Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Пусть также Р, Я,  — гладкие функции на П. Тогда справедлива формула РтЕх + 1~Ну + ВНх = О (йР) Л тЕх + (й„1) Л Ну+ (ИВ) л Нх = =)) [ — — — ) ар 1*+ ( — — — ) вишь.~ ( о — — е)Г нц. ,ЕЕ о к а з а тв е л ь с т в о. В силу линейности поверхностного интеграла достаточно рассмотреть случай интеграла К = у Рйх, т,е. достаточно доказать формулу к=~ее=ДВе~ в=~~ее ь — еь Ь=.т. Ь и о Пусть г(и, и) = (х(и, о), у(и, о), х(и, о)) — параметризация поверхности ЕЕ, причем (н,о) Е Его, Кроме того, на границе Л области Ро задана кусочно-гладкая параметризация (и,о) = (и(1),о(1)),Е Е Е = [О,1!,(и(0),о(0)) = (и(1),и(1)), которая определяет на кривой Е параметризацию г(и(1),о(1)).
В силу теоремы о выражении криволинейного интеграла через определенный интеграл имеем 1 К = ф РтЕх = / Р(б(и(1), в(1)))<Ь(п(1), о(1)). ь о вгг По той же теореме последний интеграл равен К = ~ Р(г(и, е))сЬ(и, е) = ~ Р Я и, г))(к„пи+ х„де). К интегралу К применим формулу Грина. Получим К = ~ Р(г(и, е))аз(и, е) = ~~(аР(г(и, е))) Л Нх(и, и), Воспользуемся инвариантностью формы первого дифференциала и непрерывностью вторых частных производных функций г(и, е), у(и, е), «(и,е). Имеем ЙР(г(и, е)) = Р Ых(и, е) + Р„йу(и, е) + Р, Йг(и, е).
Следовательно, К = Р,йх(и,е) Л Нх(и,е) — Р„г)х(и,е) Л йу(и,е) = Я~, Здесь Я~ рассматривается как поверхностный интеграл второго рода по верхней стороне плоской области Пе. Но при параметризации г = = г(и, е) оба интеграла Я и 5~ дают одно и то же выражение. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно раскрыть скобки в выражениях г(х(и, е) Лег(и, е) и сЬ'(и,е) Л4у(и, е), считая, что Йх(и, е) = х„Ни+ х„сЬ и т.д. Окончательно имеем, что Я и Я~ сводятся к одному и тому же двойному интегралу Я = Я~ —— Ц(Р,  — Р„С)Мийо, где Ф хь ~» хв *э Тем самым, доказано равенство К = Я.
Теорема 1 доказана. Замечание. Применяя формулу Стокса к плоской поверхности В, распространим формулу Грина на случай областей, которые являются образами выпуклых множеств, а затем, уже используя это утверждение при доказательстве формулы Стокса, мы можем в теореме 1 считать, что область Ое есть образ выпуклого измеримого множества. 623 з 7.
ФОРМУЛА ГАУССА — ОСТРОГРАДСКОГО Эта формула является аналогом формулы Грина в трехмерном пространстве. Т е о р е ы а 1 (формула Гаусса — Остроградского). Пусть: 1) множество Ь' Е )йь — выпуклый, измеримый по Жордаву, компакт; 2) граница 3 множества (Г есть вевырождеввая (без особых точек) кусочно-гладкая поверхность; 3) заданы гладкие функции Р = Р(х,у,з), О = О(х,у,з), Я = Я(х,у,х) на множестве 1г.
Тогда имеет место формула Роуд оз+ЯИг ЛЫх+ Я~1х Л ау = (Р + От+ Я,)йхйуйз. / Здесь интеграл в левой частя равенства является интегралом второго рода, который берется по внешней стороне поверхности 3+, а в правой части равенства — обычный тройной интеграл по множеству 1Г. ,11 о к а з а т е л ь с ш в о. Как и при доказательстве формулы Грина, рассмотрим только случай Р = О, О = О. Спроектируем поверхность З на плоскость хОУ и обозначям эту проекцию через Р.
В салу выпуклостя Ъ' всякая прямая, параллельная оси Ох и пересекающая Р, пересекает ~' по отрезку. Пусть (х,у) Е .Р, тогда нижний конец этого отрезка имеет координаты (х,у,~о1(х,у)), а верхний конец отрезка — координаты (х, у,уз(х,у)). Пусть, далее, Л = дР обозначает грааицу множества Р. Тогда поверхность Р разбивается на три кусочно-гладкях частя: З1 —— .((х,у,з)~(г,у) Е Р,х = ~р1(х,у)), Зз — ((х, у, х))(х, у) Е Р, з = ~рз(х, у)), Зз = ((х У х)Их У) Е Л~ (х~у з) Ф З1 ОЗз). Здесь для поверхности о1 интегрирование ведется по ее нижней стороне, а для Зз — по верхней стороне, и, наконец, для Зз, представляющей боковую часть поверхности 3, — по стороне, нормаль к которой перпендикулярна оси Ох и является внешней нормалью по отношению к Р.
По теореме о сведении поверхностного интеграла к двойному интегралу Рямана имеем Яйх л Ну = Ясов(п,ез)ИЗ = О, б24 поскольку сов(й,ез) = О. Далее, Вдх Л Иу = Всоз(й, ез)ИВ = — В(х, у,(е)(х, у))ИЫу, 5э По формуле Ньютона — Лейбница при фиксированных (х,у) получим ю'з(' к) В(х„у, рз(х, у)) — В(х, у,(г((х, у)) = / ' ' Их. Г дВ(х, у, «) дх г (,х) Следовательно, гэ('з) ц ~ дяь,ю.*! ф мь,р,*) Теорема 1 доказана.
Замечания. 1. Тем же способом, что и в случае формулы Грана, зту формулу можно распространить на случай областей У, которые являются образом выпуклой области при некотором гладком отображения. 2. Ясно, что если 1' = У1 О Уз, где 1) и Ух удовлетворяют условиям теоремы 1 и соприкасаются по кусочно-гладкой границе, то и для У теорема 1 тоже верна. 3. Формуле Гаусса — Остроградского можно придать вид, аналогичный формулам Грина и Стокса, т.е.
/ РЙул Их+ Яохд Их+ Вдх Л Иу = 5 = ~~~(дР) л Иу л Их + (Щ) А Их л <Ь + (ИВ) д дх Л Иу. Но это требует введения некоторых новых понятий. В дальнейшем мы предполагаем доказать общую формулу указанного выше вида для пространства и измерений и поверхности размерности х ( п. Она называется обшей формулой Стокса. Доказательство ее проводится по существу так же, как и формулы Гаусса — Остроградского. Правда, при этом в связи с согласованием ориентации поверхности и ее границы возникают некоторые новые сложности. 4. Что такое "внешняя нормаль" к кусочно-гладкой поверхности Я, которая является границей выпуклого пространственного тела Уу Если в точке г б Я существует вектор и, то из геометрических соображений ясно, что й = (пг, пю пз) — внешняя нормаль для верхней части Яз поверхностя Я, если выполняется условие пз > О, а для нижней частн Яг поверхности Я имеем условие пз < О.
Для нормали, отвечающей параметризацин х = р(х,у), имеем Следовательно, параметризации г = у(х,у) всегда отвечает "верхняя" сторона поверхности и потому при переходе к двойному интегралу в случае поверхности Яа мы берем знак + перед интегралом, а в случае поверхности Яг — знак — .
Примеры. 1, Из теоремы 1 имеем следующее выражение для объема тела У через поверхностный интеграп по поверхности 5 = дУ ( У = хг(уг1(1х = уЫхд(Ь' = хдх Л((у. 5+ Здесь поверхностные интегралы берутся по внешней стороне поверхности. Отметим, что для определения внешней стороны поверхности 5 следует через точку на поверхности провести нормальную прямую к ней и в качестве направления внешней нормали к поверхности Я выпуклого тела У взять то направление луча этой прямой с вершиной в данной точке, на котором не содержится других точек тела У.
2. Интеграл Гаусса. Пусть Я вЂ” кусочнг~гладкая, невырожденная, измеримая по Жордану, компактная поверхность. Пусть Р— некоторая фиксированная точка, М вЂ” переменная точка на поверхности Я, г = г(Р, М) — радиус-вектор с начальной точкой Р и концевой точкой М,й — внешняя нормаль к поверхности в точке М. Тогда имеем 4гг, если Р б У~Я, С=Д ' (15= 2гг, если Рс Я, ГГ соа(г, й) гт Я+ О, если РкУ, Рассмотрим сначала случай, когда точка Р й У ~ Я. Пусть точка М имеет координаты (х, у, х), а точка Р— координаты (а,6, с). Тогда 626 Поменяем в последней формуле функции и и е местами.
Левая часть равенства при такой замене не изменится, следовательно, не изменится и значение вырюкения, стекшего в правой части. А зто дает следующее равенство: т.е. и — — е — оЯ = (иЬи — идти) ЫК Последняя формула называется формулой Грина и является весьма полезной при исследовании гармонических функщай, т.е. функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа Ьи = О.
Лекция 14 ~ 8, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ТОЛЬКО ОТ ПРЕДЕЛОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Будем считать, что Р,ьг,гс — гладкие функции. Сформулируем и докажем теорему о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования, имеющего фиксированные начальную и концевую точки. Т е о р е м а 1. Пусть Ь вЂ” кусочно-гладкая невырожденная кривая.
Тогда для того чтобы интеграл 1 = Рйх+ (,Ыу+ НсЬ не зависел от путя интегрирования ~а зависел только от начальной н концевой точек кривой Ц, необходимо н достаточяо, чтобы существовала функция 6(х,у, х) такая, что оА = Рйх+ ф~у+ Нйх. Мы считаем, что Р,Ч',Рт,1 определены внутри некоторого шара П еж~.
Д о к о з а т е л ь с та в о. Необходимость. Пусть интеграл 1 не зависит от пути интегрирования. Обозначим через го центр шара й и через г,г1 произвольные точки шара П. Поскольку интеграл ! зависит только от начальной и концевой точек кривой Ь, интеграл )е „м,м = Рок+ шоу+ Нвх, есть функция от г. Обозначим ее через А(г). Пусть точки г, и г лежат на прямой, параллельной оси Ох. Тогда Дифференцируя зто равенство по первой переменной х, получим д6(г) дх Аналогично, имеем Следовательно, дифференциальная форма ы есть полный дифференциал.
Необходимость доказана. Достаточность, Пусть г~ и гга — любые точки, принадлежащие Й, и Л вЂ” кусочно-гладкая невырожденная кривая, имеющая своими концамн точки г1 и гт. Пусть г = г(1),1 б [О, 1], — параметризация этой кривой. Тогда, переходя от криволинейного интеграла к определенному интегралу от одной переменной, получим 1 сУа = Ь~(г(1))сИ = Цгг) — Ь(г.). ь о Это означает, что интеграл от полного дифференциала зависит от начальной и концевой точек пути интегрирования, но не зависит от самого этого пути. Теорема 1 доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
