Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Элемент 6' называется точной верхней гранью или супремумом множества А. Обозначение: 6' = вар А. Прежде чем доказывать это свойство, следует сказать, что точно так же обстоит дело и с множеством нижних граней Р ограниченного снизу множества А, а именно: существует единственный элемент И' б Р такой, что: !) ЧабА ~ гР<а; 2) Ы б Р =Ь 4' > Ы; Н' = |пГА (читается: точная ниясняя грань, или инфимум). Д о к а з а т е л ь с т е о свойства 17 .
Мы построим число Ь' конструктивно. Можно считать 0 Е А, и тогда для всех 6 Е В имеем 6 > О. Действительно, возьмем какое-нибудь а1 Е А. Заметим, что для любой верхней грани 6 Е В выполнено неравенство 6 > аы откуда Ь вЂ” а1 > О. Теперь вместо множества А рассмотрим множество А' чисел вида а — аь Если нам удастся доказать, что существует число 6', = вирА', то тогда очевидно, что будет существовать и число 6' = вар А, причем ь'=ь',+а,. Договоримся десятично-рациональные числа записывать только с нулями на бесконечности. Заметим, что справедливо следующее правило сравнения чисел межпу собой.
Если а > 6, то выполнено одно из двух условий; 1) [а] > [6]; 2) [а] = [Ь), (а) > (Ь), причем, если (а) = О, а1аз. а» и (Ь) = О,Ь,Ь2...Ь»..., то найдется номер /с такой, что а1 — — Ьы,..,а» 1=Ь» ь но а»>Ь». В множестве А возьмем подмножество Ао, состоящее из всех а Е А с условием а > О, т.е. Ае = (а Е А [ а > О). Для каждого из чисел а Е Ае рассмотрим его целую часть [а] = п»(а). Так как 0 < [а] < а < 6, то функция [а] при а Е Ас принимает лишь конечное число значений. Наибольшее из этих значений обозначим через ко.
Рассмотрим множество А1 С Ао, состоящее только из тех чисел а Е Аш для которых [а] = хш Заметим попутно, что для всех а й А1 имеем неравенство а < ко. На множестве А1 определим функцию п|(а), равную числовому значению первого десятичного знака после запятой у числа а.
Всего она принимает не более 10 значений. Наибольшее из них обозначим через хь Образуем множество А2, состоящее из чисел, принадлежащих Аы у которых п,(а) = хь Обозначим через 41(а) число, получаемое иэ а заменой всех, начиная со второго, десятичных знаков числа а нулями, т.е. если а = пи 61..., то з1(а) = кшбь Тогда для любого а Е А2 имеем э1(а) = кш йы но при всех а й А2 выполнено неравенство а < яшйь Для всех а Е А2 определим функцию п2(а), равную значению ее 2-го десятичного знака. Наибольшее его значение выразим через к2. Образуем множество Аз С А2 такое, что Ча Е Аз 24 яз(а) = хэ.
Тогда для вз(а), т,е. для числа, полученного заменой всех, начиная с третьего, десятичных знаков числа а нулями, справедливы соотношения вг(а) = хо,х1хз 'га б Аз, 'а < хо х|хха 1а ф Аз. Продолжая этот процесс далее, на Ь-м шаге, будем иметь вк(а) = хо, х1хо...хк 1га б Ак+1~ а < хо,х1хз хк Ча ф Ак+ь Таким образом, мы получили последовательность знаков, которые определи(от число 6', имеющее десятичную запись вида Ь' = хо,х1хз .." Докажем, теперь что Ь' является точной верхней гранью множества А, т.е, что Ь' = вар А, Для этого надо проверить следующяе условия: 1) 6' — верхняя грань, т.е. для всех а е А имеем а < 6', 2) 6' — наименьшая из всех верхних граней, т.е, если 6 < 6', то существует а б А такое, что а > 6.
Докажем условие 1). Допустям противное. Это значит, что существует а б А, такое, что а > 6'. Тогда из правила сравнения чисел имеем, что существует номер й такой, что вк(а) > хо х1...хк = вк(Ь'). А это протяворечит построению числа 6'. Теперь докажем условие 2). Если Ь < Ь', то по правилу сравнения вещественных чисел существует номер й б И такой, что Ьо, Ь1... Ьк = вк(Ь) < вк(Ь') = хо х1... хк.
Но по построению найдется элемент а б Ак+1 такой, что вк(а) = вк(Ь'). Отсюда имеем вк(Ь) < вк(а), Ь < а. Тем самым свойство 17 доказано полностью. Заметим, что число 6' = апрА может принадлежать А, а может и не принадлежать. В качестве прямера рассмотрим множество А рациональных чисел е с условием а < 0 или аз < 2 и множество В = Ц'1 А, составленное из положительных рацяональных чисел 6 с условием Ьз > 2. В силу того, что не существует рационального числа, квадрат которого равен двум, имеем: 1) А 0 В = Ц; 2)А й В = И; 3) А ф 8, В ф И; 4) для любых чисел а б А и любых чисел Ь б В справедливо неравенство е < 6. Определение 2. Любое разбиение рациональных чисел на два множества со свойствами 1) — 4) называется сечением (дедеииндовым сечением).
Ясно, что множество В "ограничивает сверху" множество А, т.е. при любом фиксированном 6 Е В выполняется условяе 4), и множество В исчерпывает все множество верхних граней множества А. Покажем, что множество В ые имеет наименьшего элемента, а множество А, являющееся множеством всех нижних граыей для множества В, ые имеет наибольшего элемента. Это означает, что множество Я рациональных чисел не является "полным", т.е.
для него не выполнено свойство 17о, Действительно, предположим противное, т.е. существует минимальное число 6о в множестве В. Рассмотрим число 6о — Л, Л Е Я такое, Ь* 2 что О < /с < -кто —. Тогда имеем (Ьо — Л) = Ьо+ Л(lс — 26о) > Ьо Л 2Ьо > Ьо 2Ьо = 2. г г Ьо 26 Следовательно, Ьо — Л Е В, что противоречит минимальности числа Ьо. Допустим теперь, что ао — максимальное число множества А. Рассмотрим неотрицательное число Л < 1 с условием Л <: — +о-.
Тогда имеем (ао+ Л) = аг+ Л(2ао+Л) < аз+ Л(2ао+1) < ссг+ (2 — аг) = 2 Таким образом, число ао+ Л Е А, что противоречит предположению о максимальности числа ао в множестве А. Понятие сечений в множестве рациональных чисел было введено Ю. В. Р. Дедекиндом (1831 - 1916) для построения теории вещественных чисел. Хотя в нашем курсе эта же задача решается с помощью бесконечных десятичных дробей, следует отметить, что дедекиндовы сечения оказываются полезными и в других, вопросах.
В частности, на них фактически опирается строгое определение степеыной и показательной функций при произвольных значениях показателя степени и аргумента. Определение 3. функции оо(а) будем называть округлением числа а до (с-го знака после запятой. Свойство точной верхней грани. Если 6 = вирА, то сс>О В аЕА такое, чтоа>Ь вЂ” с. Д о х а з а пс е л ь с сп в о проведем от противного. Предположим, что найдется с > О такое, что для всех а Е А выполняется неравенство 6 — а > с. Но тогда 6' = 6 — с является верхней гранью мыожества А, которая меньше, чем Ь, а это невозможно, поскольку Ь есть наименьшая из верхних граней, что и требовалось доказать. Докажем еще одно свойство вещественных чисел.
26 Л е м м а 1, Для любых вещественных х, у б В с условием х < у существует рациональное число т/и б О такое, что х < ~~ < д. ,В а к а з а т е л ь с т в о. В силу аксиомы Архимеда (свойство 1бе) для положительного вещественного числа у — х существует натуральное число и такое, что справедливо неравенство и(э — х) > 2. Отсюда следует, что интервал (их, ий) имеет длину, превосходящую 2. Следовательно, на этом интервале найдется целое число т такое, что их < ги < иу (например, т = [ий] — 1). Согласно свойству 15а из последнего неравенства получим искомое неравенство. Лемма 1 доказана. Замечание.
Так же просто показывается, что между любыми числами и < э найдется иррациональное число. Действительно, в силу леммы 1 между числами х/~/2 и у/зГ2 лежит некоторое рациональное число ги/и. Но тогда иррациональное число тз/2/и находится на интервале (х,у). 1 5. ЛЕММЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ МНОЖЕСТВ, О СИСТЕМЕ ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СТЯГИВАЮЩИХСЯ ОТРЕЗКОВ Л е м м а 1 (об отделимости множеств). Пусть А и  — непустые множества на вещественной прямой, т.е. А ф 8, В ф 8, А С ж, В С ж. Пусть также для любых а б А и для любых 6 б В выполнено неравенство а < 6.
Тогда существует число х такое, что для всех а б А и для всех 6 б В справедливо неравенство а < х < 6. ,В о к а з а т е л ь с т в о. Из определения множества В следует, что каждая его точка является верхней гранью множества А. Положим х = апрА. Тогда, поскольку х — это верхняя грань, для всех а б А имеем неравенство а < х, и так как х — точная верхняя грань А, то х < 6 для любого 6 б В, т.е. для всех а б А и для всех 6 б В имеем а < х < 6. Лемма 1 доказана.
ОпрЕделение 1. Системой вложенных отрезков называется множество М„элементами которого являются отрезки, причем для любых Аы Ат б М выполнено одно из условий. Ь| С Аз или Аз С Ап т.е. все точки одного о~резка принадлежат другому отрезку. Л е м м а 2 (о системе вложенных отрезков). Пусть М вЂ” система вложенных отрезков. Тогда существует число х такое, что для любого отрезка Ь б М имеем, что и б Ь. Это значит, что все отрезки А из множества М имеют общую точку х.
тт Я о к а з а ти е л ь с т в о. Пусть А — — множество левых концов отрезков, принадлежащих М,  — множество их правых концов. Тогда для всех а б А и для всех 6 б В имеем а < 6. Действительно, пусть а — левый конец отрезка [а,Ь'] б М и 6 — правый конец другого отрезка [а',6] б М. Возможны два случая: 1) [а',Ь] С [а, Ь']; 2) [а',Ь] ~ [а, Ь']. В случае 1) имеем а < а' < Ь < Ь', а в случае 2) имеем а' < а < Ь' < Ь. Тогда в силу леммы об отделимости существует число х такое, что для любого отрезка [а, 6] б М справедливо неравенство а < х < 6. Лемма 2 доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
