И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко, Е.В. Хорошилова - Вещественные числа и последовательности (1108554), страница 13
Текст из файла (страница 13)
1(1- - -2)l1rnn nn-+oon~(1-ьn+1)(1-a)-1-a'б) Обозначим Sn1Sn-2Sn13= ~ + f.; + fз- + ... +521n+ll'-а=1.1m+tn-001-ьnn-nl .четно либо нечетно. Если... :n)I.n+ (3- - -4) + ... + (n-1-- - nlirnn-+ooЕслиnnn= 2k + 1,1~.(-.!.)n 1= !.22то получим ~ пар, причем последнее слагаемоеостанется nепарным:1. 1(1- - -2)l1mn nn--.oo-*'n-1)+ (3- - -4) + ." + (n---2 - - + 11 .nnnnПри этом значение разности дробей в каждой паре по-прежнему равнопоэтомуlimn-+oo1~2 · (-!)n + 11 = !.2Таким образом, при всех натуральныхже и равно621равна - .!., поэтомуn~;:- и упростим эту сумму:2n - 1 1 ( 1 352n - 1) _2 + 22 + 2з + ... + ~ -= 2+22+2з+ ...
+~-2(-1)"nКоличество пар равно ~, значение разности дробей в каждой паре(1 a)(l - Ь)(l +а+ а2 + ... + an) =n~ (1 - a)(l - Ь)(l + Ь + Ь 2 + ... + Ьn)так какnс четвертым.1-Ь( 1-аn+1)(1-Ь) - -+ -3 - ... +то разобьем слагаемые на пары, сгруппировав первое совторым, третьеN :Умножим числитель и знаменатель дроби на (1 - a)(l - Ь):i·nоследователъностиРешение. Рассмотрим два случая:1 352n - 1)б) J~ ( 2 + 22 + 2з + ...
+ ~ .an - ьn~;; 3 ) =О. Докажем это, используя форыулу бино:маЕ1 +а+ а222!:_1 =nn< _n_ = _2_ < Е(l+l)n-l+n+n(n;lJ+ ... +1n(n2-1)n-112n2.8. Вы-ч,ислuтъ пределы числовых nоследователъностей:.= n-+oolirn (3 -Ньютона:под знаком предела:n -1)n(2n - 1)lim (6n31 - ( l2 )"- 1 2n - 12n + 3=3---.1- ~2n2"Тогда, возвращаясь к пределу, получим lirn SnПрименим полученное тождество для преобразования выраженияn-+oo2n - 12"геом.
прогрессияn(n + 1)(2n + 1)612"-= 1+1+-+ ... + - -2 - - - = 1+получим тождество)Sn =t·63nзначение предела одно и то(1Задачи для самостоятельного решения2.10. Сформулировать утверждеt~uя:а) Число А не явл.яетс.я пределом последовательности {an}.+ .!.n )n+l ,n -- 1, 2 , ... ,. ( + -1)б) Последовательность {an} не u.меет предела.в) Последовательность {an} не явл.яетс.я бесконе•1но большой.ОТВЕТ.
а) 3с: > О: VN Е N 3no > N: ian0 - AI ~с:.б) Какое бы число А ни взять, 3с: > О : VN Е N 3nolan 0-AI~с:.в) 3Е >О : Vno Е N 3n ~по :lanl $2.11. Доказать равенства: а)>N :Е.( . .....2.12. Доказать, "Что J~~ ~ ~2l1m1~~ )2n- l1 3б)limn--+oo= О.(1ством k(k+l) =1- 1 + - 1 + ... +(1·22·31)n(n+ 1)k= 1,2, ...n.=(l+~)n+l(1+ _J_)nn-12n-1)- · - · ... · - ;2 42nб) limnn--+OO 1 + n 2 COS.?r n2ОТВЕТЫ: а) О. б) Предел не существует.
Указание: рассмотретьиn= 2k + 1 (kЕ N).._-(l ++1)_1 )n+l (n+l11+ n.!.n=>= (< 1 (nЕ N, n ~ 2):<Yn.-1-1+~ )n(l+~)-((n+l)(n - l))nn+l1 + _1_n-1n2..JЬ!._ -n-nn1n+l- (±,)n n = (1n -12n + 1 _ (п -1)(п+1)1 + n'J"-1 n - (n 2 + n - 1)n =1n32--n=n+l1+ n•-11 )n -n- <+ n2 -n- 1nЗ + n2 - n< 1·Ограниченность сверху последовательности {Xn} следУет из нера. (1 3= 2k= е."';+ 1 > 1 (n> -1 и ;;, Е N в= (n2 - l )nn+1 _2.15. Вы'l.ислить пределw последовательностейnn+l>(1-n:l)n:l=l.их пределы.случаи+ .!.n )nПокажем аналогично, что У~:,Указание: составить отношения данных выражений и вычислить!1m-n= 1):+ _1)n+ln+l(1ОТВЕТЫ: а) второе; б) перnое; в) второе.n--+oon.2.14.
Какое 'UЗ вЪL~1сений больше при достато"Чt10 большщ; п:а) 100n + 200 или О , 01n 2; б) 2n или n 1000 ; в) 1000n или n!?а)1)1+=((n+2)n)n+1n+1=(11)n+In+l(n + 1) 2n(п + 1)2-n-1k- k+l'(1ОТВЕТЫ: а) О. Указание: поделить одновреыенно числитель изнаменатель дРООИ на n 2 . б) 1. Указание: воспользоваться тожде-1n-oo+ х )n >_ 1 +пх, причем обращение в равенство происходитерно нера.-ЛШIIЬ при х =о или2.13. НЬ1:числить nределъ1 последовательностей:. 10000n) !IШ - - - ·1n--+OO n2 + 1= IimДоказательство.
Достаточно доказать, что-·-·· -2n- <J2n- -+-1 ·2 4 ···аnnВосподьзуемся неравенстnом Бернулли (VxУказание: воспользоваться неравенством (доказы.вается по ин.пукции):1n--+ooвенство (1lim у'п = 1; б) n-oolim ~=О.n-ooVn!"'- ·уuтвает и огранu'l.ена сн'UЗу, и обе последо-вательности имеют общий пределЕN){ Уп} -<уn<у 1 , а ограни ченвость снизу последовательностииз неравенства Х1 < Xn < Yn· Итак, обе последова1·ельностисходятся, причем nJ~n;, Xn = е. Из неравенства, приведенного ниже,следует, что они сходятся к одному пределу:и прийти к противоречшо стеоремой о единственности предела.Задачи к §3 главы 23.1.
Доказать, '1.то последовательность Xn = (1 + ~)n, n =1, 2, ... , возрастает и ограни<tена сверху, последовательность Yn =64венства х nО< Уп- Xn= ( 1 + ;:;:l)n ;:;:1 < ;:;:е -+ О при n -+ оо.3.2. До'Казать неравенство(;(< n!65< е (~( (nЕ N).Доказательство.1)Левое неравенство докажем методом математической ин.цукции. При n = 1 имеем 1! > ~ - верно.
Предполо-жим, что при некотором произвольном n =k > 1 верно k! > ( ~) kдокажем, что тогда неравенство выполняется для k + 1:(k + 1)! = k!(k + 1) > (~)kвенства2)VnЕk отсюда сле.цует справедливость левого нера(n)n(!!:}!-)n_ (~)n(l+~)n-е ----е-2е (~)n3.3. Доказать неравеш:тво2nlJ1+1+~) · ... · ( 1 + ;n) ~е(~)n<е2= (ln+ ~) n < е.По-другому ограниченность {xn} можно доказать, используя неравенство ln (1 + ~) < ~:ln Xn = ln ( 1 +n! < (!!:}!-)n, n > 1, вытекающим из неравенства Коши:2( О((n+ (j + ~+} + ...
+ ;/..)) • < (n+ (j+ ~+ ~n+ ... + ,!. + .) ) •N.n+l)nn!< ( - -О( n : ])Для доказательства правого неравенства воспользуемся неравенством( 1+(k + 1) ==(k+l)k+lе>(k+l)k+lе(1+t)kеВ силу произвольностиоткуда Xn =и<~) + ln ( 1 + ~) + ln ( 1 + ~) + ... + ln ( 1 + 21,.) <11111111В + ... + 2n < 2 + 4 + g + ...
+ 2n + ... = 1 :::}2+ 4+Xn < е.3.5. Пользуясь теоремой о существовании предела монотоннойи ограни-ченtюй последовательности, доказать сходимость после< ln (1 + ~) < ~ (n Е N).довательности и найти ее пределДоказательство. Логарифмируя неравенствоl)n(l)n+J<е< 1+;;,( 1+;;nимеем n ln (1 + ~) < lne = 1<(n+1) ln (1 +~),откуда и получаемтребуемое.3.4.
Пользуясь теоремой о существовании предела монотоннойи ограниченной последовательности, до'К/1зать сходимость последовательностиДока..1ательство. Заметим, чтоk Е N. Докажем2.Очевидно, что х1 = ../?. < 2. Покажем, что Vk Е N из Xk < 2 сле.цуетxk+1 < 2. Действительно, xk+ 1 = ../2 + xk < J2+2 = 2.xk+l=../2 + Xk,по индУКции, что последовательность ограничена сверху числомИспользуя индукцию, покажем теперь возрастание последователь.../2 + ../?. > ../?. =ности. При n = 1 имеем х2 =при некотором произвольномkЕN2n\ 1> 1.Жntl"'n =Покажем ее ограниченность сверху, воспользовавшисьнеравенством Коши:J2 + Xk=Xk+i1х1верно. Пусть> Xk, покаr= ../2 + xk+l >-вьшолняется Xk+lжем , что тогда Xk+2Доказательство.
Последовательность возрастает, так как1+корней> Xk+J. В самом деле,что и требовалось доказать.Xk+ 2Итак, последовательность {xn} сходится к некоторому пределу,обозначим его а. Перейдя в рекуррентном равенстве xk+ 1 = J2 + Xkк пределу при k -+ +оо, получим а=J2 +а.с учетом положительности а, находим аРешая это уравнение= 2.3.6. Найти наименьший 'Ч.ltен последовательностиXnnEN.~(1 + ~) + (1 +*) + (1 + ~) + ... + (1 + fn-)n66Решение. Составим и решим неравенство100.)= n2+n-100n+l - (n + 100)nn{n+l) > О#67n2Xn+i -+ n - 100 > Оn'= (n + 1 +n > -1±.J.Щ2'Xn#= n+ lQQт.е.
начиная с n> х 10 ).частности, х 11Х10гдер,,· i -- О , 1, ... , 9, на"Чиная с р 1 .10 последовательность монотонно возрастает (в=Итак, наименьший член последовательности= 10 + \og = 20.3.7. Наuти наибольший -член последовательности Xn =?n,nEN.Решение. Так как "'n+ 1 = 10+001 , то при n < 999 последовательностьnмонотонно возрастает, а при n > 999 - убывает. Следовательно, наи100n.больший член последовательности - это х 1000 = 101°0°;~~ОТВЕТ: Х4 = Х5 = -120.3.13.
Найти наибольший -члек последовательности х ==Xn+lYn+iJXnYn1и.меют общий предел µ(а, Ь)=lim Xnn-+ооXn+Yn=2= n_.oolim YniN.n= 1, 2, .. .),то111 неотрицательностиXn;:::получи111JxnYnXn+lЗадачи к,n~oo§4главы2n-+oo'который называ-= Xn+ 1 · Поэтому с уче-= JxnYn ;::: ~ =Xn·Аналогично доказывается монотонное невозрастание последова-тельности { Yn } : Yn+i= Xn +2 YnYn+ Yn = Yn·$ - -- -2б)Кроме того, так как2последовательности {xn} итак как= А,Пусть lim Xnn_...oolimYnn-oo= В.Покажем, что Аделе, переходя к пределу в равенствеполучим ВА+В=-2<=о? АYn+l== В.В самомжn;Уп при n--+оо,= П.Задачи для самостоятельного решения3.9.
Пользуясь теоремой о существовании предела монотоннойи ограни"Ченной последовательности, доказать сходимость последовательностей(n Е N):= -2 ' n--+oolim х n = n-+oolim х2k-lЗаме'Ча.ние. Последовательность {xn}l1mn-+oo#- n-+oolim Xn.не являетсясходящейся,б) Разобьем {xn} на 4 подпоследовательности: n = 4k _ 3 n _4k - 2, n = 4k -1, п = 4k (k Е N).' Еслиn=4k-3тосоsШ!:-О.,2 , Х4k-з = 1 - постоянна и, следовательно, }~"~ Х4k-з = sup{x4k-з} = inf{x4k-з} = 1.Если n = 4k - 2, то cos 1f2n = -1,убывая, стремится к о. Следовательно,k·Если1-п+12 . f{1вателькостиJnnX4k-2limn--+oo= 1 - ..д.... =X4k-2Р1'Р2+ 10 + 102 + ... +PnlOn'n Е N,}X4klim хn--+oo n-68= 4k, ТО COS 1f2n = 1' x 4k = 1 + ...!L.=n+lвозрастая, стремится кТогда= РоXnn-oo-- 2 •2.Следовательно,= min{li mn-+ooX4k,2n+l _ 2{n+l)-l _ 2n+l n+l - lim x 4 k = sup{x } =1·Jffi X4k-l> 1·lffi X4k-2, l1m.
Х4k-З}n-+oon-+oon-+oo691Следова-n-oo= X4klk=l = Х4 = ~·_1_ -= inf+{~4k - 2 n}+~ оsup{x4k-2} = X4k-2lk=l = х 2 ='lfnт Если n. = 4k - 1 • то cos 2= О , X4k- J == 1 - постоянна.ельно, nl:_.п;:., X4k - 1 = inf{x4k-1} = sup{x 4k-i} = 1.3.10. Пользуясь теоремой о существовании предела монотонно'йи ограниченной последовательности, доказать сходимость nоследоXnn7rn1 + - - COS n+ 12 ·Решекие. а) Выделим из {xn} две подпоследовательности с четx 2k-l = 2 + -L и_зN) з2k-1X2k - - 2 - k( Е. аметим, что 'r/k Е N X2k < X2k-1, причем {х}2kTOiiHO уб2k-l , МОНс>ывая, сходится к 2, а {x 2k}, монотонно возрастая, сходитсяк -2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
