И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко, Е.В. Хорошилова - Вещественные числа и последовательности (1108554), страница 2
Текст из файла (страница 2)
А.Пример 1.10). Отображение f : [О; 1] ....... [О; 1], где f(x)=х2 ,l)AU0=A;является взаимно-однозначным. Обратным к нему является отобра2)А \(А \В)= AnB;3)AuA =А;жение Г 1 (у)= ./У·Мощность множества.4)AUB = BUA;5)А U (В U С) = (А U В) U С;Определение1.9.Мощ'Н.Осmъ {и.л.и кардии.а.п, или кардинальное число) мно:нсества А8- это характеристика мн.о:)/сесrпва,9пустоеконечноеПримеры и обозначения мощностей.1.11) Мощность множества натуральных чисел - card(N)(читается: а.л,еф-nулъ). Множества мощности No называются=NoС'Четсчетноеnы.ми.1.12) Мощность множества точек интервала (О; 1) - card((O; 1)) =N).с, читается: 'Коnтиnуу.м (иногда обозначается также буквой алеф:Множества мощности с называются коnтиnуа.лъnъtми.1.13) 2А - множество всевозможных подмножеств данного множества А, включая пустое подмножество и само множество А .
НаРис.3:пример, есл~ А= {1, 2}, то 2Аcard(A) = 2 < card(2A) = 4.Дополнение множеств А \В,cardA(и.лиIAI)При этомНа самом деле имеет место следУющее общее утверждение.Теорема'Которая обозн.а'Ч.аетсJ! символомс.л.едующими свойствами:= {0, {1 }, {2}, {1, 2} }.1.1.Дл.я. вся'Кого .м1-ю:жества А верно, 'Чтоcard(A) <card(2A) .
Ои опреде.JLJ1етсяСогласно определению мощности, конечные множества с различным числом элементов имеют разные мощности, равные числу эле1} Ее.ли А= 0, то card(A) =О;2) Ее.ли А= {1, 2, .. ., n}, то card(A) = n;3} (card(A) = card(B)) ~ (3<р: А-> В - взаимн.о-одnоз'Н.а'Чноеотобра:жеnие);ментов в каждом из них .
Основное отличие бесконечных множествот конечных сос'l'ОИ'Г в том, что в бесконечном множестве всегда естьподмножество, не совпадающее со всем множеством, но равное емупо мощности . Это утверждение вытекает из следУющего простого4) (card(A) S card(B)) ~ (3С, С~ В, 3ф, ф: А----> С- взаимноодн.озиа'Чnое отобра:жение);Отметим, что строгое неравенство мощностей:факта.Леммаcard(A) < card(B)означает, что имеется взаимно-однозначное отображение множестваА на некоторое подмножество С, С с В, не совпадающее с В.
ОднакоЕе.ли из .множества1.1.'Ка'Кое-нибудъ 'Число п ,card(N \ {n})-Nудалитъ один элемент-то его мощностъ не изменится. То естъ= No.Доказательство. Достаточно установить взаиыно-однозначноепри этом не существует никакого взаимно-однозначного отображеотображение из исходного множествания множества А на все множество В.N \ {n}. Положим cp(k)k ~ n.= k,еслиNв полученное множество1S k S1п-1, и <p(k)s: k s: п k= k + 1,если1;~ п.Легко видеть, что отображение <р является взаимно-однозначным. ОПользуясь леммойСледствие.ментов§2.ne1.1.1.1,легко доказать следУющее утверждение.Удаление и.ли добавление 'КОНе'Ч.ного 'Ч.исла эле.меняет мощности любого бес'Коне'Ч.ного множества.
ООтношения и операции на множестве. Эквивалентности, порядки, фактор-множество. Понятие об алгебраической системе.Рис.4:Симметрическая разность множеств А6.В =(А \B)U(B\A).Определение2.1 .Пря.мъ~.м. nроизведекие.мнеnустъ~х .м:н.о=еств А1, А2,"., Anиых уnорядочеииых наборов А1 хзадаххъ~х". х An = {(а1, а2, "., a")la, Е А;, i =1, 2, ...
,n}.10n, n ? 2называется совокуnиостъ всевозмо=11континумОпределениежестве А2.2.(n 2: 1)n-ой степени, то есть прямого произведения А хмножества А. ПриПример 2.1). Зададим на множестве Z целых чисел эквивалентность,n и m эквивалентными тогда и только тогда, когда они имеn-арнъtм отношением на данном неnустом мноназЪtвается nро'1.1.8вольное непустое под.множество егоn =О,1, 2·· ·х Аnэ1С8е.мТl.llЯровn-арное отношение наз'Ывают соответполагая числают одинаковые остатки от деления наОтметим, что отображение из множества А в множество В можноющее фактормножество состоит из трех элементов: <О>,<определять (подразумевая его график) как подмножество прямого прозывают эквивалентностью по мо,пулюопределениепишут:Определение2.3.1.6.)Отобра::нсением из множества А в множествоВ назъ~вается такое отношениеfс;;; А х В, что выnолнен'Ы2условия:1 >, < 2 >.Кстати, введенное только что отношение эквивалентности обычно наизведения А х В с дополнительными свойствами.
(Сравните сле,пующеес определениемЧитатель самостоятельно провевидеть, что образуется три класса эквивалентности, то есть соответствусrпвенно нул.ъарным, унарным, бинарнъtм.2.33.рит, что это правило действительно определяет эквивалентность. Ле~:-коn= m(ются отношенияn3 (или сравнением по мо,пулю 3) иmod 3), если n эквивалентно m.
Аналогично определяэквивалентности по МОдУЛЮ n для любого натурального2: 2.Определение2.7. Бинар~~ое отношение <р на мно:>1сестве А называ1) \:/а Е А,3Ь Е В,(а,Ь) Е /;2) ((а, Ь) Е !) Л ((а, с) Е !) =? (Ь =с).ется -часmи-чнъtм nоряд-ком, если оно удовлетворяет следующим тремРас<:мотрим два наиболее часто в<:тречающиеся типа бинарных отноусловиям:шений на множествах, а именно, отношения эквивалентности и отношения1} \:/а Е А, (а, а) Е т (рефл.ексивност-ь};порядка. Пусть А2) ((а, Ь) Е т) Л ((Ь, а) Е r) <=?(а = Ь) (ан.тисиммет.ри'Ч.ность};3) ((а, Ь) Е т) Л ((Ь, с) Е т) =? ((а, с) Е т) (транзитивность).-Определениенекоторое непустое множество.2.4.Бинарное отношение т с;;; А х А назъ~вается эк-Множество А с заданным на нем частичным порядком называют 'Ч.а-вива.ленmносmыо, ес.л.и оно удовлетворяет следующим свойствам:стично упорядоченным .м.ноа1ееством.1} \:/а Е А, (а, а) Е т (реф.л.ексивност-ь};2} ((а,Ь) Е т) =} ((Ь,а) Е т)(симметри'Ч.ность};3} ((а,Ь) Е т) Л (Ь,с) Е т))=}((а,с) Е т)(тран.штивность).При этом, если (а, Ь) Е т, то говорят, что элементы а, Ь являются тэквивалентными друг другу.
В этом случае применяется также обозначеОпределение 2.8. Бинарное отношение т н.азъ~вают .л,инейным порядком н.а множестве А, если т - частичн'Ый порядок, и кроме того,любые два эле.мента х, у Е А сравни.мь~, то есть обязате.11-ьно либо xry,либоyrx.Примеры.ние: атЬ.Определение2.5.Разбиениемнеnустого множества А назъ~вается совокупность его неnустых подмножествS={U"'}"'EI,гдеI -2.2) т - отношение делимости на множестве N, то есть (х, у) Е т вточности то~:-да, когда у делится на х. Нетрудно убедиться, что в данномнекоторое неnустое .множество индексов, и вътолнены следующие дваслучаеусловия:ным порядком.1)И"n UfJ=0,если а,/3Е I и аi= /3;2) U И"= А.<>ElСвязь эквивалентностей с разбиениями. Легко заметить, что всякому разбиениюSсоответствует эквивалентность тs, задаваемая по правилу: ((х,у) Е тs) ~ (3а Еl,x,yЕ И"').
Обратно, если задана эквивалентность т на А, то ей можно сопоставить разбиение Sт, состоящее из подмножеств вида< х >-г:= {у ЕAIyrx},которые называются классамиэквивалентности т элементов х Е А. При этом очевидно, что сопоставляемая такому разбие11ию эквивалентность, как описано выше, совпадает си<:ходной эквивалентностью т. Корректно<:ть таких <:опо<:тавлений читатель легко докажет самостоятельно.r -отношение частичного порядка, не являющееся, однако, линей2.3) Z - множество целых чисел, ~ - естественный порядок.
В данном(Z, ~) - линейно упорядоченное множество.случаеОперации на множестве.Определение2.9.n-арной операцией{n~1}на непусто.м..множестве А называете.я. проиаволъное отображение ивAnв А.=При n = 2 опершции нааываютс.я. бинарными, а при n1 - унарны.ми. Под ну.л:ьарной операцией понимают выделение (фиксацию)в .множестве А некоторого э.л,емента, обладающего особы.ми свойства.ми.Расс~rатривают также ':!астичные n-арные операции, то есть опреr - некоторая эквивалентность на множестве А.Определение 2.6. Факmормно:ж;есmвом множества А по эквивалентности r называет.ся мн.ожество А" всех классов эквивалентноделенные не на всем множестве А, а лишь на некоторой его части.сти по отношен.ию т. Сопоставление каждому эле.менту множества Аражение S: Z х Z-> Z, где V(n, m) Е Z х Z, S((п, m))n m Е Z.2.5) Операция у.м.но~нсени.н, раv,иона.лы~ых 'Чием задается как отобПусть теперьего класса эквива.аентности задает естественное канони'Ч.еское отобра:Jtсение <р,- : А -+ А", называемое така1се отобраа1сение.м факториза-циимноа1еества А по заданной эквивалентности12r.Примеры.2.4) Бинарная операция с.л,о:J1се1-шя ' v,елых 'Чисел задается .как отоб= +ражение М:Q х Q-> Q,гдеV(r,q)13ЕQ х Q, M((r,q)) = r · q Е Q.Бинарная операция въt'Читан:и.я задается на множестве2.6)лых <Iисел как отображение изZхZБZ,цевключена информация о нульарных и унарных операциях выделения осос помощью бинарной опебых элементов носителя О и 1 и перехода к противоположным и обратнымZрации сложения и унарной операции перехода к противоположному<Iислу: V( а, Ь) Е Z х Z, а - Ь = а+ ( -Ь Е Z.2.
7) Частичная бинарная операция де.лени.я рациональных чиселрациональным числам.ной операции умножения и <Iастичной унарной операции перехода к_?пределение 2.11. Алгебраической системой (арифметикои) ра-ционалъных чисел называете.я миожество Q = {1!!./m ЕZ, п Е N} с определенными на нем (и известнъ~ми 'Чиmател.ям} треобратному числу:м.я правилами c.11o:J1ceuu.язадается как отображение изQх(Q \Va Е Q, Vb Е Q \{О}{О}) ва :ЬQ,с помощью бинар= а· ь-1." + ", умн.оженv.я " . " и сравненu.я " < "двух .мобъ~х 'Чисел, удов.летвор.яющими следующим (так:же изве~тнъ~м 'Читате.л.я.м)1) (а~ Ь) /\ (Ь ~с) #(а~ с) - тра'НЗuтивностъ сравненv.я;2) а+ Ь = Ь +а - ком.м,утативностъ с.ложен.и.я·8) а + (Ь + с) = (а + Ь) + с - ассоциативностъ ~ожени.я·4) 30 Е Q, Va Е Q, а+ О = а; - существование и особое 'Алгебраические системы.Определение2.101.Алгебраи'Ческой системой иазЪ1,ваетс.я хеnустое .мхожество (носите.лъ систе.мъt) с заданноu на нем (ко'Не"/,НОU илибесконе"/,}tаи} совокуnностъю оnерачиu и отношении (раз.ли"/,НЪtх арностей).свойство ну.ля;Примеры.2.8}А.лгебраи"/,еска.я система {арифметика) натура.лъных "/,исе.лмножествоNнием полного порядкаS1ЕN(то е<.:ть линейного порядка<.: дополнительнымN имеете.яS х).наименъшиu эле.мент а Е А, то есть такой, что для \;/х Е А, а2.9) А.лгебраи<tеская система {арифметика) че.лъ~х "/,исе.л - это мноZ(носитель системы) с бинарными операциями сложения и умножения, нульарными операциями О,1ЕZ,унарной операцией перехода кпротивоположному числу (то есть числу с противоположным знаком) ибинарным отношением линейного порядка2.10)ство противополоЭ1сных 'Ч.uсел·S.Алгебраическая система {арv,фметика) ра'ЦиО}tа.л.ъхых чисе.лэто множе<.:тво1Qi-(но<.:итель си1..-темы) с оеновными бинарными операциями сложения, умножения, нульарными операциями О,1ЕQ,унарнойоперацией перехода к противоположному числу, частичной унарной опеIQi \{О},рацией перехода к обратному числу, определенной на множествеи бинарным отношениемSлинейного порядка.Отметим, что в примерах2.8-2.10с помощью основных операций сложения и перехода к противоположному элементу образуется операция ВЪ/,<tитанu.я, а в примереб) а· Ь = Ь ·а - ком.м,утативност:~·ь умножен.ия;и бинарным отноше<.:вой<.:твом nо.лнотЪ/,; у всякого неnустого nодмно:Jtсества А изжество5) Va Е Q, 3(-а) Е Q, а+ (-а) =О - существование и свой- это(носитель системы) с основными бинарными операциямисложения и умножения, нульарной операцией2.10(см.
также пример2.7)) -с помощью основных операций умножения и перехода к обратному элементу образуетсячасти'Чная бинарнал опера'ЦU.Я деленил, определенная наQ х · (Q \{О}).Кроме самих операций и отношений, в алгебраических системах важновыделять свойства этих операций и отношений, как индивидуальные, так(*)7) а· (Ь ·с)= (а· Ь) ·с - о.ссоциативн.остъ ум1юЭ1сени.я;В) 31 Е Q, Va Е Q, а· 1 =а - существование и свойствоединиv,ъ~;9) Va =/= 0, 3a-I Е Q, а· (a-I)= 1 - существование исвойство взаимно обратнъ~х 'Ч.исе.л.;10) а· (Ь +с)= а · Ь +а · с - дистрибутивностъ;11) (а~ Ь) Л (с Е IQ) #а+ с~ Ь +с - связъ с.ложенv.я исравнен и.я;12) (Vc >О)/\ (а~ Ь) #а· с~ Ь ·с - связъ умножен,и.я исравнени.я;13) Va Е Q,3п Е N, что а< п - аксиома Архимеда.§3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
