Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Выясним теперь условия, при которых дифференциальная форма ы есть полный дифференциал от некоторой функции Ь(г). Для простоты рассмотрим только двумерный случай. Т е о р е м а 2. Пусть й — выпуклая область в К~. Для того чтобы дифференциальная форма ы = Рдх+ Цау на й была полным дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы для всех точек Й выполнялось равенство у-„- = — ~. ар ао Д о к а з а т е л ь с т в о. ёеобходпмость. Если дифференциальная форма ы является полным дифференциалом, то есть ы = Ый, то равенство — = а, означает равенство смешанных производных.
ар ад Необходимость доказана. Достаточность. Пусть выполняется равенство дР а~ ду дх Рассмотрим функцию УО где (ха,уа) — некоторая фиксированная точка области й. Тогда имеем дИ дх — = Р(х,у) Далее, по правилу Лейбница получим р дР(1, у) р дг~(1, у) ду ' у ду ' у д1 — =®хау)+ 1 ' д1=®хо,у)+ 1 ' 11= взг = Я(хо,у) +Я(х,у) — Я(хо,у) = оо(х,у). Таким образом, дифференциал функции Ь(х,у) совпадает с дифференциальной формой ы. Теорема 2 доказана. Аналогично доказывается следующее утверждение. Т е о р е м а 3. Пусть й — выпуклая область. Дифференциальная форма ы = Рпх+ Яду+ Ио тогда и только тогда является полным дифференциалом, когда для всех точек области й выполняются авенства Р дР дЯ дР дй дЯ дП ду дх ' дх дх ' дх ду И вообще, в выпуклой области й С К" условие, что дифференциальная форма ю является полным дифференциалом некоторой функции Ь, т.е. ы = дЬ, эквивалентно условию оЬо = О.
Пример. Пусть у(х) — функция комплексного переменного х = = х+ 1у, х, у Е К, принимающая комплексные значения ,((х) = и(х,у) +1о(х,у) = и+(о, где и, о — вещественнозначные функции и у(о) — однозначная в некоторой области й комплексной плоскости С. Пусть Ь вЂ” простая спрямляемая ориентированная кривая, Ь Е й. Определим криволинейный интеграл 1 от функции у(х) по кривой Х следующей формулой: 1= г'(х) Й = (и+1о)(дх+ Ыу) = (идх — оду) +1 (ой+ иду). Пусть функции и = и(х, у) и о = о(х, у) являются гладкими в области й. Далее потребуем, чтобы интеграл 1 не зависел от кривой интегрирования Л, а зависел только от начальной ее точки хо и концевой точки ю В силу теорем 1 и 2 в этом случае имеем дп до дп до дх ду' ду да' Эти условия называются условиями Коши — Римана.
Отметим, что при наличии гладкости функций и и о в области й они являются необходимыми и достаточными условиями дифференцируемости функции комплексного переменного. Итак, пусть функции и и о являются гладкими. Рассмотрим интеграл Р(х) = У(х) пх = у(х) пх = У(х,у) + Пг(х,у), ь м 632 где у = уо,р) = / ~* — ь 1' = п*,у) =) ~*.~ ау.
ло м Отсюда получим д1г дУ дй' дУ дх ду ' ду дх Следовательно, функция г'(х) является дифференцируемой и д1г . дУ г (х) = — + 1 — = и+ 1о = 1(г). дх дх Таким образом, функция Р(х) является первообразной функции у(х), и длн интеграла от функции у(х) имеет место теорема Ньютона— Лейбница. Простым следствием теорем 1 и 2 является следующая теорема. Т е о р е м а 4.
Пусть функция у(х) — однозначна и непрерывна в областя П, принадлежащей комплексной плоскости С. Тогда для любого простого слрямляемого ориентированного замкнутого контура Ь б Й спгаведливо равенство ((х) дх = О. ь Полученная теорема называется основной теоремы Коши в теории функций одного комплексного переменного. т 9. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА Рассмотрим выпуклую область У в трехмерном пространстве 2з. Пусть на этой области задана скалярная функция 6(й),и б У и отображение ф(й) области У в трехмерное пространство.
Традиционно в приложениях анализа к математической физике и механике ряд вопросов, связанных с изучением функций Ь(й) и ф(й), выделяется в отдельный раздел, который называется еекторним анализом или |пеорией (еектормого) поля. По существу, этот раздел ничего нового, кроме обозначений, не содержит. Но язык этих обозначений надо знать. П жми поинт чпеиии1 кипе Определение 1. Функция Ь(и) называется скалярным полем, а отображение р(й) называется векторным полем на области К Если функция Ь(й) и ф(й) — гладкие., то соответствующие паля тоже называются гладкими.
Далее будем считать, что Ь(и) и ф(й) — гладкие функции на К Определение 2. Векторное поле А(й) = (~л ол вк) = огаг(Ь(й) называется градиентом скалярного поля Ь(й). Определение 3. Производной по направлению г' скалярного поля Ь(й) в точке йо называется величина Л(йо + ~е) — Ь(йо) дЬ 1ип г~о г д(' где е — вектор, определяющий направление Ь Известно что — = (игам Ь(й),е).
дЬ д( Примеры. 1. Множество всех точек й, удовлетворяющих условию Ь(й), равно некоторой постоянной величине а, называется мноигеством уровня функции Ь(й). Пусть множество уровня Ь(й) = Ь(йо) = а представляет собой гладкую поверхность П = П в окрестности точки и = ио. Тогда в любом направлении ( для кривой Ь б П, имеющей это направление, т.е. касательный вектор к кривой Ь в точке йо совпадает с вектором направления 1, справедливо равенство - г = О, поскольку для точек кривой Ь имеем ок ЬЬ(йо) = Л(йг) — Ь(йа) = О. Отсюда получим дЬ д1 — = (бган Ь(й), с) = О.
Следовательно, если вектор йгаг) Ь(йо) ф К то вектор градиента функции Ь(й) в точке йо ортогоналеп вектору е, касательному к поверхности уровня П. 2. Рассмотрим функцию Ь(й) = у(т), где т = 'Ой — йо'О. Поверхностью уровни П = П, отой функции является сфера с центром в точке йо и радиусом, равным а. Тогда вектор градиента функции )(т) направлен по нормали к сфере, т.е, по ее радиусу т = й — йо. Следовательно, йгаг(у(т) = ) (т),'-. В частности, имеем игам( — ) = г. 3. Пусть в точке йо помещена пробная единичная точечная масса, а в точках йг — масса пц,..., йя — масса пгю Пусть т1 —— = йг — йо,...,тк = йк — ио. Тогда сила притяжения, действующая на пробную массу, равна т1 тк Е(йо) = тг — +. + пгк —.
тз '' тз. 1 к Из предыдув!его примера получим зме имом по Жордаыу компакте 1» Е !кз задана кусочно вепреры тела У. Положим р(М) = О, если М ф . усть фиксированная точка, — л ая ыа пробыую точечную = г(М) = г(Р,М). Тогда сила, действующая ыа п, ыую то енвую в точке Р, по аналогии с дискретным едиыичыую массу, помещенную Р( ) ( ),~1;(М) где а!1г(М) = йх(М)!(у(М)д»(М). Р(Р!! можно представить в следующем виде: Силовую функцию ( ) можно Р(Р) = Кг а Р(Р), где Р) — Я д1'(М Действительно, имеем 1 йгай у!(Р) = ~О Р(М) йгас1 ( — - )Ы!г(М) = У Я = !Р, 9, т!) — гладкое векторное ноле.
Определение 4. Пусть Р(т) — — ( Тогда вели гнна дР д(~ дВ + + = !а!У!Р дх ду д» называется диве ергенпней векторного поля, а вектор с дВ дЯ дР дА дЯ дР'1 ду д»' д» дт' дх ду/ называется ротором векторного поля !Р. Если введем в рассмотрение оператор "набла" '7, полагая то предыдущие определения можно формально записать в виде Ф) Фв ф = ('7, ф), гоФ ф = [~7, ф], бгаФ) Л = ~7Л, где символические выражения (, ),[, ] обозначают соответственно скалярное и векторное произведения. Можно также определить йвф и гоФф из тождества для дифференциальных форм: Жив —— (ЙР) Л Ну Л Нг+ (Щ) Л Нг Л Нк+ (Нл) Л Нк Л Ну = (Ы ф)ик Ну Нг, ЖиФ вЂ” — (йР)ЛНк+(Щ)Лф+(ЫВ) Лйг = вФ НуЛНг+вт НгЛйк+вз й*Лйу, где гоФф = (вФ, вт, вз), йЛ(й) = (игам Л(й), Ый). Отсюда, используя соотношения Нк Л ок = О,ни Л ну = -адЛ ак и т.д,, получим соответственно выражения для бФвф и гоФф.
Отметим два полезных тождества гоФкгабЛ(й) =О, б(вгоФф(й) =О. Их доказательство получается прямыми вычислениями. Оно является следствием того, что для дифференциальной формы ы справедливо равенство Нты = О. Действительно, первое тождество следует из формулы сЕ(йЛ(й)) = Н~Л(й) = О, а второе тождество — из формулы н~ыФ вЂ” — и(оР Л ок + иф Л ну + нгв Л ог) = О. Определение 5. Криволинейный интеграл 1в второго рода 1в = ~ Рек + Яйу+ Жг по кусочно-гладкой ориентированной замкнутой кривой Ь называется циркуляцией вектора ф = (Р, ф, л) по замкнутому контуру Ь. Если г — единичный касательный вектор в положительном направлении обхода контура Ь, то интеграл !д можно записать в виде — (ф, )й(, ь где Й вЂ” элемент длины луги кривой Ь.
636 Определение 6. Поверхностный интеграл второго рода по выделенной стороне двусторонней кусочнгьгладкой измеримой поверхности Я вида 1 = О Рау Л ох + Яох Л ок + йох Л оу называется потоком вектора ф = (Р, ф гФ) через поверхность Я, Если через и обозначим нормаль к поверхности, соответствующую выбранной стороне поверхности, то поток 1 через поверхность 5 можно записать в виде Ь = О (ф, й)йК Переформулируем в векторном виде теоремы Стокса и Гаусса— Остроградского.
Пусть сторона поверхности 5, отвечающая вектору нормали и, согласована с направлением обхода контура, отвечающим вектору т, единичному касательному вектору к кривой Ь. Это можно сделать, например, так. По непрерывности определим вектор нормали на кривой Ь, а затем вектор т направим в ту сторону, чтобы относительно и обход контура совершался "против часовой стрелки". Т е о р е м а 1 (формула Стокса). Циркуляция вектора ф по кусочно-гладкой граняце Ь кусочно-гладкой поверхности Я равна потоку гоФф через эту поверхность, т.е. Т е о р е м а 2 (формула Гаусса — Остроградского). Поток вектора ф через кусочно-гладкую границу Я выпуклой трехмерной области У равен тройному интегралу от дивергенции вектора ф по множеству У, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
