И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко, Е.В. Хорошилова - Вещественные числа и последовательности (1108554), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Принимая во внима1arctg xl :::; \xl,-11 111n+l +n+2+ ... +n+p=n+1+n+2+... +n+p>n:p.Тогда, каким бы большим ни взятьn,n,всегда можно выбрать,и получить \xn+p -Итак, нашлось Е:оi= 3 такое,!:. = ~-xn\ >Возьмем в качестве Е:о любое число из кптервала (О2n1) например l, з·'2 ,что для любого сколь угодно большого111ln(n+l) +ln(n+2) + ... +ln(n+p)11= \arctg (n+l )l(n+2 ) + .. . + arctg (п+р)(п+р+ l) 1 :::;2n Е N, выбирая р = n, получим, что справедливо неравенство \xn+pxnl ~ Е:о. Это доказывает расходимость последовательности.б) Оценим модуль разности: \xn+p - xn\ =оценим модУЛЬ разности:1lxn+p - xnlОценим модуль разности: \xn+p - xnl =например, р =Поэтому, начиная с номерание неравенство> Е:о.-1-1- 1-- - - < -.Неравенство ~и натуральное р такие, что будет справедливо неравенство lxn+p - Xn\1lxn+p - xnl < (n + l)n + (n + 2){n + 1) + ··· + (n + p)(n += (~ -Доказательство.
а) Достаточно доказать, что найдется Е:о > отакое, что VN Е N {сколь угодно большого) найдутся натуральный111= ln(n + 1) + ln(n + 2) + ··· + ln(n +р)=> ln(np+ р)>-Р-.п+рt.При Р = n получим lxn+p-xnl >То есть нашлось Е:о -любое числоиз интервала (О,~) - такое, что Vn Е N всегда найдется натуральное:::; \arctg (n + l)l(n + 2) 1 + \arctg (n + 2)1(n + 3) 1 + ... ++ \arctg (n +Р (достаточно взять р>Эр)(~ + р + 1) 1= arctg (n + l)l(n + 2) +1Xn 1 _5.4.1Xn =1:::; (n+l)(n+2) + (n+2)(n+3) + ...
+ (n+p)(n+p+l)1--n+l1=1<--.n+p+1-n+1Выбрав теперь произвольное Е: >О и решив неравенство n~l < Е:,находим, что начиная с номера[~] при всех натуральных р выполняется неравенство\xn+p - Xn\ <что справедливо неравенство \хЕ:, что доказывает сходимость последовательности.5.3. Прu по.мощи критери.я Коши доказать расходимость nосле-. 1sш.
+а)б) Xn1= -1+ -1+ ... +1ln274lnЗnn(n-. 1SШ. 112 + SШ3 + ... + sin ~.Доказательство. Оценим модуль разности jx"+" -=/·s1n-+l1n.1+sш--n+ 21= 2,3, .. .).xnl=.1 1 =SJn--+sin--+.11+ ... +sш-... +n+pn+ln+21+sin-- > psin-n+pn+pрsin - 1-n+p= ~.-1n+p·Каким бы большим ни взять n, всегда можно выбрать, например,дователыwстей:1 11Xn = 1+-+-+ ... +-;2 3nn+pДоказать расходимость nоследователь-ности:+arctg( n+2 )( n+3 )+ ... +arctg(n+p)( п+р+ l)1= n),то, согласно критерию Коши, и доказывает расходимостьпоследовательности.<1Е:о.Р= n,И ПОЛУЧИТЬ \x2n -sin f- 1Xn\ > __n · ..1..2·2n75sin J....Так как lim ~n--+oo~sin --1....= 1,то найдется натуральный номер no такой ,::.::rn- > 2 , но тогда получим, что начиная с этого но:мера lx2n - xnl > t· Возьмем в качестве С:о любое число из интервала(О,~), например, !· Итак, нашлось с: 0 = ! такое, что для любогочтоVn? n012"n Е N, выбирая р = n , имеем вьшолнениеlxn+p - Xn 1 ? с: 0 .
Это доказывает расходимость последонеравенствовательности.lxn+p - хпl ? Ео, что доказывает расходимость после о-дЗамечание. При1< а < 2 решениеКоши более сложно. На2 куJ:е в разделе "Числовые ряды" будет2::доказано, ЧТО ЧИСЛОВОЙ рядвательности .Задачи для самостоятельного решения5.6. Доказать сходим.ость nоследовательн.остей:5.5. Доказать, что последовательностьа)111Xn = 1 + 2"' + 3"' + .. .
+ n"'а) сходите.я npu а? 2; б) расходитс.я npu а::::; 1.Дтсазательство. а) Та.к как а ? 2, то имеем lxn+p - Xnl=1б) Xn ==1+(п+р)"'::::; (п+1) 2.larcsinxl $ 2lxl (хЕ [- 1,1]) .5. 7. Доказать сходимость=n+lполучимр\xn+p - Xn 1 > - n+pnn,1- \ql111Гn2 + vм3v + ." + v~;v~n1б) Xn = -Xn = 1 ++ - + ... + _1_ (n = 2 3 )lg 3lg n' ' ··· ·5i9. Доказ~ть расходимость nоследовательн.остеu: а) Xn = sin 1+sin ?"2 + sш· ij3 + ".
+ sш· ?"ii;1 б) Xn = arctg ln1 + arctg ln1 + ... +231arctg ln n (n = 2, 3, ... ).lg 2и1= -2n = -2 .Возьмем в качестве Ео любое число из интервала (О,~), например,!· Итак, нашлось Ео = такое, что для любого сколь угодно большого n Е N существует такое натуральное р = n , что справедливоi76lq\n+l + lqln+2 + ". + lqln+p <1 l___q111р> - - + - - + ... + - - > - - .- n+l п+2n+p n+pвыберем, например, р =$ lxl (х Е R),последовательности11+ (n+"') >2) + ... + (n+p"'n,1+ ". + sin 2n ;5.8.
Доказать расходим.ость nосле~овательн.остей: а)сходимости для данной последовательности.Тогда, каким бы большим ни взять11arcsin 1 + arcsin __!_22 + arcsin __!_32 + " . + arcsi·n n2 .lqln+l + \q\n+2 + ...Выбрав произвольное Е > О и решив неравенство !; < Е, получим, чтопри всех n ? [~] + 1 сразу для всех р Е N выполняется неравенство\xn+p - xnl < Е, т.е. выполнено необходимое и достаточное условие11У-х;азание: воспользоваться тем, что1 + +1 = (~n - _1_)+(n+2)(n+l) ". (n+p)(n+p - 1)n+11 1) + ... + (n+p1- 1-n+p1) =;;;-n+p<;;;·1 1 1(n+1-n+2= (n+l"').= sш 2Т + sш 22Xn = ао + a1q + a2q 2 + ." + anqn, где lakl < М (k =О, 1, 2, ."), lql < 1.111+ (n+2) 2 + ...
+ (n+p) 2 < (n+l)n ++б)Имеем Jxn+n" - XnlXnУказание: в~пользоваться неравенствами 1sinxl111111(n+l)"' + (n+2)"' +".+ (n+p)"' = (n+l)"' + (n+2)"' +".+1nlQ СХОДИТСЯ при а> 1.n=lсколь угодно большогонеравенствазадачи с помощью критерия77.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
