Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Следовательно, функция 7(и, с), равная скалярному произведению векторов й(г) и й(р) принимает всего два значения +1 и — 1. Но эта функция является непрерывной на Рб. Отсюда имеем, что она либо тождественно равна +1, либо тождественно равна — 1. Это означает, что при замене параметризации определенная нами нормаль к поверхности Р либо не меняется во всех точках Р, либо меняет свое направление сразу во всех точках Р. Поэтому говорят, что нормаль к поверхности, отвечающая некоторой параметризании этой гладкой поверхности без особых точек, выделяет на ней ее сторону. Поверхность с выделенной стороной называется двусторонней поверхностью.
Определение 2. Выделение одной из сторон поверхности Р с помощью параметрнзацнн называется ориептапией поверхности Р. Далее, пусть на поверхности Р задана функция Ь(т) от трех переменных г = (я, у, г). Рассмотрим следующие четыре интегральные суммы, отвечающие размеченному разбиению \~: со(г) = ~~' Ь(гь,!)р(ль,!); ь,! н,(У) = ~~! Ь(гь !)р(Кь !Ип,с,),б = 1,2,3. ь,! Отсюда имеем, в частности, следукпцие выражения: с !(1) = ~~! Ь(ть!)р(йь !)собХ = ~~! Ь(гь !)А(иь !,»ь !)бт, где собХ = (б,с!),А(и»н) = У У У» Аналогично можно записать нз(Г), нэ(Г), с заменой соэ Х на соб У = (й, ет), соб Я = (й, сз) и с заменой А = А(и, с) на — В(н с) — У и С С(н э) ~ » «» я» ~*» у» Заметим, что вектор нормали п можно представить в следующем виде: б!5 Определение 3, Если существует предел 16 прн Ьг -+ О интегральной суммы пз(У), то он называется поверхностным интегралом первого рода от функцяи И(т) по поверхности Р.
Этот интеграл обозначается так: 16 = / / И(г)~Ы. и Определение 4. Если существуют пределы 11, 1ю 1з, при Ьг -+ О интегральных сумм е1(У),из(У),из()'), то онн называются поверхностнымн интегралами второго рода от функции И(х,у,х) по стороне поверхностя Р, отвечающей параметризации б = г(и, э). Для интеграла второго рода вводятся следующие обозначения; ! =//кгкргь,ь =11 к )ь ь,ь=/1 кеьгь. Здесь знак Л ставится для того чтобы отличить поверхностный интеграл второго рода от обычного двойного интеграла по плоскому множеству Р. Часто этот знак опускается (в тех случаях, когда это не ведет к двусмысленности). Отметим еще, что вместо дифференциальных форм, участвующих в интегралах 11, 1з, 16, можно ввести форму ы = РЫу Л 1(г+ 1"Мха<(х+ Юх Л 1(у и рассмотреть интеграл второго рода от этой дифференциальной формы 1 = ) ( ы. и Приведем два свойства введенных интегралов первого и второго рода.
Они вытекают непосредственно из их определений. 1~. Справедливо равенство 1= Рг(улдх+ЯМхддх+ЛЫхдеу= и = / ~(Рсоа Х + б)сов У + Всоз х)ИЯ, и где сов Х = (й,е1),сов У = (п,ез), сов х = (б,ез). 2~. Т е о р е м а 1 (о сведении поверхностного интеграла к двойному интегралу). Пусть функцяя И(г) непрерывка на гладкой, 616 Вычислим теперь интеграл ! = ) ( гаях дф. Примеияя теорему 1, гг получим ИхИу ! = ~ / гсоз ЯНо' = г~ / г созЯ вЂ” = ! зг( г гзг 2я = ~ / г(х,у)ИхНу = / Н1в ~Ч1 — тгтт1т = — 2я-(1 — тг) 1 3 3' и, о о 2. Пусть поверхиость П задается уравнением г = р(х,у), где гг(х,у) — гладкая функция, (х,у) б Ош и иитегрироваиие ведется по верхней стороне поверхиости 1Э, т.е.
в этом случае сов У > О. Обозначим эту сторону через .О+. Тогда ~ 6(х, У, х)йх Л НУ = г~ / Ь(х, У, 1г(х, У))ИЫУ. г 5. СОГЛАСОВАНИЕ ОРИЕНТАЦИИ ПОВЕРХНОСТИ И ЕЕ ГРАНИЦЫ По существу мы дали определение поверхностных интегралов только в случае, когда область 11о является квадратом. Для интегралов первого рода это определение тривиально распространяется иа случай поверхиостей, составленных из отдельных частей, каждая из которых есть гладкий образ некоторого квадрата, и соприкасающихся между собой по общим участкам границ. Тогда поверхностный интеграл первого рода понимается как сумма интегралов по составляющим ее частям.
Стаидартиыми рассуждениями мы переходим от специальиого случая к определепию поверхностного интеграла для произвольного измеримого по Жордаву компакта По. Более того, таким образом мы можем рассмотреть интеграл первого рода по поверхвостям, которые являются граиицей пространственных тел, например, по поверхиости куба или шара в трехмериом простраистве. Во всех этих случаях будем считать, что понятие интеграла по таким поверхностям уже определено и верна теорема о его сведении к двойному интегралу.
Определение 1. Поверхяость О вазывается кусочно-гладкой, если ова связяа и является объедияеяяем конечного числа гладких поверхяостей, каждая вз которых есть образ выпуклого плоского мяожества, имеющего кусочно-гладкую граяяиу. Пря этом общие точки у любых двух поверхностей (если ови есть) обязательно привадлежат образам граввд, указавиых выше плоских множеств.
шв Определение 2. Интеграл первого рода по кусочно-гладкой поверхности равен сумме интегралов ло ее гладким частям. Более сложная ситуация имеет место в случае интегралов второго рода по кусочно-гладкой поверхности, так как здесь необходимо согласовывать ориентапню ее частей. Рассмотрим этот случай. Нам будет нужен ряд новых определений. Определение 3. Границей Ь = дР гладкой поверхности Р называется образ границы Л = дРо множества Ро, которое отображается в Р лри ее лараметризации г. При этом считаем, что Л есть кусочно-гладкая замкнутая кривая без кратных точек, а множество Ро — выпукло, Замечание.
Очевидно, что поверхность Р может быть плоской, и при этом не обязательно быть выпуклым множеством. Так что выпуклость не является существенным ограничением. Поэтому можно считать множество Ро образом выпуклого множества. Определение 4. Будем говорить, что параметризапия г поверхности Р отвечает ориентации ее гранины Е = дР ~или "согласована" с ориентацией ее границы), если лри этой ларамегризации г ориентация кривой Е порождается положительной ориентацией ее прообраза Л ~границы множества Ро — прообраза поверхности Замечание.
Если г = г,/~г,~ — касательный вектор к кривой Е в точке А, отвечающий ее параметризации, и й = 6(г) — вектор нормали к поверхности Р в точке А, то согласованность ориентации кривой Л и ориентации, отвечающей параметризации г, означает, что "обход" кривой Е относительно вектора 6 совершается "против часовой стрелки". Другими словами, вектор 6 = ~г, й]) является нормалью кривой Ь, лежащей в касательной плоскости к поверхности Р и "внешней" по отношению к проекции Р на зту касательную плоскость.
Это полностью отвечает определению согласованности ориентации в плоском случае. Определение 5. Будем говорить, что кусочно-гладкая поверхность Р является двусторонней поверхностью с выделенной стороной, если лараметризации ее разных кусков выбраны так, что общие участки границ этих кусков лри указанных лараметризациях ориентированы в протпиеоположнмх направлениях.
Пример. Пусть поверхность Р является плоской и лежит на плоскости хОу. Рассмотрим верхнюю сторону Р и пусть Р = Р1 0 Рт. Тогда ориентация поверхностей Р, Р„Рз будут согласованы с ориентацией их границ Ь, Ьп бю если все зти кривые "обходятся 619 Здесь Р— выпуклая область, Л вЂ” ее кусочно-гладкая граница, ориентированная в положительном направлении, а ИР и й~ — дифференциалы функций Р и 9.
При этом интеграл ~~ понимается не как двойной, а как поверхностный интеграл второго рода по верхней стороне плоской поверхности Р. Действительно, тогда имеем = ~/ Р ь*и*-.'-~ ~Р иу ь = — ~~Рь Е. Аналогично, получим ~~(1я) е=/~е,~ е. Выбирая тривиальную параметризацию я = я,у = у, последние интегралы можно рассматривать как обычные двойные интегралы. Поэтому мы получим формулу Грина в доказанном ранее виде.
2. Следует отметить, что поверхности, задаваемые с помошью достаточно простых формул, не всегда являются кусочно-гладкими. Например, сюда относится поверхность конуса с вершиной. Тем не менее построенная выше система определений позволяет рассматривать интегралы и для поверхностей такого рода. Для этого можно использовать конструкцию, родственную теории несобственных интегралов.
В указанном выше случае искомое значение поверхностного интеграла определяется как предел интегралов по поверхностям конуса без некоторых окрестностей его вершины, при условии, что радиусы данных окрестностей стремятся к нулю. Лекция 13 г б. ФОРМУЛА СТОКСА В указанной выше форме формула Грина справедлива не только в плоском случае, но и в трехмерном пространстве, где она называется формулой Стокса. Т е о р е м а 1 (формула Стокса). Пусть П вЂ” гладкая невырожденная (без особых точек) поверхность в Вз, которая является образом плоского выпуклого множества Е1о при отображении г = г(и, о), причем его координаты являются дважды непрерывно дифференцируемыми функциями. Пусть кривая Ь вЂ” кусочно-гладкая граница поверхности ЕЕ, являющаяся образом кусочно-гладкой границы Л мноятества Ро Ориентация границы Е, отвечает параметризации г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
