И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко, Е.В. Хорошилова - Вещественные числа и последовательности (1108554), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Последователъностъ {xn} называется сходящейся, ec.лtt найдется вещественное "'ис.ло а такое, что пос.ледователъностъ {Xn - а} является бесконечно ма.лой. Число а называется в этом случае пределом nос.ледователъностпДоказательство.1)ПустьОпределение 2.2. Последователъностъ {xn} пазъtвается сходящейся, если найдется веществепное 'ЧUС.л.о а такое, "'то д.ля любого числа Е > О будет существовать натура.лъпъtй номер N, зависящий от с:, удовлетворяющий условию: lxn - al <с: Vn) N.Перепишеы{xn} -бесконечно большая последля любого п :;::N1,N1выполнено:lxnl > 1.N1такое, чтоЗначит, начиная с номераопределено частное { х~ } .
Выберем произвольное положительное число Е. Так как последовательность{xn} является бесконечноN2 = N 2(E) такое, чтоN2 :;:: N 1 и lxnl > 1/Е Vn :;:: N2. Значит, начиная с номера N2, выполняется неравенство / х1п / < Е, то есть последователыюсть { х~ }большой, то существует натуральное числоявляется бесконечно малой .1<-ЕчтоXn -а<Епоследнее{::}а -последовательность сходится,дется натуральный номерXnнеравенство<ЕN=Xn<аесли дляN(t:),+ Е.ввиде:Тогда получим,любогоЕ>О36найудовлетворяющий условию:Е {а - Е, а.+t:) Vn:;:: N .Интервал (а.
- с:, а.+ t:) будем называть Е-окрестностью точкиа и обозначать Ве (а).Определение 2.3. Последователъпостъ {хп} называется сходящейся, ее.ли пайдется веществепное число а такое, "'то в Л'J()бойс:- окрестности то'Чки а содержатс.я все элементы последователъности {xn}, начиная с некоторого номера (зависящего от Е).такие последовательности называют стационарнымиЕслпрасходится.является бесконечно болъшой.довательность.
Тогда существует натуральное число{xn}·последователъностъ пе является сходящейся, то говорят, "'то онаОбозначения:lim Xnn-+oo= а.или Xn37---+n-+ooа..Замечание{an} -Пусть2.1.lim Xn=а. Тогда{xn-a}={ап}, гдеn-++ooбесконе·ч:н.о малая последовате.льность. Зна'Ч,ит, для любогонатуральногоn можем записать: Xn = а+ an, где {an} - бесковещественн.ое 'Ч,исло а такое, 'Ч,тотельностиlim Xnn-++оо{ Xn - а} и {Xn+I - а} являются бескон.е'Ч,Н.О малыми.{ Xn - Xn+I}. Но=2не·ч:н.о мала.я последовате.льность {специальное nредставлепие для/xn - Хnн/ре'Ч,иЮ. Следовательно, последовате.льnостъОпределение 2.4. Будем говорить, 'Ч,mо последовате.льпость{xn} стремится к +оо (стремится к -оо) при n--+ +оо, еслинад сходящи11Iися последовательностя11ш.>для любого вещественного АО пайдется номерОбозна'Ч,ени.я:lim Xn =n-++oo+ооN,( lim Xn =n-++oo-оо} илиXn--+ +ооn-++ooТеорема{xn} расходится.2.3. Пустьlim Xnn-++оо= а,lim Упn-++oo= Ь.Тогда суще-ствует преде.л суммы и разnости этих последовательностей, при'Ч,ем lim (xn ± Yn) = а± Ь.n-++cx:>--+-оо}.n-++oo(xnдля любого н.атура.11ьного п.
Мы пришли к противоСледующие три теоремы посвящены арифметическим операция1\Iзависящий отN.а. Тогда последова-Зна'Ч,ит, бескон,е'Ч,НО малой является и их разnостьэлементов сходящейся последовате.льности}.А, такой, 'Ч,тО Xn >А (xn <-А} Vп ~=Доказательство. В силу специального представления для элеБудем говорить, 'Ч,то последовате.л.ьnостьбесконечности при п --+{xn}стремится к+оо, если для любого веществеnногоментовYnсходящихся= Ь + f3n,гдепоследовательностейимеем:Xn=а+an,{an}, {f3n} - бесконечно малые последовательности.А > О найдется номер N, зависящий от А, такой, 'Ч,тО Jxn/ > АVn ~ N (то есть если последовате.льnость {xn} является бескоЗначит, (xn ±yn)-(a±b) = an±f3n· Так как {an±f3n} - бесконечноне'Ч,НО большой}.чтоОбозnа-ч,ения:Теоремаlim Xn =n-++ooоо ил.иXn--+ оо.n-++ooДоказательство.n-++oo=Предположим противное:lim Xnn-++oo=== Ь + f3n,последовательности.
Значит,{а"-fЗп}-где{an},{fЗп}-бесконечно 11Iалыеan - f3n = Ь - а при всех п Е N. Нобесконечно малая последовательность (теорема 1.1), азначит, Ь-а =О (теорема2.2.1.4).Полученное противоречие доказываетДоказательство. Пустьlim Xnn-++оо=а. Тогда существует нату-N такое, что /xn - aJ < 1 Vn ~ N (положили с = 1 вопределении 2.2).
Обозначим А = max{Jal + 1, /x1J, /х2/, ... , /хм-1/}.Получим, что /xn/ ~А при всех n Е N, то есть последовательность{ Xn} ограничена. Оральное числоЗамечание2. 2,2.2.а,lim Yn =Ь.Тогда cy-Утверждеnие, обратное к утверждению теовообще говоря, неверно. Рассмотрим посл.едовател.ьн,ость{xn} = {1, -1, 1, -1, ... }.сходящихсяОн,а, о'Ч.евидн,о, ограни'Ч.ен,а, но не является сходящейся.
Действительно, пусть это38neтак и существуетпоследовательностейимеем:Xn=а+an,УпЬ + f3n, где {а"}, {f3n} - бесконечно малые последовательности. Значит, (xn · Yn) - а· Ь = Ь · an +а· /ЗnD!n · /Зn· Так как{Ь · an +а· f3n + an · .Вn} - бесконечно малая последовательность(как сумма трех бесконечно малых), то, соглас~ю определению 2.1,=+получаем, чтоЛеммаЕсли последовател.ьnость сходится, то она ограни-ч,ена.ремыlim Xn =Доказательство.
В силу специального представления для элементовутверждение теоремы. ОТеоремаполучаем,п-..+ооЬ, причем а =/= Ь. В силу специального представленияа+ an и Xn2.4. Пусть2.1,Оn-++oon-++ooществует предел. произведения этих последовате.льностей, при-ч,ема идля эле11Iентов сходящихся последовательностей можем написать:Xnn-++oo= а± Ь.lim (xn · Уп) =а· Ь.тол.ько один предел.lim Xnlim (xn ± Yn)ТеоремаСходящаяся посл.едовател.ъностъ имеет один и2.1.малая последовательность, то, согласно опре,делеииюlimn-++oo2.1.(хт.Пусть= а· Ь. Оlim Yn = Ь,· Yn)n-++оопри-ч,е.м Ь =/= О. Тогда, на-ч,иная с некоторого номера N, определена посл.едовате.л.ьностъ {У~},которая, является огра11и'Ч,енной.W.Доказательство. Выбереы с =N= N(c)такой, что при всех п ~/Yn - Ь/ <с{::}Значит, IYnl >/Ь/-2< Yn -JЬI1ь1/Ь/< 2 {::} Ь - 2 < Yn < Ь + 2·< l~I для любого n ~ N.Следовательно, последовательность {У~ } определена и ограниченапри всех п ~W, то есть YnЬТогда существует номерN имеем:N.=/=ОиО39/ ;" 1Теорема#Ь=Пустъ=Следствиеlim Xnа,lim YnЬ, nри'Чемn-++oon-++ooО .
Тогда существует предел 'Частного этих nоследователъно-2.5.стей, nри'Чемlimn-++oo:!:....у,,.,.ного= %.ментовУп = ЬсходящихсяТеоремапоследовательностей+ fJn , где {O!n}, {fJn} -имеем :Xn=~ = Xn. ь - Yn. а = (а+ О!n)Ь - (Ь + fJn)a = ~ЬYn • ЬYn · ЬYnYnнечно малых. Значит, и последовательность {У:Ь(O!n -ниченной) .
Получили, что { ~ - Ъ-} бесконечно мала, то есть чтоь =!!_ОЬlimn->+oo у.,.Пустъ))ЕДоказательство. Предположим, чтоа< Ь. Обозначим с:= ЬчислоN1-Xn~ Ь при всех п ~N,= N 1 (c:), что lxn -al<с: Vn ~N2N 1 . Пусть N2та-Zn=а.теоремыследует,чтоN 1 = N 1 (c:)lim Xn =а) . Аналогично11-а.+ооN2 = N2 (c) такое, что Jy~ - ai < с: Vn ~ N2.Обозначим N 3 = max{N, N 1 , N2 }.
Тогда при всех п ~ N 3 получим:lzn - а! <с:. Это и означает, что последовательность {zn} сходитсяиlimn-++ooZn =а. ОМонотонные последовательности.§3.Последовате.лъносrпъ3.1пазываеrпс.я{Xn}Xn ~ Xn+i~ Хnн) выnолпен.о д.л.я любого натура.лън.ого но.мера п. Ес.л,и{xnпос.ледовате.льпостъ являете.я неубывающей или невозрастающей,ито она называется монотонной.Пос.ледовате.лън.остъно{xn}называете.я возрастающей (убывающей}, если для .любого }tатура.лъного но.мера · п въ~полн..яетсяа> О. Тогда найдется такое натуральноеПолучаем, что для любого п ~limn-++ooусловияlxn - aJ <с: Vn ~ Ni {так какОпределениеlim Xn = а и nос.ледователъностъ {xn}Xn ~ Ь (xn ~ Ь} при всех п ~ N для иекоторих Ь Е JRN. Тогда виnол:н.ено nреде.лъное неравенство а~ Ь {а ~ Ь}.Из{zn}въ~полпеио двойное перавеп-неубывающей {невозрастающей), ее.ли неравенствоn-++ooтакова, 'ЧтоNN~ Yn, то {zn} сходите.я иZnограниченности).=а.
Ес.л,и nос.л,едовате.лъностънайдется натуральноеДокажем несколько утверждений, связанных с предельньш пере2.6.lim Ynпроизвольное число с:> О. Тогда н~ется натуральноеходом в неравенствах для последовательностей.Теоремаn-++оотакое, чтоЪ-fJn)} является бесконечно малой (как произведение бесконечно малой и ограЕе.ли д.л.я любого натуралъXn - а ::;; Zn - а ~ Yn - а при всех n ~ N . Значит, начиная сномера N, выполнено: lzn - aJ ~ max{lxn - al , IYn - aJ}.
ВыберемБ fJn} - бесконечно малая как разность двух беско-= а.(принцип двусторонней=Доказательство.(an - ~fJn) .Согласно лемме, последовательность {У: } ограничена; последовательность { O!n2. 7х"lirnство Xn ~бесконечно малые последовательности.Значит,Xn -lim Xnn--++ооn-++ooкова, 'Что для всех натура.л.ънъ~х п ~+ O!n,аПустъn верно, -ч.то Xn Е (Ь,с), то а Е [Ь,с). ОПустъДоказательство. В силу специального представления для эле2.неравенство Xn= mах{N,N1}выполняется цепочка неравенствТеорема< Xn+13.1{xn> Хп+1).Ec.лtL nоследовате.лъностъ{Xn}не убывает и ограни'Чепа сверху (пе возрастает и ограни'Чена спизу}, то она сходитlxn - al < Ь - а{::} а - Ь < Xn - а< Ь - а{::} 2а - Ь < Xn < Ь.ся.Но по условmо теоремыXn~ Ь.
Мы пришли к противоречию. Значит,)наше предположение неверно и а ~ Ь. ОЗамечание2.3.Из того, 'Чтопе следует, вообще говоря, чтоНапример, 1+1.n.fСледствиеXnlimn-++oo> Ь при всех патура.л.ъпъ~х п,Xn > Ь {а .лишъ lim Xn ~ Ь}.n~+ooПустъ{xn}, {Yn} -Vn~N.Тогдаlirn Xn ~n->+ooNтакой, что Xn ~Ynlirn Yn.Доказательство. Так как Xn ~ Yn, то (Yn - Xn) ~ О Vn ~ N.Значит, lirn (Yn - Xn) ~О, то есть lirn Xn ~ lim Yn · Оn--++oo40Xn ~ хNn-++cxi.ограничена сверху и{xn}Тогда существует вещественное число х =Vn= N(c:)ЕNи для любого с:такое, чтотельностьXNn~>хN{ Xn}>=Значит,О найдется натуральное числос:. В силу монотонностиверно: хXn ~ Xn+isup{xn}·-с:<lim Xn·XN~Xn{xn}~ х<получах +с:. НоСлучай, когда последова-n-а.+ооне возрастает и ограничена снизу, рассматриваетсяаналогично.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
