Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 98
Текст из файла (страница 98)
диффернциальную форму дР(й), записанную в каноническом виде, можно рассматривать и как обычный дифференциал функции Р(х). Приведем теперь определение внешнего дифференциала. Определение. Дифференциалом (точнее, внетиним дифференциалом) дифференциальной х-формы ы называется я+1-форма отт — ды вида Жи = ~~~ ~~~ дР,, (х) 11 т(х~, Д . тт т(х 1<тпт«" тпг<п Примеры. 1.
Пусть /с = 1. Тогда дыгг ~ ~дР (й)ддх = ~~1 ~ —,дх,Гтдх дР дх, 1<тп<п 1 <тп<п 1бтб 1<т<тп<п 2. Пусть /с = и-1 = 2, а = (Р, О, В), ы = РдуМг+Ядг1111х+Кт(х1тду Тогда дР д1,1 дВ Жи = — дх тт ду тт дг + — ду д дг тт т(х + —, т(г 11 Йх тт т(у = дх ду дг дР д9 дВ'т — + —, + — ) дх Лт(уттдг = (д(ча) ЫхЛ ауЛдг. дх ду дг) л е м м а 1. пусть заданы о11 — дифференциальная хт-форма, — дифференциааьная х,-форма.
Тогда имеет место равенство т((ы) = ы(ытл лы,) = '~ ( — 1)"'+ "+" 11тт дф, л пп1 Д о к а в а юн е л ь с !и в о. Очевидно, можно огравичвтьсн рассмотрением базисных дифференциальных форм вида и! = Р!(х) Йх„1!1 Л ° ° ° Л Нх, ро1 = Р! (х)ы! о,..., м» = Р»(х) Ихт1!] Л. Л Ихт1ь,) = Рг(х)ьв. о, где а, т — некоторые подстановки п чисел.
По определению имеем Яы) = 4Р!(2)... Р„(й)) Л ы!,о Л" Л со„,о— » (Р!(х)...аР,(х)...Р„(х)) Л!о! о Л . Ло! о = °вЂ” = ~( — 1)"'+" + 'ы! Л . Л Йи, Л... о!,. ю»ц Лемма 1 доказана. Л е м м а 2. Справедливо равенство аош = О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, имеем о(то! = И(ойо) = »» ахи Л ах; Лает, Л ах»», !<т1(..<»», <» э»!»»! / доР»ц (й) дзР,„,„(й) !! ! х дх,дх, дх„дх, !<т»~< -(т»<» !<ю<г<» хйх, л йх„лйх», л л !1х „= О.
Здесь мы воспользовались теоремой Шварца о равенстве вторых смешанных производных прн условии их непрерывности. Лемма 2 доказана. Т е о р е и а. Пусть ф: !и» -! Й» — дважды непрерывно двфференцируемое отображение я и — гладкая дифференциальная форма. Тогда справедливо равенство ф" (Им) = И(у ш). хТ о к а а а т е л ь с т в о, Очевидно, достаточно доказать утверждение теоремы только дли дифференциальной формы $4 = Р(х) Их,д, Л .. Л Их,„,. Из определения дифференциала формы ы и леммы 1 имеем 4р™~) = й(Р(р(()) й1а„, (() Л" Л фр„,(()) = = й(Р(Р())) Л фр,(() Л...
Л а~„„(())+ +~'(1а(1) Л й(г1ртъ (1) Л ' ' ' Л Мт> (1) ) = А + В. Вновь воспользуемся леммой 1, а затем — леммой 2. Получим В=~'йр,(() Л" Л Рд .(1)Л."Лар„,(() =О. Далее по определению индуцнрованной формы имеем А = р'(йр(х) Л йх,а, Л . ° . Л Ихеа ) = Ф'(Жи). Теорема доказана.
т 7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОБЩЕЙ ФОРМУЛЫ СТОКСА Имеет место следующая теорема. Т е о р е м а. (общая формула Стокса). Пусть  — кусочвогладкая ориевтировавиая поверхяость размерности и и ориентация ее границы дВ согласована с ориентацией самой поверхности В, ы гладкая к — 1-форма. Тогда справедливо равенство 1.=/ Д о к а а а ю е л ь с щ е о. Пусть поверхность В задается отображением ф: А ~ В. Тогда из следующей цепочки равенств получаем утверждение теоремы: ы = ф*ы — й(ф'м) = ф'(Жа) = Жа.
ав ал В дохазательстве нуждается только второе равенство так как первое и четвертое равепства следуют из определения поверхностного интеграла второго рода, а третье — из справедливости соотиошеиия ф'(Й~) = 1С(ф'м). Согласио определевию я — 1-формы в Й-меряем простраистве и операции диффереяцировапия имеем 1бт~<" <т~ ~<а где 1 < з < Й, в ~ п1„..., п1ь Из етого представлевия в силу Ливейиости иптеграла следует, что достаточио доказать равеиство с = (с1,..., сь 1): Ф(С,Сь)дС1Л .Дйь 1=/ ' Йьлй1Д" Лйь Г дФ(С,Сь) Обозиачим через Р проекцию множества А иа гиперплоскость Сь = О.
В силу выпуклоств множества А его можно представить в виде А = ((С, Сь): С 6 Р, Г1 (С) < Сь < Гз(С)), где Г1(С1,...,Сь 1),Щ1,...,Сь 1) — иекоторые фуикции, определеипые иа миожестве Р. Границу миожества Р можно разбить ва три миожества: П1 ж ((С, Сь): С Е Р, Сь = Г1 (С1,..., Сь 1Ц, Пз = ((С,Сь): С Е Р, Сь — Гз(С1, .,Сь — 1)), Пз = ((С, Сь): С Е дР, Г1 (С < Сь < Гт(С)). Ограпвчимся здесь случаем, когда поверхность Пз является кусочно-гладкой ориентированной поверхностью. Ояа также является цилиидрвческой, а поверхности П1 и Пз можпо представлять себе как "иижиюю" и "верхиюю" крышки втой цилипдрической поверхности. Следует отметить, что множество Пз может быть и пустым, что, иапример, имеет место в случае„когда А есть й-мерный шар вида Сз1+ ° + С~~ < 1.
Тогда, очевидно, поверхности П1 в Пз являются полусферами вида 111+ ° + С~1 = 1 с условием Сь < О и Сь > О соответствеиио. Покажем, что интеграл по поверхности Пз равен нулю. Действительно, поскольку Пз есть 1 — 1-мерная поверхность в пространстве й измерений, то ее можно параметризовать П = П (и),...,1» 1 = 1» 1(и), и = (иы ,и»-д) Е хз, Е(хз) = Пз Заметим, что Р(и) является диффеоморфизмом. Предположим, что якобиан отображения 1: хз -+ Пз в точке и = иио не равен нулю, т.е.
Р(П ". 1»-») Р(иы..., и»») Тогда в силу непрерывности функции 1(и) в некоторой окрестности точки и = иио она отлична от нуля. Далее, согласно теореме об обратном отображении точка Г(иио) будет внутренней точкой множества Р (проекции множества А на гиперплоскость 1» = О). Но точка 1(йс)— граничная точка множества Р, что невозможно. Следовательно, в любой точке 6 е хз имеем равенство Р(1„..., 1»,) Р(иы..., и» 1) Используя это, после замены переменных 5 = 1(и) в поверхностном интеграле получим Ф(1,1») й, Л . Лй» 1 — — ~ Ф(1(и),1»),Ци) Ии» Л ЛИи» 1 = О. и.
Рассмотрим теперь интегралы по поверхностям П1 и Пг. В силу определения ориентации поверхности (см. пример 512) имеем Ф(Е,1») М» Л..ЛЙ» 1 — — ( — 1) ' / Ф(1,1»,Уг(Й)) с(П 41»-м и. Ф(1,1») а, Л -Л 11», = (-1)" ~Ф(1,1»,У»(Г)) а,...а», и, Следовательно, справедлива цепочка равенств Ф(1, 1~) (П л "л 11», = ~+ / = и, и, 658 аь Л М~ Л .. Л а» г дФ(1) ,/ д4 Теорема доказана. Замечание. Ограничение на множество Пз, наложенное при доказательстве последней теоремы, на самом деле не являются существенными.
Дело в том, что любое выпуклое тело Р в пространстве 2" можно рассматривать как бесконечно-гладкий образ другого выпуклого тела Рс С %", граница дРо которогс не содержит отрезков прямой, а для такого тела множество Пз пусто. Легко построить какое-либо бесконечно-гладкое в обе стороны отображение 1о такое, что 1г(Ро) = Р Ъ Ф(Р) = Рс, причем ~р(Ф(х)) = х для всех 2 Е 2": В качестве соответствующего примера рассмотрим отображение Ф(х), задаваемое равенством Ф(х) = хо + (х — хо) (1 + е ~~~ ~'~ ) . Здесь хха — некоторая фиксированная внутренняя точка тела Р С 2", а о > 0 — вещественная постоянная. Тогда тело Рд получается как образ Р при отображении 4. Ясно, что.обратное отображение у всегда существует, причем как у, так и Ф являются бесконечно-гладкими.
С другой стороны, с помощью стандартных вычислений можно показать, что при достаточно малом (в зависимости от отношения минимального и максимального расстояний от точки хс до границы дР тела Р) значении параметра о тело Ро. будет выпуклым и его граница дРс не будет содержать отрезков прямой. Учитывая достаточную громоздкость этих выкладок и большой произвол в выборе отображения Ф, проводить их здесь мы не будем, а ограничимся только сделанным замечанием.
Лекции 18 ДОПОЛНЕНИЕ. 1 1. ПОНЯТИЕ РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЛЕММА ОБ ОЦЕНКЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ Понятие равномерного распределения значений числовых последовательностей на отрезке ввел в математику Г.Вейль (Н,%еу!.(76ег д)е С!е1сАиег!е)!ипд поп ХаЫеп глод. Е)пк Ма1Л. Апп.,1916, Вс!.77, 5.313— 352), Он заложил основы теории равномерного распределения, которая получила дальнейшее развитие в теории чисел, теории функций, классической механике.
Здесь мы докажем критерий равномерного распределения значений числовой последовательности на отрезке, принадлежащий Г.Вейлю. Пусть х),..., х„,... — последовательность вещественных чисел. Построим последовательность дробных частей (х)),...,(х„),.... Для простоты изложения в дальнейшем будем считать, что все члены последовательности (х„) находятся на полуинтервале (0,1). Пусть Е()У) = Р'(А),о,д) обозначает количество членов последовательности (х„), таких, что и < )У и а < (х„) < д, причем 0 < о < !у < 1. Положим 7л(!< ) = вцр ~Ю Е(А', а, !т) — (!! — о)(. О<а<ай) Величина Е)(А)) называется ошклонением первых А) членов последо- вательности (х„), Определение. Последовательность (х„) называется равномерно распределенной по модулю, равному единице (р.р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
