И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко, Е.В. Хорошилова - Вещественные числа и последовательности (1108554), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Доказать, что inf{x} ~ inf{y} .3.11. Пусть А= {x}U{y}. Доказать: inf А= min(inf{x}, inf{y} ).3.12. Пусть В= {x}n{y} . Доказать : inf В ~ max(inf{x }, inf{y} ).3.13. Пусть {-х} есть множество чисел, противоположныхчисламх Е {х} . Доказать, чтоsuр{-х} = -inf{x}.3.14. Пусть {х +у} есть множество всех сумм х +у, где х Е{х} , у Е {у} .
Доказать, •~то sup{x +у}= sup{x} + sup{y} .3.15. Пустъ {ху} есть .м~ю:11сество всех произведений ху, гдех Е {х} , у Е {у} , причем х ~ О, у ~О . Доказать, что inf{xy}inf{x} · inf{y}.3.16. Пусть {х} есть некоторое непустое .мно:)lсество поло:)lсительных чисел, причем inf{x} >О. Д01сазать, что sup { ~} = inf{x}·3.17. Найти точные грани .множества натуральных "Чисел N.ОТВЕТ: inf N = 1, sup N = +оо.3.18. Доказать, что для числовой последовательности Xn = ~верн'Ы равенства inf{xn} =О , sup{xn} = 1.3.19. До'Казать: inf(a, Ь) = inf[a, Ь] =а, sup(a, Ь) = sup[a, Ь] = Ь.За.ме'Ч.ание. Различие состоит в том, что в случае интервала (а, Ь)точные грани а и Ь не принадлежат ему, а в случае о·r·резка [а, Ь] принадлежат.Задачи к §4 главы 1 (для самостоятельного решения)4.1.
Доказать, что из 13 свойств определени.я 2.11 следует, •~тоособые элементы О, 1, а такэ1Се nрот11воnоложный элемент -а длякаждого а Е А и обратнъ~й элеме"т а- 1 для 'Каждого а Е А\ {О}определенъ~ единственнъ~м образом. Здесь А= Q или А= .IR .4 .2. До'Казать справедливость для вещественных чисел следующих свойств 7)-1 О) из сово'Куnности 13 свойств (*), перечисленныхв определении2.11:4.4. Докааать, что если в классе эквивал<ттности no отношению2.2, uмеетсл xo111J1 бы од11а nол.ожитель-т , описанному выше в задаче1шя (соответств1т1w отрицательна.я, uли бескт~ечно малая.) фундаменталышя nоследователы1ость, то и все остальные фундаментальные nоследовате.льностu uз .<>того 1CJ111Cca эквивалентности - тоже nолоа1еuтелъньtе {соответственно отрицательхwе, uли бесконечно малые) .4.5. Доказать, что фунда.менталыill.Я nоСАедовательность рациональ ных чисел являетсл либо положительной, либо отрuцателъной, либобесконечно мал.ой.4.6.
а) Доказать корректность оnреде.лений суммы, nроuзведенuя,противоположного и обратного мементов, а так:нсе nравuла сравненuявещественных чuсел в модели Кантора. б} Докааать, что для этих nравuл выnол11еt1ьt13 свойств, nеречисл<тных в оnределе1ши 2.11.4.7. Докааать корректность определений nравuл САоженu.я, сравнеНWI и умножехuя вещественных чисел в модели Дедекuнда и показать,что для нuх выполняются4.3. Доказать, что из определения 4-4 следует, в частности,что ip(O) =О, ip(l) 1, ip(-a) = - ip(a), а та'КЖе для а 1- О, ip(a- 1 )==56Задачи ко второй главе§2.Задачи к § 1 главы 21.1. Дока:зать, что {xn} есть бесконечно малая последовательность, указав для 'v't:: >О натуральный номер N = N(t::) такой, чтоlxnl < Е: nри n ~ N, еслиа)Xn=(- l)n+Inб) х" =·'11n.
.> О и рассмот~ < Е:. Легко видеть, что оноДоказательство. а) Зафиксируем произвольное Е:рим неравенство lxnl = 1(-ll"+'1 =верно при п > :, и следовательно, при nделению предела отсюда следует, что~ N(t::) = [:]lim Xn =О.+ 1. По опреn->oo6) Аналогично пункту а), для любого Е: >О имеем:lxnl=1~!1=~!~ 2 n~l < Е:.Отсюда находим: n > 1 + log2 (:) и N(t::) = 2 + [log 2 (~)].1.2.
Доказать, -что последовательность {xn}, где7) 'v'a, Ь Е R, а· Ь = Ь ·а; 8) 'v'a, Ь, с Е R, а · (Ь ·с)= (а· Ь) · с;9)'v'a, Ь, с Е R, а· (Ь +с) = а· Ь +а· с;10) 'v'a Е JR, а -:/:- О, а· а- 1 = 1,т.е. а- 1 является обратным к а элементом по умножению.19 свойств (*) uз оnределени.я 2.11 .а)Xn= (-l)"n;имеет бесконечный пределЕnpu nб)Xn= 2..Гn,-+ оо, определив для произвольного> О натуральный номер N = N(E) такой, что lxnl > Е npun ~ N.57Доказательство. а) Для произвольно выбранного Евим неравенство lxnl = 1(-l)nnl=п >О соста>Е.
В качестве N(E) можно+взять, например, [Е]1.б) Поступая аналогично пункту а), для произвольпого Е>Оимеем lxnl = 12Гn1 = 2Гn > Е, откуда находим п > log~ Е. В качествеN (Е) можно взять [log~ Е] + 1.n11.3. Показать, "Что последовательность {xn}, где Xn = п<-) ,не ограни'Ч.ена, однако не является бесконе'Ч.но большой при п --+ оо.Решение. Если бы {х"} была ограничена, то тобая ее подпоследовательность также была бы ограничена. Од~1ако подпоследователь-в) \:/Е >О 3N(E) : \:/n? N(E) Xn > Е.2.3.
Существует ли коне-чнь~й предел у -числовой nоследоватмьности {an}, заданной рекуррентно: а 1 =а 2 =2, an+ 2 = an+i + ..!..?Решение. Предположим, что существует предел а = Jim an. allen-ooреход к пределу в рекуррентном равенстве дает: а = Jjm an+21· (11n-oon.:_.n;., an+1 + an) = а + а. Таким образом, получаем уравнение: а =1а+ а' которое очевидно не имеет решений. Пришли к противоречию,значит, предел не существует, и последоватслыюсть расходится.2.4.Доказать равенства (а>1}:1юсть с четными номерами {x 2k}, где X2k = 2k, k Е N, является бесконечно большой. Следовательно, {xn} - не ограничена.
С другойа) lim .!!:... = О;стороны,{xn} не является бесконечно большой, так как существуетподпоследовательность {x2 k+J }, где X2k+l = 2 k~l' k Е N, сходящаясяк нуто, что противоречит определению бесконечно большой последовательности.Задачи для самостоятельного решения1.4.
Доказать, 'Ч.то {xn}, n Е N, есть бесконе'Ч.но малая последовательность, указав для произволь'Но вЪLбранного сный номер N = N(c) такой, •1тоа)ОТВЕТ: а)Xn2n= з;n +1б)= [~+ 1;N(c)>Xn? 2,= N(E)ОТВЕТ: N(c) = [1О в]Задачи к§2n-oo n= 1 + n(a -1) +что при n > N(c) = [t:(a:l}2]n(~< ..!!..=annl)(а -1)2 + ...+(а -l)n <2(n - l)(a - 1)2 <с.+2верно неравенство а~ < с. Поlim а~' =О, что и требовалось.определению предела это значит, чтоб) Имеем оценкуn-ooО < ~: = ~ . ~ . ~ . ~ .....
~ $ 2 . ( п2= 1, определив дл.я ка:ждого с > О"Число N = N(c) такое, 'Ч.mо ln~l -11 <с при n? N.Доказательство. Для любого с > О имеем: / n~l - 11 = 1n;1 / =2.1.ДО?Сазать, "Что limn--+ooПоследнее неравенство верпо при n - 1 > t:(a_:ip. Отсюда следует,+ 1.главыl))nnЕ N такой, '1.то lxnl > Е при n? N.10+(а -< -,--,----n (~-1) (а - 1)2является беско'Не'Ч.1tо большой, определив для произвольногоЕ >О номер Nn= (-l)n · 0,999n.1.5. Доказать, "Что последовательность {xn}, где Xn = lg(lgn),п) lim va=l.nr::с. Воспользуемся формуJiой бинома Ньютона: О(1б)N(с) = [log0 _999 с]+ 1.гn-+ooДоказательство. а) Достаточно показать, что \:/с > О найдетсяномер N = N(c) такой, что при всех n > N верно неравенство 1а":.1 <О натуральlxnl <с при n? N, еслиn--+ooll·m loga п -- О·n'в)2n=О·n!'б) lim -n-+oo а"n+in-2=~ . ( ~) nn-2Взяв любое с > О, из неравенства ~ · ( ~) n < с несложно найти испределомКОМЫй номер N(c) такой, что для всех n, n? N, будет вьшолнятьсяпоследнее неравенство, а значит, и неравенство О < ~~ < с.
Этоозначает, по определению, что lim 2 ~О.2.2 . Сформулировать с помощью неравенств следующие определ.енt.1.Я: а) lim Xn = оо,6) lim Xn = -оо, в) lim Xn = +оо.в) Достаточно доказать, что \:/с > О 3N = N(c) Е N, что при> N верно неравенство О < IagQ n < с. Левое неравенствоочевидно , выполняется. при п > 1 . для nправого неравенства имеем: 'n~l < с при n > ~ - 1, и следовательно, при n ? N(c) =и означает, по определению предела, что число1 являетсяl:J.
Этоданной последовательности.n-+oon-+ooРешение. а) \:/Е >О 3N(E) : Vп? N(E)б) \:/Е <О3N(E) : \:/n? N(E)Xn <58Е;n-+oolxnl > Е;n-+oo n.=всех nlogan-n<с{::} loga n<сп59{::}п<aEn{::}nnРешение. а) Обозначим через an число, стоящее под знаком пре<=> a~n < 1 <=> ьn < 1 (Ь =а~ > 1).дела. Перепишем это равенство в виде а2Последнее неравенство въmолняе'l'СЯ в силу пункта а). Это значит,log n1.
~ЧТО n!...~=О.г) При а = 1 равенство очевидно. Пусть аа= (1+ (\Га- l))n > 1 + n( \Га -1)П+ an-1·усть n-+oolim an= n--+ooJim an-1лученном ВЬШiе рекуррентном равенстве, получим уравнение отн~2сительно а: а = 2 + а, откуда, учитывая, что а > о, находим а = 2.Заметим, что описанным способом можно вычислить предел> 1, тогда yti.i > 1 и> n( \Га - 1)./а + v/а + v/а + ... + .;а = 1 + ,;г:+:4а2·limОтсюда после деления на n получаем О < ifO, - 1 < ~ < е при n > ~,что в силу произвольности е означает, что у'а -+ 1 при n -+ оо.-ooV'корнейn2.5 .
Вы-ч,ислить пределъ1 '1.исловых последовательностей:а) lim ( Jnn--+oo+1-б) Преобразуем выражение под знаком предела:nl~~{h · V"2 · {У2 · ... ·v'Тi);1limn--+oo ( 2nв)n-1)+ 22 + ... + nn2nоо..jii,2(n - 1)-го члена арифме2 .6.n{n2-1)n2=~lim n -12 n-+oon-+ooВъ1:числить пределы -ч,ислових последовательностей, еслиУ/2 + V/2 +nJ2 + ... + h; б)lim(h · ~ · ij2 · ... ·2-1-1(~ + 22 + ... + (n -1)2)= limn3n3n3= lim(t - l)(t + 1)t--+1 (t - l)(t 2 + t + 1)кажеll! тождество 12nn-+oolimn--+oo12n + 5.{/27n 3 + бn 2 + 8'·t+1t-+1t2+t+112860~3.+;;+~4= {/27 = .V2).+ 22 + · · · +n2 -_равенствn{n+l)(2n+J),6для этого выпишем·······································································(n + 1) 3 = n 3 +3·n 2 ·1+3·n-1 2 +1 3корней=в) Перепишем предел в виде nl~~ ;fr (12 + 22 + ...
+ (n -1)2) . д~2известно, -ч,то они существуют:а) limn--+oonу=~nб) Hm;12 +.о.limnn--+oo .з /27 6тической прогрессии, получимn--+oo=2б) Поделим на n одновременно числитель и знаменатель дРОби:в) Приведя дроби к единому знаменателю и упростив полученuоеn2Jim 21 - .,\rn~ooРешение. а) Сделаем замену t = ~1 +~'тогда имеемJim tt-+1 t 3... + (n - 1) = lim1+l - 1в)=О.б) Поделим числитель и знаменатель дроби одновременно на зn:lim 1 + 2 +jl+fnn--+oo1lim ( Jn+I - Jn)( Jn+I + v'1i) = limn--+ooJп + 1 + ..jii,n--+oo Jn+Т +n--+ooV2°) = n-..oolim 2t+i+t+ ...
+.,4r =ifl+f-1а) limJn) =в числителе выражение по формуле суммы22. 7 · Вы-ч,ислить пределы '1.исловых последовательностей:.Решение. а) Умножим и разделим выражение под знаком пределана сопряженное: lim ( Jn+I -= . 12 + а....... 2 _nУn-1 """" а=а. Переходя к пределу в"п....._v-61·Отсюда получаем, чтои сложим их меж,цу собой:(n + l)з12= 1+3(12 + 22 + 32 + ... + n 2 ) + 3(1+2 + 3 + ... + n) + n.Отсюда с учетом 1+2 + 3 + ... + n = n(n2+113312+ 22+ ... +n2 = З((n+1) -(n+l)-2n(n+l))=·.
(1 1= n-+oo!Ш*)(2 - *) _-6=3, так как lim 21:..n-+oon--+oo!·для любого Е >О, если n > 1 + ~.2.9. Вычuслuтъ предел ч11словой31 2lim - - п--.оо nn+ ... + an г е lal < 1,IЬI < 1;1а) J~oo 1 + ь + Ь2 + ... + ьn ' дnРешение. а) Воспользуемся формулой сокращенного умножения= (а - Ь)(ап-1 + а"-2Ь + ... + аьn-2 + ьn- 1 ), n Е1-an+t = (1-a)(1+a+a 2 + ... +an), 1-bn+t ==2k,(1-Ь)(1+ь+Ь + ... +Ьn).2-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
