Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Можно считать, что а < б. Для остатка ряда Фурье функции у(х) в точке хо справедливо представление 㻠— — 2 / ~о(у) О»уау = г» 1+ г»д, о где г»д —— 2 / ~р(у) В» у»у, г»д = 2 / ~о(у) Р» у»у. эоа Без ограничения общности будем считать, что у(у) = 1о~(У), т.е. 1о(У)— неубывающая неотрицательная функция. По лемме 2 15 величина га и -~ О при и ~ оо.
Поэтому достаточно показать, что г„д < се, где с > Π— некоторая постоянная. Заметим, что у(Ь) < г. Применяя к интегралу г„д вторую теорему о среднем, получим ь|г» »ад — — 2у»(Ь) / О„(у) Ну = 4хр(Ь) ~ Т„(х) Нх, Е/т» где функция Т„(х) определена в 11. Далее, О « — „ — „< —, поскольку Ь < я. Поэтому, применяя к б ь 1 последнему интегралу оценку леммы 2 11, будем иметь г„д < 21с(Ь) 4< 8г. Тем самым теорема 4 доказана. Замечание.
Использование леммы 2 11 в доказательстве теоремы 4 связано с тем, что величина ( = („в зависимости от и может изменяться, и поэтому прямое применение леммы 2 15 невозможно. Лекция 2Т т 7. ПОВЕДЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ Приведем несколько утверждений относительно поведения коэффициентов Фурье для некоторых классов функций. 1. Пусть у(х) б И' — четная функция. Тогда из формул Эйлера — Фурье имеем, что все коэффициенты Фурье Ь„= О, т,е.
ряд Фурье функции у(х) представляет собой тригонометрический ряд по косинусам. Пусть теперь у(х) б И' — нечетная функция. Тогда а„= 0 для всех натуральных чисел и, т.е. у(х) разлагается в ряд Фурье по синусам. Пример. На интервале (О,л) имеет место равенство л — х ч в1пйх Данное равенство является простым следствяем разложения функция Бернулли ро(х) в ряд Фурье. Если на интервале (О,л) задана функция у(х) б И', причем у(0) = — !пп у(х), у(л) = 1пп д(х), то мы можем распространить ее на ж-ее+ и -> ив всю вещественную ось, как 2л-периодическую и четную или нечетную функцию.
В случае четной функции ей соответствует ряд Фурье по косинусам, а в случае нечетной — ряд Фурье по синусам. 2. Пусть у(а) б И~. Тогда ее коэффипиенты Фурье стремятся к нулю при возрастании их номеров к бесконечности. Действительно, из неравенства Бесселя имеем, что ряд ~ (а~ +6~) сходится. Поэтому из необходимого признака сходимости ряда получим 1пп а„= !цп 6„= О. э-~оо \ъ-Фсо Это свойство коэффициентов Фурье мы уже неоднократно использовали. Замечание. Если а„и 6„таковы, что ряд 6О по+~, ( з+Ьз) о=1 сходится, то ряд аа — (о„сов пх + 6„внт па) э=1 есть ряд Фурье некоторой функции /(х) из класса ь2 — функций, интегрируемых в квадрате (теорема Ф. Рисса — Фишера). В этом случае говорят, что ряд Фурье сходится в среднеи квадратичном.
Более точно это означает, что при и -+ со имеет место соотношение (/(х) о (х))21/х + О о Покажем, как теорема Ф. Рисса — Фишера сведется к свойству полноты класса функций Ь2. Пусть ои(х) = — + ~и(аь сов/ох+ Ь1,эгп/сх) ао й о=1 обозначает и-ю частичную сумму тригонометрического ряда. Тогда в силу сходимости ряда ~"(а~ + Ь2) имеем 2и / 2 о.|*|-..| о'~*=/(2. - ° *+ию *) *= о о "=+' и -о ~,- (а2+Ь2) +О й=пз+1 при и > гп, от — 1 оо.
Следовательно, в силу полноты класса функций Ь2 последовательность частичных сумм (ви(х)) ряда Фурье сходится в среднем квадратичном к некоторой функцки из этого класса. 3. Пусть /(х) удовлетворяет условию Липшица, т.е. /~(х+ /1) — /(хИ < Ц/1/", где 1, > 0 и а > 0 — некоторые постоянные. Тогда справедливы неравенства / 11 1лг )а„( < —, )Ь„! < —. Из определения коэффициентов Фурье и периодичности у(х) и соо пх .имеем 2и-и/и / / аи = — /(х)соопх1/х = — — / У ~ — +У) соо "У"У= -и/и ест = — — ) 1 ~ — + у) осе пуЫу. я,! и о Отсюда получим 2в а„= — ' ~ (Д(х) — ~ (-+ х)) сов ох,(х. 2яд и о Следовательно, 2» ».> —,' ! в*>-х(-'+*)/а< — "..
о Аналогично доказывается оценка и для 6„. 4. Пусть Д(х) — функция ограниченной вариации иа периоде. Тогда имеем .„=0 — ', 6„=0 Из определения функции ограниченной вариации на (О, 2я] получим, что !(х) = ~~(х) — !з(х), причем ~1(х) и Ях) положительны и не убывают, Применим вторую теорему о среднем для оценки следующего интеграла. При некотором 4,0 < с < я, будем иметь зв гв ейппС /1'1 ~~(х) сов пхЫх = у,(2я) совахНх = — !,(2я) = 0 ( — ) .
и (» п,~ о Следовательно, =0 —, 6„=0 5. Ряд Фурье для 26-периодической функции д(х) б И' при ! ф я, Рассмотрим функцию 6(у) = д(!у/я), которая имеет период 2я. Поскольку Ь(у) б 6У, ао Ь(у) — + ~~ (а» сов бу+ 6» в1п бу). 2 »»а Если теперь выразим у через х: у = хя/1, то получим ао ч / йхя, йхя ~ д(х) = И(у) — + ~ ~а» сов — + 6» в1п — (, 2 ! ( »»а 508 при этом 1 / 11 1схсг ас = — / Ь(у)сообщу=- — / у(х)соз — с1х. Аналогично имеем 1 1 ссхх 6» = — ~ у(х)з1п — дх. 1/ Другими словами, вся пост1юенная нами теория рядов Фурье для функций, имеющих период 2к, с помощью линейной замены переменной переносится на случай 21-периодическик функций.
г 8. РАЗЛОЖЕНИЕ КОТАНГЕНСА НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИНУСА В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ Развитый нами аппарат теории разложения функции в тригонометрический ряд Фурье позволяет, наконец, достаточно просто вывести формулу, представляющую синус в виде бесконечного произведения. Для этого сначала докажем не менее известную формулу разложения котангенса на простейшие дроби. На отрезке ( — к, к) рассмотрим функцию у(х) = соя ах, где а < 112— некоторое фиксированное число. Продолжим ее на всю числовую ось как периодическую с периодом 2сг. Тогда функция у(х) будет четной и непрерывной на всей вещественной оси Ж, Поскольку у(х) является непрерывной н кусочно-гладкой функцией на 1, ее ряд Фурье равномерно сходится на 1 к д(х). Поэтому для всех х б 1 имеем разЛожение ао ч сг 6хх, )сххс у(х) = — + ~ ~о» соз — + 6» з!и— 1) где ас и 6с — коэффициенты Эйлера — Фурье.
Далее, в силу четности функции у(х) все 6» равны нулю, а для коэффициентов ас при а ф О имеют место равенства ао 1 з1»г сиг — — соз охс1х = 2 2к/ ак 1 2а з1п ах а» = — / созахсозххг1х = (-1) аз 1сг зоз Таким образом, э!иат (! „2а у !х) = соэ а* = — — + ~~г ( — 1) — соа йх гг а а2 Ь2 ггыг Отсюда при я = к получим соз ат 1 т 2а т = ксФкат= — + ~ э!и ат а ~~ а2 — гг2 ьжг 1 =11 7 э-г ~-~ а — Гг 2=-» Последняя формула и дает классическое разложение котангенса на простейшие дроби. Отсюда легко получить представление синуса в виде бесконечного произведения.
Для этого заметим, что ряд справа сходится равномерно относительно параметра а при О < !а! < -', поскольку имеет мажоранту вида ! 2/й2, Более того, поэтому он является производной своей первообразной. С другой стороны, имеем с l э!и та г 1 !и — ) = кс1кка — —, а а с а21) 2а 1 1 !и 1 — — = = + !22 г а2 йг а — !г а+ )с Следовательно, в силу непрерывности функции 1их при некотором с Е Ж справедливо равенство э зги яа а 1 1и = с+ !пи ~ 1и ~ 1 — — ) = а э — гсо й)- 2=1 / аг~ г~ = с+ !пи !и П 11 — — ) = с+ !и П ~ 1 — — ). ьшг ггпу 1 Это значит, что при всех а с условием О < (а! < -' имеет место формула Э!И ГГа .
тт Гг а2 ! гг = !пи =сг 1пип ~! — — ) =сг. -~э а -ге ха 1, !22) гг=! 510 где сг = е'. Заметим, что бесконечное произведение в правой части данного равенства сходится равномерно по а при !а! < -'. Поэтому, переходя к пределу при а -> О, находим сг.
Окончательно имеем а=1 Таким образом, формула представления синуса в вгще бесконечного произведения доказана. э 9. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА И РЯДЫ БЕССЕЛЯ Пусть планета М движется по эллипсу, в фокусе которого находится неподвижная планета Р. Полуоси эллипса соответственно равны а и Ь, а ) Ь. Пусть Т вЂ” время полного оборота планеты М вокруг планеты Р, а г — текущее время, отсчитываемое от положения планеты в точке А, находящейся на большой полуоси. Обозначим через Ядру площадь сектора эллипса АРМ. По закону Кеплера имеем Ялам ггаМ вЂ” — т.е. Яллм = —.
лаЬ Т Т Рассмотрим окружность с центром в точке О, находящейся в центре эллипса, и радиусом, равным ОА = а, и обозначим через Мг точку на окружности, являющуюся образом точки М при проекции на большую ось эллипса параллельно малой его оси. Положим также ОР— — и = х'.АОМг. ОА' Из геометрических соображений найдем площадь сектора эллипса АЕМ.
Поскольку эллипс получается аффинным преобразованием из окружности сжатием по оси Оу в — раз, то имеем ь а Ь Я ° = — Я а Далее находим 1 1 Ялам, = Ялом, — Ялом, = -а и — -а евгпи. 2 2 2 2 Следовательно, аЬ Ялам = — (и — евгпи). 2 Мы приходим к уравнению Кеплера и — евгп и = 2гг — = ~ = сАОМ. Т 511 Величина ( называется средней аномалией планеты, и — зксцентрической аномалией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
