из условия следует, что любая е-окрестность нуля вместе с точкой аи содержит и точку !уи, так что вне этой е-окрестности могут находиться !уи только с такими номерами, для которых ~аи ~ > е.
Но так как (аи) — бесконечно малая последовательность, то их число конечно, и поэтому (ри) — тоже бесконечно малая последовательность. Доказательство закончено. Так как (Ь„) — бесконечно малая последовательность, то существует с > О такое, что при всех и имеем )Ь»( < с при всех ьь. Кроме того, для любого е > О существует по = по(е) такое, что при всех и > ььо справедливо неравенство )Ь»( < е. Оледовательно, ! Ьь+ +Ььь.+Ь».+ь+ . +Ь„гп, (и — по)е и < + < 2«, ьь и Т е о р е м а 1 (теорема Штольпа). Пусть: !) У„еь > у„> О, 2) 1пп„у„' = +со, 3) существует !ьпь»~~ -„-"~:„-а = !.
Тогда сушегтвует предел «» !1пь — = !. у Ч о к о з и ьп е л ь с пь е о. Из условия теоремы вытекает, что -'-"-хь:-*-"- = !+ а„, где а„—. бесконечно малая последовательность. о+ь о ПоэтомУ длЯ всЯкого х > О сУществУет !У = ььь(е) такое, что пРи всех и > ьу имеель (а„~ < г/2. Полагая значение номера равным пскледовательно Ф,..., и, получим следующую систему равенств: х»ьь !У»+ь — х» !У» + ь*»(у»+ь У») хьо+ь — !ул+ь = хж !уьо + аьо(уьо+ь угь). Оложим эти равенства: «.„еь — !У„еь = хьо — !Уи + а„(у„еь — у„) + + аьо(увьеь — ук).
Заметим, что все разности вида уоь.ь — ую Ь = 1,..., Ф в этом равенгтве положительны. Поэтому выполняя очевидные арифметические пРеобразования и переходя к неравенствам, получим (х « — !у»+ь~ < (хгь — !Уьо~+(а ~~у +ь — у ~+ "+(аьо~~уьо+ь — уьо(, (х.+ь — !у„+,~ < (хи — !Уи~+ ~е/2((у„+ь — у„)+" +(еу2~(у„+ь — у, ), ! х» ь.ь ) (х»и !Уи( е ьу»ь-ь Уьо — — 1~< + — '" уеь ~ у»ьь 2 уеь если только сььо/и < е, п > гььо/х, т.е. в > ьпах(по,сььо/е). Отсюда уже легко следует требуемый ре.ьультат.
Доказательство закончено. Поскольку !пп у„= +ос, то сугцествует пг = пг(е), такое, что для н-+оо всех п > пг справедлива оценка )ял — 1ул! < —. у„е~ 2 Положим пе = тах(ямФ). Тогда для любого п > п~ будем иметь вп+1 — — 1 <е. Ую+г Следовательно, при и -+ оо имеем я„/у„-+ 1. Теорема 1 доказана. Лекпия 7 1 5. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШ1ТРАСС. ЧИСЛО»е» И ПОСТОЯННАЯ ЭЙЛЕРА Определение 1. Последовательность называется иевоэрастающей, если з„+~ < е» для всех и б !Ч (обозначение: в» Ь)! неубывающей, если к„+~ > я» для всех натуральных и (обозяа: *.)'); убывающей, если з„+~ < к» для всех и б Н (обозначение: к„Щ; воэрастаюшей, если х»+~ > з» (обозначение; к„1-1). Т е о р е м а 1 (теорема Вейерштрасса). Пусть (а») — неубывающая н ограниченная сверху последовательность. Тогда (а») сходится и !пп а» = впр(а»).
»~»» Д о к а з а т е л ь с т е о. Так как (а») ограничена сверху, то существует впр(а»). Пусть ! = вор(а»). Покажем, что 1пп а» = !. »-~о» Другими словами, требуется доказать, что а» =໠— ! есть бесконечно малая последовательность, т.е. что для любого в > 0 существует номер пс = пв(в) такой, что при для всех п > пв имеем )а») < в.
Но впр(а») = О. Это значит, что: 1) а» < 0 для любого и б Н; 2) для любого в > 0 найдется число Ь такое, что — в < ав < О. Но ав не убывает, поэтому при всех и > Ь имеем -в<па<о»<0, )о„)<)ав)<в. Таким образом, в качестве пв = пе(в) можно взять указанное выше число /с. Т е о р е м а 2. Невозрвстаюшая, ограннчеяная снизу последовательность имеет предел, равный 1п((а»). Д о к а з а т е л ь с т е о. Вместо (а») рассмотрим последовательность (Ь»), Ь» = — а».
Тогда 1п((а„) = — вор(Ь») и теорема 2 следует из теоремы 1. Пример. Итерационная формула Герона, Пусть х»~-1 — х» + где а — фиксированное положительное число, х1 — любое положительное число. Докажем, что 1х») — убывающая последовательность при п > 2, ограниченная снизу величиной,„/а, и что 1пп, х» =,/а. Действительно, имеем: Из предыдущих формул получим хг » х» > ~/а. Далее, в силу теоремы Вейерштрасса для монотонной последовательности существует 1пп х» = х > .~/а > О.
Тогда справедливо »-ню равенство 1/ а 11пг х»ег = — ') 1пп х» + »-~ 2~ 1цп х»/ «-«оо т. е. 1/ а1 х = — )х + — ); х = х/а. 2[, х)' При вычислении квадратного корня из положительного числа по итерационной формуле Герона число верных десятичных знаков быстро растет. Важно отметить, что если в процессе вычислений допушена ошибка, то в дальнейшем она будет автоматически исправлена (саморегулируюшийся итерационный процесс). Дадим другое доказательство того, что х» -+ ~/а при и -~ со. Из равенства (х„х х/а)г х»ег х ~/а = 2х» имеем х„+г — ь/а х» — ~/а 1 ° г х»+г + ь/а х» + х/а,~ Положим х1 — ь/а хг + ь/а : Я.
При х1 > О имеем )д~ ( 1. Далее получим откуда 1 + уг"-' х» = ь/а уг" — ~ г" Ь„= к„—;/а = „,х/а. 24 ] 4г"- Заметим, что величина Ь„определяет скорость сходимости данного итерационного процесса. г"-' Далее так как д — бесконечно малая последовательность, то 1пп ао = ~/о. э-~о~ Число е. Т е о р е м а 3. Последовательность имеет предел. ,У о к о з о го е л ь с о1 в о. Сначала заметим, что при 5 > 1 51 = 5(5 — 1)... 2 1 > 2'-'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
