И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко, Е.В. Хорошилова - Вещественные числа и последовательности (1108554), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Взяв точку ii = ао, a1".an, где ао, a1".an." = -у(а)- представление точки а бесконечиой десятичной дробью, мы получим, что=Ьесли въ~по.лненъ~ства:18<Установим свойство инъективности построенного выше отображения'Удля представления Ьо, Ь1" . Ьn".[5]Ь и Ьжащей не правее точки а на положительной полуоси (то есть (О;Пусть даны два положительных вещественных числаа.= ао, a1".an." и Ь = Ьо, Ь1."Ьn.".<m, l Е N U {О}, что ak = bk при k < т, ноam < Ьm, и одновременно bi =с;, при i < l, но Ь1 < с1. Предположим,что т ~ l (другие случаи рассматриваются совершенно аналогично).Тогда имеем: ak = ck при k < т, но ат < Ст, то есть а < с . Осуществуют такие номераak= Ьk, k< n,= -у(Ь) точки Ь будУт справедливы равена также иеравеиство19an+1$Ьn.
По опреде.тrеиию:щсравнения вещественных чисел, это означает, что 'У(а) < 'У(Ь). Итак, дляположительной полуоси инъективность отображения 'У доказана. Согласно определению отображения 'У для отрицательной полуоси и правилусравнения отрицательных вещественных чисел, отсюда следует инъективность отображения 'У на всей числовой оси. ООпределение3.4.М'Нжжество веществе'Н:ных 'Ч.исел А ~IRнаОпределение 3.5. Число а Е JR 'Ндзъ~ваетс.я суnрему.мом (точной верхней гранью) М'НО:>/Сества А, А~ IR, если 1) 'Vx, х Е А, х ~а; 2) 'Vii, ii <а, Зу, у Е А, ii <у.
Обоз'Нд'Ч.е'Ние: а= sup А.Определение 3.6. Число /З Е JR называете.я инфи.мумом (точной нu:J/Сней гранью) множества А, А~ IR, если 1) 'Vx, х Е А, х:::::> {З, Зу, у Е А, у< fз. Обозна'Ч.е'Ние: /З = inf А.Теорема3.1 (о существовании sup, inf). Если непустое .л.t'НОжество А, А ~ R, ограни'Ч.ено сверху {с'Низу), то существует sup А(существует inf А).Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда множествоА= {а} ограничено снизу числомm:::::выберем наибольший знак а 1 . И так далее до бесконечности.
В итоО. Покажем, что существуетinf А;:::О. Выберем наименьшую из всех целых частей чисел а Е А.Пусть это а 0 • Очевидно, что а 0 ;::: О. Теперь у всех чисел из А, имеющих целую часть а 0 , рассмотрим первые десятичные знаки и выбе+ 1)-ом шаге из всехны ао, а1 .. .an (уже выбраны как наименьшие), выберем наименьший(п -+:1)-ый десятичный знак an+l· И так до бесконечности.
Получимчисло g = а 0 , а 1 .. .an .. " Покажем, что g = inf А. Проверим свойства1) и 2) инфимума~1) Если предположить, что Зу,у= Yo,Yl···Yn·",Yдля некоторого номерап будет верно, что YkЕ А,у= ak, при k=О,< g, то1, "., п-Yn < an. Это невозможно в силу выбора десятичного знака an.Итак, для всех у Е А имеем: g_ ~ у.2)Пусть теперь Ь = Ь 0 , b1 ... bn··· > g_.
Это означает, что для некото1,l)Если предположить, что Зу,у = YO,Yl···Yn····Y Е А,у >а, то= ak, k = О, 1, ... , п - 1, но Yn > an. Этоневозможно в силу выбора десятичного знака an. Итак, для всеху Е А имеем: а::::: у.2)Пусть теперь Ь = Ьо, b1 ... bn··· <а. Тогда для некоторого номераравенства bk = C!:k верны для k = О, 1, ... , m - 1, но bm < am. Однако в множестве А имеются числа вида уа 0 ' а 1 .. . аm- 1 ауm m+l···1mкаждое из которы~ больше Ь, так как Ymmравенство bk= akверно для всехk=О,1, .. . , m-1,ноЬт >ат.
Однако среди элементов множества А имеются числа видау = ао, а1 .. .am-1amYm+l ···, каждое из которых, очевидно, меньше Ь,так как Ут= am < bm·Доказательство для расс1rатриваемого случая закончено.Если в множестве А имеются положительные числа, и оно ограrничено сверху, то достаточно показать, что имеется супремум у подмножества А всех положительных чисел из А. Он и будет супремучислом, доказательство легко получается из предыдУЩИХ рассуждений, если учесть, что верно следУющее утверждение.
ОПредложение 3.1. Пустъ огра'Ни'Ч.е'Н'Ное сверху и спизу множество А= {а} состоит из поло:>1еителъ'Ных 'Ч.исел а > О, а множество -А = {-а} состоит из эле.ментов .мно:J1сества А, вз.ятых сознаком минус. Тогдаsup(-A)= -inf А, inf(-A) = -supA .ОПриближение вещественных чисел рациональными.Лемма3.3. Дл.я любоговещественного 'Ч.исла а и д.л,.я любого п Е< а < а2N существуют такие рационалъные 'Ч.исла а 1 а 2 °"то а 11''и 10!1 - а2 1 ~ ion .--'Доказательство. Пусть сначала а> О,а = a 0 ,a1 .. .an··· . Положима1= ао, a1 ...
a.n, а2=0!1+ 1 ~n.При этомanа1<9< 9, ан1 = ... = an = 9Легко видеть, что требуемые в условии леммы неравенства выполняются. Если а рационально, то достаточно, например, взять а 1= а. Если а < О,так, чтобы /31 ~ lalа2-/32, а2то следУет выбрать рациональные числа:<:;=(J 1 {32/32, l/31 - /321 ~ 1 ~n, и затем положить а: == -/31. ОЛемма 3.4. Дл.я любых двух разли'Ч.ных веществеппых 'Ч.исела, Ь, а < Ь, существует такое рацио'Налъное °"исло r, 'Ч.то а < т < Ь.Доказательство. Пусть О~ а< Ь, а= a0 ,a1 .. .an····мом для всего множества А.
Выберем наибольшую целую часть а. 0 из20== am > bm.Итак, а= supA, а значит, а= supA.В тех случаях, когда множество А, содержит отрицательные числа и ограничено снизу (сверху) также некоторым отрицательнымнорого номераПроверим, что для а выполненыsup А.для некоторого п будет Ykрем из них наименьший а 1 . И так далее. На (пэлементов множества А, у которых первые п десятичных знаков рав= ао, а 1 .. .an ....ге получим число асвойствазъtваетс.я ограниченн:ым сверху (снизу), если существует такое 'Ч.исло М Е IR, 'Ч.то 'Vx,x Е А,х ~ М(х::::: М)./З; 2) 'Vfз, f3всех целых частей элеьrентов подь!Ножества А. Затеl\I из всех первыхдесятичных знаков тех чисел из А, у которых целая часть равна а. 0 ,21(*),если anесли anan+l+ 1 < Ьn+ 1 = Ьn,= ..
.an+k-1an+kНетрудно видеть, что по построению, аЕсли авыбрав<О, Ь>< r < Ь.r = О.О, то достаточно взятьq Е IQ, чтобы было1 :Х--->JRоно является линейным порядком. Читатель самостоятельно дока= 9,жет, что для рациональных чисел это отношение совпадает с известным из школькой программы правилом их сравнения. Теперь введембинарные операции сложения и умножения вещественных чисел, аЕсли а<Ь<jbj < q < lal, следует взять r = -q.Отобра:же-н.ие3.5.доказана (лемма 3.1 выше).
Из определения сравнения видно, что<9Рассмотрим теперь свойство сюръективности отображенияЛеммаперечисленных в определении 2.11. Отношение сравнения вещественных чисел уже введено выше. Транзитивность сравнения такжеО, тоОтакже понятие обратного вещественного числа.Определение4.1.
Суммоuоналънъtх 'Ч,исел а1, а2,1·двух вещественних 'Ч,исел а и Ьназиваетс.я. такое вещественное 'Ч,исло а+ Ь, 'Ч,то для. любых ра'Ци/31, /321удовлетворяющих перавенствамс~орr;ектив-н.о.Доказательство. Покажем, что каждой бесконечной десятичной дро-би (без9 в периоде) а= ао, a1 ... an··· Е JR соответствует единственная точках Е Х числовой оси, которая представима этой дробью по первому правиСогласно Лемме+ {3 1 :<:::а+ Ь :<: : а 2 + /32.4.2. Произведением двух положителъпих вевыполн.я.ютс.я.
неравенства: а 1Определениелу, описанному выше, то есть а= 1(х).дпя дроби а существуют последовательности раществепных 'Ч,UСел а и Ь називаетс.я. такое вещественное 'Ч,'U.сло а· Ь,циональных чисел {a1n},{a2n}, такие, что O!tn::; а::; 0!2п, O<tn::; °'t(n+l)>'Ч,тО для. любых пеотри'Цателъных ра'Циона.л:ьнъ~х •~иссл а1, а2, /3 1 , /32 1удовлетворяющих перавенствам ( **), верно, 'Ч,то а 1 · /31 :<: : а - Ь :<: :3.3,0!2(n+1)::; ct2n, И а2" - 0<1"тать, что а1"для которых= 10-",n = 1,2, ....Более того, можно счи= ао,а1 ... а" Е Q. Пусть X1n,X2n Е Х - точки числовой оси1(x;n) = ct;n, i = 1, 2; п = 1, 2, .... Тогда отрезки [x1n; Х2п]а2· /32.В остал.ъних слу'Ч,а.яХ пол.агаютудовлетворяют условиям аксиомы непрерывности Кантора . Следовательо,но, существует единственная точка х Е Х, общая для всех этих отрезков.Тогда по построению отображенияИз лемм1очевидно, что 1(х) =а.а·Ь=О3.2 и 3.5 следует утверждение следующей теоремы.3.2.
Отображение 1 : Х ....., JR взаи.м.-н.о-одпоз-н.ач-н.о.Теоремаесл.и хот.я. бы одно из 'Ч,исел а, Ь равно О;lal·lbl,{ -lal· lbl,есл.и а и Ь-если 'Ч,Uсл.а а и Ьодного знака-;разных знаков.ООпределениеВ силу этой теоремы мы будем в дальнейшем отождествлять точки4.3.Дл..я. пол.ожителъного вещественного 'Ч,ислачисловой оси и соответствующие бесконечные десятичные дроби (без дроа обратным 'Ч,Uслом называют такое вещественное 'Ч,исло а- 1 ,бей с'Ч,то д.л..я.
всех положительных ра-и,иопал.ъных 'Ч,UСел а 1 , а 2 , удовл.е9в периоде), опуская обозначение отображенияговорить: "точка а на чисJiовой оси",-1·То есть будеми той же буквой а будем обозначать соответствующую бесконечную десятичную дробь а= а, аоа1 ... , а" ....Из теоремы3.2 следует важный вывод:длины любых отрезков мо:ж-ноиз.мерятъ веществе-н-н.ъ1ми <tисл.ами.твор.я.ющих неравенствам а 1(а2)- 1а:<: ::<: :а 2 , выполненъt неравенства:S: а- 1 ::; (а1)- 1 . Если а< О, то nол.агают а- 1= -(lal- 1).Отметим, что для рациональных чисел определения4.1-4.3 совпадают с известными правилами сложения, умножения и обращениярациональных чисел.
Предлагаем читателям проверить э·го самосто§4.Алгебраическая система (арифметика) вещественныхятельно.Противоположпое вещественное 'Ч,UСЛО было фактически ужечисел и ее полнота. Различные модели ее построения.определено выше. ДJiя каждого числа аВыше мы рассмотрели алгебраическую систему (арифметику) рациональных чисел. Теперь наша цель-построить аналогичную алгебраическую систему, носителем которой: являлось бы множество вещественных чиселIR,то есть распространить основные операции и отношение сравнеt1ин с множества рацишrальных •шсел на множествоRвещественных чисел и доказать справедливость в нем2213свойств=ао, al .. .an··· это та жебесконечная десятичная дробь, но взятая со знаком минус, то есть-а= -ао,al· ·.an···· Корректность определений 4.1-4.3 устанавливают следующиеЛеммаа+Ь3 леммы.4.1. Дл.я любыхдвух вещественных •~исе.л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
