И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко, Е.В. Хорошилова - Вещественные числа и последовательности (1108554), страница 5
Текст из файла (страница 5)
а" Ь их суммасуществует и едипстве-нпа.Доказательство. Пусть рациональные числа а 1 , а2,влетроряют неравенствам(**)/31, /32,удодля вещественных чисел а, Ь. Соглас-23но правилам сложения и сравнения и свойствам( *)для рациональных чисел, поскольку а1 :::; а2, f31 :::; f32, то а1 +f31 :::; a2+f31 :::; a2+f32.Итак , а 1 + (3 1 :::; а 2 + (32 . Отсюда видно, что множество { а1 + f31} всевозможных "нижних"ной "верхней"сумм ограничено сверху любой фиксировансуммой вида a2+f32. Тогда по теореме8 1 = sup{a 1 + f31}.супремумОбозначим813.1существует=а+ Ь.
Это число удовлетворяет определению суммы чисел а и Ь, так как по определениюсупремума,81одновременно~ а18 1 :::;+ (31 для любой "нижней"+ f32 для любой "верхней"суммы а1а2Осталось доказать единственность суммы асуммы а2+ Ь.+ f31,+ /32.ивлетворяющих определению суммы амежду ними можно вставить81 < r <r,p, так чтомы а 1+ (31р< 82 .2+ Ь.неравенство: а 1+ (3 1 <+ (3 1 ) >Тогда, пользуясь леммойразличных рациональных числаТогда для любой "нижней"и для любой "верхней"r < р < а2р - r = q >суммы а2+ f32.+ (32сумбудет верноИз него следует, что(а 2 + (32 ) - (а 1О.
Это противоречит лемме3.3, согласно которой числа a 1 ,(31,a2,f32 можно, в чаС'гности, выбрать так, чтобы а 2 - а 1 < ~, (32 - (31 < ~. Полученное противоречиедоказывает единственность суы:мы а+ Ь и завершает доказательстволе1'1IМЫ4.1.Леммаведен.ие ао4.2. Д.л.я любых двух вещественных 'Чисел а, Ь их произ·Ьсуществует и един.ственNо.f31, !32,( **) для вещественных чисел а, Ь. ДоДоказательство.
Пусть снова рациональные числа а1, а2,удовлетроряют неравенствамказательство достаточно провести для а>О, Ь>О. Поэтому можно ограничиться рассмотрением только положительных рационаJ1ьных чисел а 1 , а 2 , (3 1 , (32 . Из неравенств ( **) следует, согласно правилам умножения и сравнения и свойствамчисел, что любое "нижнее"любого "верхнего"всех "нижних""верхним"произведение( *) для рациональныха 1 · (31 не превосходитпроизведения а 2 · {32 • Следовательно, множествопроизведений ограничено сверху (например, любымпроизведением) .
Тогда, по теореме3.1,существует егосупремум Р = sир{ а 1 · (31 }. Нетрудно видеть, что это число Р удовлетворяет определению произведения чисел а, Ь.Докажем единственность произведения . Предположим противное, то есть что два различных числа Р1 , Р2, Р1<Р2, удовлетворяют определению произведения чисел а, Ь. Тогда, согласно лемме3.4,между ними можно вставить два различных рациональных числа p,q, так что для любых "нижних"и "верхних"произведенийа 1 · (3 1 , а 2 • (32 будет верно неравенство: а1 · f31 :::; Р1<а 2 -(32.
Следовательно, будет выполнено неравенство:a2·/32-a1 ·f31 >24р<q<Р2М такое, что а< М, Ь < М (такое число М существует в силу леымы 3.3.) Рассмотрим такие рациональных числа a 1 ,a2 ,(31 ,f32 , удовлетворяющие неравенствам ( **) по отношению к а, Ь, для которыхвыполнены неравенства: О < а 1 :::; а 2 :::; М, О < (3 1 :::; (3 :::; М. То2гда, взяв /32 - f31 < "ikf, а2 - а1 < ikf, получим: а2 · f32 - а 1 · (3 1 =0:2(/32 - /31) + f31(a.2 - а1) :::; M[(f32 - /31) + (а2 - а1)] < 7. Полученноепротиворечие завершает доказательство.
ОПредположимпротивное, то есть что имеется два различных числа 81 и 82, удо3.4,q - р =/>О . Последнее неравенство противоречит ле1'1rме 3.3. В самом деле, выберем и зафиксируем какое-нибудь рациональное число:::;Лемма 4.3. Для любого вещественного 'Ч.исла а'Ч.исло а- 1 существует и единствен.н.о.:f.О обрат~юеДоказательство. Пусть а Е .IR, а > О . Зафиксируем положи< М :::; а. Рассмотрим произвольтельное рациональное число М, Оные рациональные числа а 1 , а 2 , удовлетворяющие неравенствам: О <М:::; а1:::; а:::; а2.
Тогда имеем: О< (а )- 1 ::::; (а )- 1 :::; (М - 1 ). Сле21довательно, множество всех чисел {(а 1 )- 1 } ограничено снизу (любым числом (а2)- 1 ). Поэтому по теореме 3.1 существует инфимумэтого множества1inf{(a 1 )- 1 } =у > О. Легко видеть, что это числоу= а- удовлетворяет определению числа, обратного к числу а.Покажем единственность такого числа. Пусть существует два та< у2 .
Тогда l\!ежду ншш, согласнолеыме 3.4, 1'1южно вставить два таких различных рациональных числа p,q,p < q, что будет справедливо неравенство: (а 2 ) - 1 :::; у <1ких различных числа у 1 , У2, у 1Р< q < У2:::;1(а1)- для всех рассматривае~1ых рациональных чисела1, а2. Следовательно, Иl\!еем: (а 1 ) - 1 - (а 2 )- 1 > q - р = 7 >О. Последнее неравенство противоречит лемме 3.3, согласно которой взяв2'а2 - а1 < тМ< .::r:l:f:_<2 , получаем, что (а 1 )- 1 - (а 2 )- 1 · = <>2-а1а1·а22·а1а2 < 7.
Полученное противоречие доказывает единственность обрат-!ного числа и завершает доказательство. ОРассмотрим теперь по порядку свойства введенных выше правилсравнения, сложения и умножения вещественных чисел.Теорема 4.1. Для введенн.ых выше правил сравн.ени.я, сложения.IR вещественн.ых 'Ч.~Lсел справедливы 13свойств (*), пере'Ч.исленн.ъtе в определении 2.11.Доказательство.
Свойство 1) - транзитивность сравнения - ужебыло доказано выше для множества вещественных чисел (см. лемму3.1). Перейдем к следующим свойствам.2) Покажем, что \:/а, Ь Е JR, а + Ь = Ь + а. В самом деле, пустьрациональные числа a1,a2,/31,f32 удовлетворяют неравенствам(**)и умн.о:ж;ен.и.я в множестведля вещественных чисел а, Ь.
Тогда, по определению суы!l!ы,f31 +а 1 =а1 + /31 :::; а.+ Ь :::; а2 + fJ2 = fJ2 + а2 . Таким образом, Иl\!еем: (J1 + а 1 :::;а + Ь :::; /32 + а2. Значит, число а + Ь удовлетворяет определению25суммы Ь +а. В силу единственности такой суммы, это означает, чтоа+ Ь = Ь +а,3)Аналогично, для тех же чиселгично.Итак, докажем, что Va, Ь,с Е JR, верно, что если а< Ь, то (а+с)что и требовалось доказать.a 1 ,a2 ,{31 ,{hи произвольныхрациональных чисел 1 1, 12, удовлетворяющих неравенствам 1 1 ::; с ::;/2, имеем: а1 +(,81 +11) = (а1 +.В1)+11::; (а+Ь)+с::; (а2+.В2)+12 =а2+(,82+12) . Таким образом, получаем: а 1 +(,8 1 +11) ::; (а+ Ь) +с ::;а2 + (,82 + 1 2), то есть число (а + Ь) + с удовлетворяет определениювенствам (**) для вещественных чисел а, Ь, и 1 1 , 1 2 - произвольныерациональные числа, удовлетворяющие неравенствампо транзитивности сравнения, следует, что аобладает особым свойством: \;/а ЕJR,а+О =а.Пусть рациональные числа а 1 , а2, .В1, .В2, удовлетворяют неравенствам(**) для вещественных чисел а и Ь = О.
Взяв ,81 = .В2 = О, имеем: а 1 = а 1 +О::; а+О::; а2+О = а2. Таким образом, а1 ::; а+О::; а2.Если предположить, что а и а + О - различные вещественные числа,то междУ ними можно вставить, согласно лемме 3.4, два различныхрациональных числа р, q, разность между которыми q-p= <р >О. Нотогда разность а 2 - а 1 не может быть меньше ~шсла <р, что противоречит лемме3.3,согласно которой эта разность может быть сделанакак угодно малой. Свойство5)4) доказано.Покажем, что \;/а Е JR верно, что а+ (-а)= О,то есть число- а является противоположным элементом для а по сложению.Пусть рациональные числа а 1 , а2, ,81 , ,82 , удовлетворяют неравенства!llа1 +.В1(**) для вещественных чисел а и -а соответственно.:::; а.+(-а) ::; а2+,62, причеы всегда а1 +.В1 :::; О, а2+.В2 :;:::ТогдаО. Поэтому ясно, что число О удовлетворяет определению суммы а+ (-а).В силу единственности суммы вещественных чисел, отсюда немедленно следует, что О= а+ (-а), что и требовалось доказать.б)Покажем, что число 1 имеет следующее особое свойство: \;/а ЕJR,а·1=а.
Согласно правилу умножения вещественных чисел, достаточно провести доказательство для а>О.Проведем доказательство также только для случая аИтак, пусть а· 1 ::; а2 · ,82. Отсюда видно,что число а удовлетворяет определению произведения а· 1. Поэтому,в силу единственности произведения, а · 1 = а, что и требовалосьдоказать.< Ь, О < с.Аналогично доказываются свойства7)-10).Покажем, что тогда а.
с11 :::; с :::; /2, причем так, чтобы было а2 · 1 2Осталь-< Ь. с.<,81 · 1 1 . Последнее неравенство всегда можно обеспечить. В самом деле, если хотя бы одно из чисел а2, ,81 отрицательно, то неравенство а 2 . 12 <.В1 · /1 очевидно для любых 1 1 , 1 2 при О < 1 1 :::; с ::; 1 2.
Если жеО < а2 < .В1, то возьмем последовательности рациональных чисел{11n},{12n}, где о< /ln::; с::; /2n,n::::: l,/2n -11n::; 10-n, идля Vn ;::: 1 вьшолнено неравенство /ln :::; /ln+l· Это можно сделать в силу леммы3.3. Зафиксируем, например, 1 11 . Тогда для числа t: = 111 · (~ - 1) найдется номер N = N(t:) такой, что Vn, п > N,будет 10-n < t: = /11 · ( ~ - 1). Поэтому будУт справедливы неравенства: /2n - /ln :::; 10-ri < 111 · (~~ - 1) :::; /ln · (~ - 1).
Отсюдаполучи!ll: а2 · /2ri < /ln · .В1. Тогда будет справедлива и следующаяцепочка неравенств: а1 · /1n :::; а· с:::;а2· /2n< ,81 • /In:::; Ь ·сОтсюда, по транзитивности, немедленно следУет, что а . с:::; ,82 ·12n.< Ь . с,что13) Покажем, что для любого вещественного числа а существуетN, N >а (аксиома Архиыеда).Ясно, что достаточно показать это для положительного вещественного числа. Пусть а=тогда очевидно, то11) Докажем следующее свойство (связь сравне1Шя и сложения):Va, Ь, с Е IR верно, что если ааЬ, то (а+ с)а(Ь +с), где а Е { =, <, >, $,:;:=:};Проведем доказательство для случая а=<. Для остальных=<.Выберем рациональные числа а 1 ,а2,,В1 ,,В 2 ,11 ,12 так, чтобы выполнялись цепочки неравенств: а 1 :::; а ::; а 2 < ,81 ::; Ь ::; ,82 , О <натуральное числоа :::; а2что и треные случаи доказываются аналогично.гда имеем: а1 · .В11 ::;+ с < Ь + с,12) Рассмотрим теперь связь сравнения и умножения: \;/а, Ь, с ЕJR, О< с, верно, что если ааЬ, то (а· с)а(Ь ·с) ' где а Е {= ' < ' > ,_,_)< >}·и требовалось доказать.·::; 1 2 •бовалось доказать.Пусть неотрицательные рациональные числа а1, а 2 , ,81 , .В2, удовлетворяют неравенствам(**) для вещественных чисел а> О, 1.
То::; а1::; с::; а2 + /2 < .В1 + /1 ::; Ь + с ::; ,82 + 1 2. Отсюда,а1 + 11 ::; а + сравенство: (а+ Ь) +с= а+ (Ь +с), что и требовалось доказать.IR11Так как а < Ь, то можно выбрать а 2 < ,81, и взять 1 2 - /l < ,81 - а 2 .Тогда очевидно а2 + /2 < .В1 + /1, и мы получаем неравенства:суммы а+(Ь+с). А поскольку такая сумма единственна, это означает4)Покажем, что число О Е<(Ь+с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
