И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко, Е.В. Хорошилова - Вещественные числа и последовательности (1108554), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если предсел, обратных к членам какой-нибудь фундамента.л.ьной пос.ледовательположить, что расширение вещественных чисел JR существует, то существует некоторый его элемент а, а r/. IR. Рассмотрим сечение вещественныхности из класса эквивалентности а.Определение4.16.Говорят, что веществен~~ое "/,исло а бол.ъше(меньше) вещественного чис.п,а Ь, ее.ли разность а-Ь есть nоло:>1сичисел AJB, определенное этим элементом. То есть А = {а Е !R/a < а}, В ={Ь Е IRjb > а}.
Согласно определению сечения, множество А ограничено сверху, а множество В ограничено снизу. Следовательно, существуютте.л.ьное (отричательное} число.Можно показать, что определения4.12 - 4.16корректны, и для опиsирА= т, inf В =М, причем в силу теоремы 3.1 о точных гранях, это весанных операций сложения, умножения и сравнения в модели Канторащественные числа.
Согласно свойствам вещественных чисел, числа m, мвыполняютсязаключены между сколь угодно близкими вещественными числами (из13свойств(*).МОДЕЛЬ ДЕДЕКИНДА. (Является исторически первой.)Определение4.17.Вещественным числом(no Дедекинду}называется всякое сечение мно:псества Q ра'Циональных •шсел, то есть такоеразбиение А/В мnоэtеестваQна nодмноэtеества А (ни:нс~tее подмножество) и В (верхнее подмножество}, 'Что Алюбых а Е А, Ь Е В верно, "/,то а<nВ=0,АUВ =Q,и дJt.ЯЬ.
Будем считать при этом, <tтоу верхнего подмножества В нет наименьшего элемента. (Если такоенаименьшее рачионал.ьное чис.ло обнаружите.я в верхнем подмножествеВ 1 то nеренесем его в ни:нснее подмножество А, и оно станет там наимножеств А и В), поэтому они совпадают: т = М, и число т является наибольшим в нижнем классе сечения AjB. Тогда т < а, а значит,а - т > О. В этом случае существует обратное число - 1 - Е !R. Пусть1>1~>о:-п~О - некоторое вещественное число (его существование обес-печивается аксиомом Архимеда дляа>т1+ -;у.4.18.мого сечения число т не является наибольшим.
Получено противоречие,которое и доказывает полноту вещественных чисел.В модели Деде~,,"Uнда нулевым сечением (тоесть нулевым вещественным числ.ом) является сечение на положите.л.ьные и неnоложите.л.ьные <tис.ла, где наибольшим в ни:нснем подмножестве явJt.Яется <~исл.о нуль. По.ло:нсителъным вещественнымчисл.ом называется се"/,ение, в нижнем подмножестве которого естьположительное ра'Ционал.ьное 'Числ.о. Отрицательным числом называете.я се<tение, где в верхнем подмножестве есть отричательное 'Числ.о.Определение4.19.Будем говорить, что се"/,ение А/В бол.ъше се"/,ения А'/В', есл.и А' С А (ил.и, .~квива.л.ентно, В С В').
Сечения А/В иА /В равны, если А= А' и В= В'.Определение 4.20. Сум.мой (произведением) се"/,ений А/В и A'IB'называется се<tение (А+ A')l(B +В') {соответственно (А· A')l(B ·В')}, где А+ А':= {а+ a'ja Е А,а' Е А'},А ·А':= {а· a'ja Е А,а' Е А'},анал.оги<~но дJt.Я В, В'.11Определение4.21. Противоnо.ло:нсным к А/В сечением назы( - B)I( -А)' где -А := {-а/а Е А}' ана.л.ог't.1"1,НО ал.я -В.Определение 4.22. Обратным сечением дJt.Я nоло::11сительного сечения AjB называется се•~ение A"IB", где А":) в- 1 , В":) (А+) - 1 , А+ :=вается Се'Чение32то есть1''большим.)Определениеi).
Но тогда а - т > lЭто означает, что в нижнем подмножестве А рассматривае-33ОГлава§1.2.Числовые последовательности.Определение 1.5. Пос.ледовате.лъnостъ {xn} nазывается бесконе-ч.но большой, если д.л..я любого положите.лъnого вещественnого 'Числа А nаuдется такоu nатура.лъnъ~u номер N (зависящиuПонятие последовательности. Ограниченные инеограниченные, бесконечно малыеот А), 'Что для любого nатуралъnого n, п ;;:: N, будет въ~полне1-1.о:lxnl >А.и бесконечно большие последовательности.Определениеставитъв1.1.Если любому патуралъному 'Ч,V.слу псоответствиевеществеnное'ЧислоXn,пото поду'Чеnnое(с'Ч.етное) мпожество 'Чисел {x 1,x 2 , .
.. ,xn, ··· } будет пазъtватъся числовой последовательностью и обозна'Чаmъся {xn}~~ UJ1и{xn} ·В дальнейшем будем опускать термин "числовая", везде понимаяпод последовательностью (если не оговорено иное) последовательность вещественных чисел.Определение1.2. Рассмотрим две последователъности {xn}и {Yn}· Последовате.лъност.ъ {xn + Yn} = {х1 + У1, ... ,xn + Yn, .. . }назъ~ваетсясуммой{xn}и{Yn}; последователъностъ{ Xn - Yn} = {х1 - У1, .. . , Xn - Yn, ... } - их разностью; пос.ледовате.лъпостъ {xn · Уп} = {х1 · Yii · .. ,xn · Yn, .. . } - произведением;последователъностъ {ь..}= {:!'У1.1. 1 • • • , ь,... } - -ч.астным (ес.лиYnYnYk=1О при всехk Е N}.1.3.ОпределениеГоворят,'Ч.rno последователъnостъ{xn}ограничена сверху (снизу), если существует такое вещественное 'Ч.UСЛО М (т), 'Ч.то д.л..я всех номеровЕnNвъ~полнено перавенство Xn ~ М (xn ~ т} . Числа Ми т назъ~ваются в этом слу'Ч.аеверхней и ни:."сней гранями последовательностиответственно.
Пос.ледователъnость{xn} со{xn} пазъ~вается ограниченной, если существует веществеиное 'Число А такое, 'Ч,то перавен-{xn}ограничена тогда и толькотогда, когда она ограничена и сверху, и снизу. Действительно, пустьсуществуют числа М, т такие, что т ~положим А=max{lml, IMI}·то можно взя·.rьmОпределениеXnНаоборот, если~ М \:/п Е/xnlN.Тогда~А при всех п ЕN,Последоваrпелъпостъ{xn}называетсянеограниченной, ее.ли для любого веществе}tного поло:псител,ъного'Числа А 1-1.айдется натурал,ънъtй номернеравенство lхн/= {О, 1, О, 2, О, 3, .. .
}- nеограни'Чеnная, no не бескоnе'Ч,UО болъшая .Определение 1.6. Последователъnостъ {xn} назъ~вается бесконечно малой, ее.ли д.л..я любого nоложителъпого вещественного'Числа е наuдется натуралънъ~й помер N = N(e), такой, -что длявсех nатуралъnых 'Ч,исел п;;::Nбудет въ~по.1теnо:/xn/< е.Теорема 1.1.
Пустъ {an}, {.Вn} - бескоnе-ч.по малые последователъnости. Тогда последователъ1-1.остъ {а . an-+ Ь . .Вn},где а, Ьпроизволъпъtе вещественнъtе -числа, также яв.л..яется бесконе-ч.nомалой .Доказательство. Выберем произвольное положительное числое. Так как последовательность {an} - бесконечно малая, то существует такое натуральное числоN1,зависящее от е, что приN, п ;;:: N1, выполнено: lanl < 2 ~ 1 (если а =J= О). Анало:щчно3N2 = N2(e) Е N такое, что l.Вnl < 2fьj (при Ь =}о О) Vn ~ N 2 .п ЕПоложим N = max{N1 , N2 }. Тогда для любого п Е N, п ~ N,будет выполнено : /а· а,.,+ Ь · .Вnl ~ /al · lan/ + IЬ/ · l.Вnl < е/2 +е/2 = е .Это означает, по определению, что последовательность {а.
an + Ь . .Вn}является бесконечно малой. Октtе'Ч,'НО малых последователъностей естъ бескоие-ч.но малая последователъностъ. ОТеорема 1.2. Пустъ {ап} - бескоnе-ч.nо малм последователъnостъ, { Xn} - ограни-ч.енная. Тогда последователъностъ { an . Xn}так:ж:е является бесконе'Ч,'НО малой.=-А, М =А.1.4.ратпое, вообще говоря, неверnо. Например, последователъностъ{xn}Следствие.
Лиnейnая комбиначия любого коне-ч.иого -ч.ис.ла бесство /xn 1 ~ А въ~полняетс.я д.ля всех иомеров n Е N.Заметим , что последовательностьЗамечание 1.1. Если последовате.лъnостъ { Xn} - бесконе'Ч,nо болъшая, то ona, О'Ч,евидно, является nеограни'Чеnnой. ОбNтшкой, 'Ч,m,о въшол,няется> А.Последнее определение означает в точности , что последовательность называется неограниченной тогда и только тогда, к?гда она неДоказательство. Выберем произвольное положительное числоЕ:. Так как последовательность {xn} ограничена, то существует поlxnlложительное число А такое, что~ А Vn Е N.
Так как последовательность {an} -- бесконечно малая, то существует такое натуральное число N, · зависящее от е, что для любого натурального n,n;;:: N, выполнено: lan/ < е/А.Значит, для любого натурального n, начиная с номера N, будетявляется ограниченной .3435lan · xnl <А· (t:/A) = Е.
Отсюда следует, что последова{an · xn} является бесконечно ыалой. ОТеорема 1.3. Любая бесконе·ч:но ма.ла.я последовате.л.ъностъ яввыполнено:тельность2) Пусть {an} - бесконечно малая последовательность и anтакой, что lanlляется ограниченной.Доказательство. Пусть{an} -вательность. Возьмем в определениибесконечно малая последо1.6с:= 1.Тогда найдется такое натуральное числоN, что для любого п, п ~ N, будет выполнено неравенство lanl < 1.
Положим по определениюА = max{l, la1I, la2I, ... , lам - 1!}. Тогда lanl ~ А Vn Е N, то естьпоследовательность {an} ограничена. Оf.Одля любого натурального ноыера п. Выберем произвольное положительное число А . Тогда найдется натуральный ноыер N = N(A)< *для любого п:;:: N. Это означает, что, начиная сномера N, верно неравенство / "'~ / >А, то есть последовательность1{ апявляется бесконечно большой.
О}Упр~нение 1.1. Показатъ, что произведение бесконечно болъшой и бесконе-ч,но малой последователъпостей может явл.ятъся:маль~х последовате.л.ъностей естъ бесконечно ма.лая последователъа) бесконечно бо.л.ъшой последователъностъю; б) бесконечно малойnос.ледователъностъю; в) ограниченной, но не бесконечно малой последователъностыо; i) неограни-ч,енной, но не бесконе'Ч,нО большойностъ.последователы~остъю.Следствие. Произведение .любого хонечного числа бесхонечнооТеорема1.4.Пустъностъ. Если an =с Vn Ебесконечно ма.л.ая последователъ{an} -N,1Доказательство.
Предположим противное: счим Еf.О. Тогда обозна~ > О. Так как последовательность {an} - бесконечномалая, то найдется натуральное число N = N(c:) такое, что для любого п ~ N будет выполнено: lanl < Е. Но последнее неравенствоозначает в точности, что lcl < ~, что невозможно. Значит, наше=предположение неверно, и с= О. ОТеорема1.5. 1}Пусть {хп}- бесконечно бо.л.ъшая последовате.л.ъностъ. Тогда, начиная с некоторого номера п, определено част-ное { x1n },§2. Сходящиеся последовательности и их свойства.то с= О.которое яв.л.яетс.я беско~tечно ма.л.ой последовате.л.ъностъю.2} Ее.ли пос.ледовате.лъностъ {an} - бесконе-ч,но ма.лая и anf.Од.л.я .любого натуралъного номера п, то последователъ.ностъ { a n }1Дадим три эквивалентных определения сходящейся последовательности.Определение 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
