Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу (1108924), страница 99
Текст из файла (страница 99)
п)ос( 1 или просто р.р.), если !цп П()')') = О. к)-э сю Для дальнейшего нам будет необходима следующая лемма об оценке сверху абсолютной величины коэффициентов Фурье одной функции. Лемма, Пусть задано разложение функции 1 Г)*) = Е (*) = !.~ )) ) в ряд Фурье ) ( ) ~~ 2",г1гпт п1 = — сю ево Тогда при Ф > 1 я п2 > О справедлива оценка 4+1пл1 ~7окозательстео.
Очевидно, для коэффициентов Фурье имеет место равенство 112 112 62МНМ = / ю 2)*'""'а= ( ', е= к, Г.~- гуг -11'2 где 6 =- 1/Х. Рассмотрим в полуполосе П = (2[ 32 > О, Щ < ~) функцяю комплексного переменного 62е1ем /(2) = Знаменатель ее обращается в нуль в точке 1п(6+;/1'+ 62) 2 = 1'а = 1 л Функция /(2) будет однозначной функцией в области П с разрезом по лучу (16, +1оо). Рассмотрим произвольное число Ь > а > О и построим контур Ь, состоящий иэ следующих промежутков вида х1 — — [ — 1/2,1/2], /2 = [1/2, 1/2+ 1Ь], Ьэ = [1/2+ 1Ь,1Ь], Ьч —— [1Ь,1а], Ьв = [1а,1Ь], Ьв = [1Ь,— 1/2+ 1Ь], Ьт =, [ — 1/2+16, — 1/2], т.е, построим замкнутый контур 2 1, = 0 Е„который обходится в положительном направлении (" против часовой стрелки"). В силу основной теоремы Коши (пример к 28) имеем У(2) Нв = О.
/ Следовательно, справедливо равенство с = / /(2) 112 = - / /(2) Ы2 — — / /(2) 32. с, В силу периодичности подынтегральной функции (/(2+ 1) = У(2)) имеем ~ /(2) йв = — / /(2) П2. 661 У1х) сЬ = У1х) сЬ. /- = ьс юс — + 'Ь Е ю . Тогда при 6-+ +со имеет место равномерПусть = = х+г, е ный предел Етююс* Дх) = =40. ст сюс- ° Здесь мы воспользовались теоремой Вейерштрасса, поскольку для некоторой постоянной с > 0 справедливо неравенство )~(г)) = (Дх+сЬ)( < се ~1~~+~1.
Следовательно, по теореме о переходе к пределу под знаком собствен- ного интеграла от функции, зависясней от параметра, получим 1пп ~(г) сЬ = 1пп Дт) сЬ = О. ю-с+сю / юз юв Таким образом, имеем Кс = У(г) сЬ= 2 !пп (~(х) сЬ = 2 Дх) сЬ. ю-с+сю у ь, ьс са Заметим что а)п (тсй) = 1а)с (х1). Поэтому интеграл К, преобразуется к виду +с с +сю / ', а. - тссюсС Е-ессюсС К, =2с с1г= 2 / с)с.
а а Очевидно, имеем Ла = 1П1Е + с„сс11 + С2) Еюа Е+,/~ Ч. Е2 е ' = — е+ Ь/1+ет, аЬха = е, Выполним в последнем выражении для интеграла К, замену переменных вида е = 1 — а. Получим +сю К,=2/ о е -тю»с1ю+ю) Далее, поскольку по разным берегам разреза значение квадратного корня от аналитичес о еской функции отличаются только знаком, а направления обхода по отрезкам ь4 и Ьа — противоположны, то Используя формулы, и+я н — о и+~~ и — о яЬи+ зЬю = 2яЬ вЂ” — сЬ вЂ”, зЬи — яЬв = 2сЬ вЂ” — з 2 2 2 найдем яЬ л'(я+ а) — зЬ гга = зЬл(в+ 2а) я!гя:е.
Следовательно, интеграл К, примет вид Еаа -2аааа К,=2е Г1х = 2е '"" Са. ,/ вЬ я(х -ь 2а) зЬ ях о Так как при х > О функция зЬ х — монотонная я яЬ ях > ях, то справедливы неравенства 2а .~- аа 1' ! ггх яЬ я(х + 2а) о 2а Далее, имеем (зЬ2яа =- 2е~/1+ е2): 2а 1 ~ ~~ 8~ 2 ~/язЬ2яга / Ггх язЬ2яа гг о После замены переменной 1= е" получим 12 а— е — / еа" В результате замены переменной и = 1/Г находим +ею Г(1 1 Г(и 12 — 1 / 1-н2' е-21га ! сЬ гггг ! ф + е2 = — !и = — 1п — = — 1и —. 2 1 — е 2а' 2 яЬля 2 е Таким образом.
справедливо неравенство 2 1 ъ'Т+ ев С, < — + — 1и ГГ Я Е ззз Наконец, получаем оценку для коэффициента Фурье е / 1'1, 4+1пФ < — 14+ 1п- ) е е ™ !4 1 Лемма полностью доказана. Заметим, что в дальнейшем мы могли бы воспользоваться более слабыми оценками коэффициентов Фурье функции !)!н(х), но приведенная оценка имеет самостоятельный интерес. "1 2. КРИТЕРИЙ Г. ВЕЙЛЯ Докажем теперь следующую теорему, которая называется критерием Г.Вейли равномерного распределения значений последовательности по модулю, равному единице. Теорема.
Эквивалентны следующяе утверждения: 1) последовательность (х„) равномерно распределеяа по модулю единица; 2) при любых фиксированных а и )у, О < а < !у < 1, имеет место соотношение Р(!"з', а, 13) !ч-+ со 1!! 3) для любой интегрируемой по Риману функции )(х), определенной 'иа отрезке [О, 1], справедливо соотношение 4) для любой непрерывной функции !"(х) имеем и ! !пп Ф '~ ~у(х„) = ~Дх) дх; «=! о 5) при любом целом числе гн ф О имеем М 1пп 1!!' !7 ез" "=О.
!ч-~ аа «=! 664 ,Уоказаюельсглео. Очевидно, из определения имеем, что из первого утверждения теоремы следует второе утверждение. Кроме того, из третьего утверждения следует четвертое утверждение, а из него следует утверждение 5). Остается только доказать, что справедливы импликации; 2) =ь 3) и 5) =з 1). Докажем, что из утверждения 2) следует утверждение 3). Определим периодическую функцию д(х) с периодом 1 равенством 1, если а < х < )3, д(х) = Π— в противном случае.
Тогда утверждение 2) можно представить в виде Ф 1 1пп М ~~~ д(х„) = ~ д(х) Нх. «ю1 о з(Т) < ~ ~(х) дх < Я(Т), ~(Т) — з(Т) < —, о где з(Т) и Б(Т) — соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу, с г з(Т) = ~ ~тсЬхо ЯТ) = ~~' Мс~ьхо оы с=~ гл, = 1пХ у(х) «ел~ М, = епр у(х). хааа Суммы Дарбу з(Т) и З(Т) можно представить также в виде 1 1 з(Т) = ~ И(х) Нх, Я(Т) = ~ Н(х) Их, о о где Ь(х) = тс, Н(х) = Мм если х Е Ьс = [х~-пхс),1 = 1,..., ю без Н Зава в:ахаем.аон ма ил Заметим, что если последнее равенство выполняется для несколькик функциий д~(х),...,дь(х), то оно выполняется для любой ик линейной комбинации с~д~(х) +.
+ сьдь(х) с вещественными коэффициентами сы,.,,сю Следовательно, зто равенство имеет место для любой кусочно-постоянной функции. Возьмем теперь любую интегрируемую функцию у(х). Тогда для всякого х > 0 существует такое разбиение Т: О = хе « . х, = 1 отрезка [0,1], что выполняются неравенства Так как Ь(х) и Н(х) — кусочно-постоянные функции, то существует число Фс такое, что для всех Ф > Фо выполнясотся неравенства Следовательно, имеем з(Т) — — < М ' ~~! Ь(х«) < Ф '') Н(х«) < $(Т) + —, 3 3' «=! «=! Но поскольку для всех точек х Е [0,1) выполняется неравенство Ь(х) < ~(х) < Н(х), будем иметь Н-' ~ Ь( «) < Н-' ~ У( «) < Н-' ~' Н( «). «=! «=! «=! Поэтому из предыдущего неравенства получим $(Т) — — < !! ~~! у(х ) < Н(Т) + —.
3 3' Следовательно, имеем и г 2е )Ь! ~~! Дх„) — / у(х) пх) < Б(Т) — з(Т) + — < е, 3 «гм о А это и означает, что выполняется утверждение 3). Докажем теперь, что из 5) следует 1). Надо доказать, что 1пп ВЯ) = О. ч-»са Для этого преобразуем функцисо »<!у 666 где 1, если а <х< ~У, у( ) = Π— в противном случае. Заметим, что функцию у(х) можно представить в виде у(х) = р(!3 — х) — р(а — х) + (11 — а), где р(х) = 1/2 — (х).
Рассмотрим далее периодическую функцию уе(х), с периодом 1, 1, если а<х<Д, уе(х) = 1/2, если х = а,х = !У, О, если 0<я<а,,3<я<1. Она совпадает с функцией у(х) во всех точках, кроме точек х = а и х, = !У, в которых она принимает значение, равное 1/2. Эту функцию можно представить в виде уо(х) = ро(/1 — х) — ро(а †,х) + Д вЂ” а, где 1/2 — (х), если х — нецелое число, Ре1х) = О, если х — целое число. Ранее (см. лекцию 23, ч. П1) для любого !!! > 1 мы получили неравенство !ч ~ро(х) — ~~ ) < !р,ч(х), «=1 где !р!ч(х) = . Заметим, что последнее неравенство остается справедливым, если значение функции ре в целых точках, равное нулю, заменить на значение 1/2 функции р(х) = 1/2 — (х) в тех же точках, Разложим функцию !Рн(х) в ряд Фурье.
По лемме его коэффициенты Фурье с оцениваются следующим образом )с,„( < (л!'!!) (4+ 1пЛ)с Таким образом в! у(х) = р — а+ ~ — (е!и 2хп(11 — х) — е1п2!гп(а — х)) -1- я~, хп а=! где [Вн[< и ()1 — х)+г (а — ). Положим М = [Ж1п Х) + !. Тогда функцию тчч(х) можно представить в виде /!п М'~ Фу(х) = ~~~ ' с е2™+0 [ — ) . а<! !<и Теперь преобразуем функцию г(1~;а,Д), исходя из соотношений для функции д(х). Получим [!! 'г(Д;а,)9) — (9 — а)~ = Ц ' ~~~ д(х„) — (Д вЂ” а)[< < Я ~ ~(/с,„/+ )([Т',„(!3)[+ [Т (а)[) + 1<!п~!<м где А > Π— некоторая постоянная, Заметим, что для любого вещественного числа Д справедливо равен- ство [т„(Р) ~ = [т„(О)[ = Т .
Возьмем любое число г > О. Выберем наименьшее число а' из условия А!пФ е < Ж 2' т.е, возьмем Ж = — 1п — + 1. Так как !пп 1~ 'Т,„= О, то существует число (~е такое, что для е всех Я > Яе и для всех т, 1 < гп < М = [Ж 1ок Ф] + 1 выполняется неравенство М'Т[< 4(1+1и М)1пУ Следовательно, для всякого е > О мы нашли число Де такое, что для всех 9 > Яе справедливо неравенство Р(Я = апр ф 'Р((1;а,)1) — (д — а)[ < е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
