И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко, Е.В. Хорошилова - Вещественные числа и последовательности (1108554), страница 9
Текст из файла (страница 9)
ООпределениеn->+oon-+ooN.это означает в точности, что хсходящиеся пос.л,едовате.л,ъности и существует натура.лъный но.мерЕем, что для любого> 1, по n--++oolim (1+1.) = 1.n1.Доказательство. ПустьVn{[а1, Ь1], [а 2 , Ь2 ],..• ,3.2Бесконе'Ч.nая nоследовате.лъностъ сегментов[an, Ьn], ... } называете.я системой стягивающихся сегментов, если выпо.лнепы два ус.л,ови.я:411) а,.аnн,::;;;Ьn~Ьn+lnривсехЕnN (то есть[а1,Ь1] :J [а2,Ь2] :J · · · :J [an,Ьn] :J ... );2} ]im (bn - an) =n_.+ooсправедливо для некоторогосистемаДля этого докажем сначала некоторые свойства биномиальных коэффициентов:с о --с Е IR такая, -что с Е [an, Ьn] Vn Е N (то есть система ст.ягивающихся сегментов имеет единственную общую mо'Ч.~).1)Докажем существование.
Так как последонеубьшающая и ограниченная сверху {наприN), то она имеет предел. Последовательностьnck+ ck+1с Е[an, Ьn] Vn=ЕО, тоJim ann-++oo=limn-++ooЬn=с. Очевидно, чтоN (в силу монотонности обеих последовательностей).2)Проверим единственность. Пусть числа с, d Ес Е [an,Ьn],неравенствоn. Значит,((nтаковы, чтоd.аналогичными рассуждениями можно получить, чтоНо совершенноd~ с. Значит,3.1(Бином Ньютона).
Пусть а, Ь- произвольныевещественные -числа. Тогда д.л.я любого натурального п справедливо( а+ Ь)п= "Ckaп-kьk= соап+ с1ап-1ь+ ... + спьп~ nnnn'k=O= (а+ b)n(a + Ь)k+l=+с;:-1п.k <(а+ ь)n+l=(С~ап + С~ап- 1 ь + · · · + с;:ьп)(а + Ь)== cn0an+1+ СОаnь+ Сn апь + сn1 аn- 1 ь2 + сn2 аn- 1 ь2 + ... +nаьп + С::аЬ" + С::Ь"+~ = ~an+i +(С~+ С~)апь+1+(С~+ С~)аn- 1 ь2 + · · · + (с;:- 1 + С::)аЬп + с;:ьп+~ ==соп+1ап+1+ cin+l аnь + ... + c:i+lьn+in+ln+l- " c k an+1-kbk- ~ n+l(при переходе к последней строке мы воспользовались доказаннымис~(n-~)!k!1 · 2 · 3 · · · · · n npu= 1 по определ.еншо.=вершен, лемма полностью доказана.
ОРассмотрим последовательность {xn}биномuалъные коэффuцuенты,N (-читается: n-фа:кториа.л.);всех п ЕДоказательство. Проведем доказательство методом математической индукции.1) (база индукции) . При n= 1: (а+ Ь) = сра11ь0+ С}а0Ь 1 =а+ Ьпоследовательности:42п!(п- 1)!1!Xnи докажем,п!1·-+пвозрастает. Преобразуем общий член{xn}= (1 + ~)n =(п1- 2)!2!= 1 + ~ + n(n - 1) .
2_ + ...nn22!= 2+~ ( 1 - ~) + ... + ~!·-+···+2пXn+l=(пn!1·-=- n)!n! пn+ n(n - 1) ... (п - (n - 1)) . _!_ =пn(1-~)(1_Аналогичноверно.(предположение ИНдУКЦlш). Предположим, что утверждение= {(1 + ~)n}что она является монотонной и ограниченной.=1+где2)_+ l))!(k + l)! - Сп+1 Vk,n Е N,Проверим сначала, чтоn-(kвыше свойствами биномиальных коэффициентов).
Шаt· индукции заЧисло е.равенствоО!+ l) _k=OЛеммап!n!- n!(k + 1 + n - k) (n - k - l)!(k + 1)! - (n - k)!(k + 1)! -ОПримеры монотонных последовательностей.1.+= 1 Vn Е N;Теперь мы можем записать цепочку равенств:d Е [an,Ьn] Vn Е N. Предположим, что с < d. Тогдаbn - an ~ d - с > О выполнено для всех натуральныхlim (Ьп - ап) ~ d - с > О. Это противоречит условию,n-++ooследовательно, наше предположение неверно и с ~c=d.Rn!(n - k)!k!=(n+ 1)!{Ьп} является невозрастающей и ограничена снизу (например, чисlim (bn - an)1n.-,---...,--= 1, сп = n!(n - О)!О!n(п - n)!n!nnлом а 1 ), следовательно, она также сходится. Поскольку по условиюn-++ooC~an-kьk.3) (шаг ин,цукции).
Проверим справедливость формулы при n+ 1.О.Следствие из теоремы 3.1 Пусть {[an, Ьп]}~~ -Доказательство.nL(а+ ь)n =N:k=Oст.ягивающихс.я сегментов. Тогда существует единственная то-чкавательность {an} мер, an ::;;; Ь 1 Vn ЕЕn~) ..... ( 1 _n!n : 1) .2+ 2.2! (1 - -n +1-)1 + 2. (1 - - +1-)1 (} - -n +2-)+ ... +1З!п43+(n~l)! (l- n:l) ··· (i- n:l) ·Заметим, что последнее слагаемое в выражении дляnXn+l положиКаждое же из n первых слагаемых в выражении для Xn+i больше соответствующего слагаемого в выражении для Xn, поскольку< 1-nXn_k_ при всех натуральных значенияхn+lk<n.
Значит,< Xn+l·lim ann-++сю12nТак как 2~тельно, поэтому при его отбрасывании все выражение уменьшается.1 _ 5.1 k(k - 1)~ k=2L k!->= е.= 2nО nри nnLk=2--+1(k - 2)!1 (~ 2n1+1 )3L 2k-з ~ 2n ·nk=З+оо, то (an - (1 + ~)n)О, то есть->Формула (3.1} nозво.11J1ет вычисллть 'Число е с любой стеnехыоточности. Действительно, д.IUI любого натурального n справедливаоценкаС дРуrой стороны, так как 1- ~ < 1, то1Xn(здесьk!111мы~ 2k- 1воспользовались11< 2 + 2! + 3! + ...
+ n! ~ 2 + 2 + 22 + ... +легко-32n-l -проверяемым- _1_2n-l<3неравенством1< (n +Vk ~ 2).Таким образом, мы показали, что последовательность {xn} монотонно возрастает и ограничена сверху числомет предел. Предел этой последовательностило е -момЗначит, она иметак называемое чисодна из фундаментальных математических констант. Поопределению ечто (1-3.+ ~)nделе=Ечислоlimn-++oo(1 + ~)".Из наших рассуждений видuо,(2,3] Vn Е N, следовательно, 2 ~ е ~ 3.
На саеявляетсяиррациональным;егоможновычислить с любой точностью. С точностью до 15-го знака после запятойе=2,718281828459045 ....Пример 3.1 ДокажемОбозначим а,.=Покажем что.~1l1m Lkl(3.1)lim (an - (1 + l )") =О. Из неравенства Вернулn2( 1) (1- ~k - 1)~1_1+2+ ... (k-1)=1-k(k-1).rn2n. . .
1 - -nе1)22 + · · ·2(3.2)= (n + 1) != ~,где р Е Z, q Е N (причем q ~ 2, так как из формул (3.1), (3.2}< е < 3, т.е. •~исло е не яв.11J1ется целым}.следует, очевидно, что 2Тогда q!e =q! ( 2 +t + fi + · · · + ~) + q!rq, значит, q!rq Е Z, но из(3.2) вытекает, что О< q!rq < (ч+zi)! = q~I ~ ~ < 1. Полученноеnротиворе•~ие nоказь~вает, что наше nредполоакение иеверпо, тоесть -число е хе .нвляетс.н ра-цштальным.2.
Последовательности, заданные рекуррентно.последовательность= ~ (Xn + :,. ) при всехXn+JnЕ{Xn},Nзаданнуюфорыулой(способ задания последовапредыдущий, называется рекуррентным, от латинского recurrens- возвращающийся). Здесь а - любое положительное число, х 1 >Овыбирается произвольно. Покажем, что последовательность {xn} невозрастает и ограничена снизу. Действительно, х 1 > О, следовательно, х2 = ~ (х1 + :, ) > О.
Аналогично Xn > О Vn Е N. Более то-го,Xnх"_,7аОтсюда+= :f2.2a(~ + ~) ~ .;а при n ~ 2, так как выражениеуаXn-1~2 как сумма двух положительных взаимнох"_, ~обратныхвеличин.Проверим~"'"2(1+xi){l+x 2) ... (l+xn)12+тельности, при котором каждый следующий член вычисляется черезf: "'k· Мы уже знаем, что (1 + ~( < an Vn Е N.k=O'n-.+ooли следует, 'Что+С nомощыо последнего иеравепства легко показать, что •~ислоРассмотримn-+oo k=O •.(1е яв.11J1ется иррациональным.. В самом деле, пусть это пе так иеще одну формулу дл..я.
'Числа е:111е=1+-+-+···+-+···=1! 2!n!1) !~ 1+х 1 +х 2 +·.числа одного знака., большие-144·+xn, если х1, ... Xn -вещественные-1-2теперь,(1 + з-а)з:"~ -21 ·что_{xn}2 - 1, значит,невозрастает:Xn+l ~ Xn при всех на-туральных n ~ 2 (мы воспользовались доказанной выше оценкойXn ~ Va Vn ~ 2).45Мы доказали, что последовательность {хп} монотонна и ограничена, следовательно, существует х=limn-++ооXn. Для того , чтобы найтих, перейдем к преде;rу в обеих частях рекуррентного соотношения:х = n-++oolim Xn+l = n-++oolim t (xn + ..!!...) = ~ (х +°').Отсюда получаемуравнение относительно х: 2х 2 = х 2 + а. Поскольку х ~ .jO, > О , тож.,..жх =.;а.§4.
Предельные точки последовательностей.n-++ooОпределениетельность,< kzki4.1. Пусть {xn} - произвольная последоваk 1 , k2, .. . , kп ,. . . - натуральнwе 'Ч.исла, такие, •~то<<xk,, xk, , . .. , Xkn, . . .kпТогда последовательность<називается nодnоследовате.л:ьностъю последовательности {X n} и обозна'Ч.аетс.я { Xkn}.Утверждение 4.1. Еслиlimn-++оовательность последовательностиXn={xn}а, то любая подnоследотакже сходится к а.Доказательство .
Выберем произвольное число сдется натуральноеПусть {xkn} -N = N(c) такое, что lxn -n-+ + ooXkn =а .<с при всех п ~N:lxkn -al <N.с, то естьlimтому эке 'Ч.ислу а, и, в 'Ч.астности,Доказательство.Таккакn-++ooXn= а.{xn} является по определениюсобственной подпоследовательностью, то по условию существуетlimнатуральное N= N(c)такое, что Xk~ Е В1:(х) при всех n ~ N. Ноэто и означает, что в любой окрестности точки х будет содержатьсябесконечно много элементов последовательности {Хп}. ОЗамечание 4.1.
Точках называете.я nределъной точкой бесконечного мно::нсества Х, если в любой ее окрест~юсти содерПредельние то"Ч.ки nоследователыюсти и мноэ1Сества ее зна'!ений могут, вообще говоря, не совпадать. Например, последовательность {1, - 1, 1, -1, . . . } имеет две предельные то'IК'U: 1 и -1, в товремя. как мноэкество.м ее зна'!е~~ий является коне'Ч.ное .мно:J1Сество{-1, 1}, которое не имеет предельнuх то•1ек.0Утверждение 4.2. Если все подпоследовательности некотороuпоследовательности {хп} сходятся, то они сходятся к одному иn-+ + ооnПроверим теперь, что из определения 4.3 следует 4.2. Пустьlim= х .
Тогда для любого вещественного с > О существуетn-+oo Xkn.Э1сится бесконечно много :мементов .множества Х.> О. Тогда найподпоследовательность {xn}- Так как kN ~ N, томожем утверждать, что при всех п ~JimalДокзательство. Покажем; что из определения 4.2 следует 4.3.Так как в любой окрестности точки х лежит бесконечно много элементов последовательности {xn}, то найдется патуральный номер k1такой , что xk, Е (х - 11 х + 1) . Далее, найдется такое натуральноечисло ~ > ki, что Xk 2 Е (х - 1/2, х + 1/2), и так далее. Итак, длялюбого п Е N найдется натуральный номер kп > Jc.._ 1 такой, чтоXkn Е (х - 1/п, х + 1/п). Получаем, что для любого вещественногос > О существует натуральное N = [1/с] + 1 такое, что при всехп ~ N выполнено: lxkn - xl < l/n ~ l/N <с , то есть lim Xk = х .Xn· Обозначим этот предел через а.
Тогда, согласно предыдущему утверждению, любая подпоследовательность последовательности{xn} также будет сходиться к а. ООпределение 4. 2. То'Ч.ка х Е IR называете.я nределъной точкой (частичным пределом) последовательности {xn}, если влюбой окрестности этоu то'Ч.ки содержится бесконе'Ч.но .много элементов последовательностиУпражнение 4.1. Проверить, что следующее утверждение .является :J?Свивалентнwм определением nределъно'й mo'IК'U множества: mо'Ч.ка х називается nределъной точкой бесконечногомно::нсесmва Х, если в любой ее окрестности содерЭ1ситпся хотяби один элемент мноЭ/сества Х, отличний от х .Упражнение 4.2. Привести пример nоследовательн.ости, имеющей бесконе'Ч.но много предельних то'Ч.ек, и такой, 'Ч.то .множество ее зна"Ч.ениil. 11е имеет {коне"Ч.нuх) nредельнuх то•1е?С.Утверждение 4.4.
Пусть\imn-++ооXn= х . Тогда {хп} имеет ров-но одну предельную точку, равную х.Доказательство. Так как Jimn-++ооXn= х, то х -предельная точ{xn} ·IR называется nределъной точкой (частичным пределом) последовательности {xn}, если сука последовательности {xn} (определение 4.3) . Других предельныхточек у {Xn} tieт (утверждение 4.1). Оществует подпоследовательностьто'!ек rюследовательностиОпределение 4.3. Точка х Етакая, 'Ч.тоlimn-++ooУтверждениеXkn{xkn} последовательности { Xn}= х.4.3. Оnределених464.2 и4.З эквивалентны.Определение 4.4. Наибольшая (наименьшая) из предельных{xn} на.зь1вается ее верхним (ни::нсним) пределом и обозн.а•tаеrпся lim Хп ( lim хп) - Если .м1юn-++ооn- + ooжество nредельних то'lек последовательности {xn} н.е ограни'Ч.ено47сверху (с'Нuзу), то говорят, "'тоlim Xn = +оо ( 1im Xn = -оо).n-+oon-+ooТеорематоль11:0 тогда, 11:огда она огранu"'енаu lim Xn =Доказательство.Необходимость.Jim х" .n -++oon -++ooПусть последовательность4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
