И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко, Е.В. Хорошилова - Вещественные числа и последовательности (1108554), страница 10
Текст из файла (страница 10)
У вся11:ой огра1iu"'еtшой nос.ледовательн.остu существуют (11:оне"'ные} верх11uй и нtЮtСнuй пределы u, в "'аст1юсти,вательностей) и имеет единственную предельную точку (утверждехотя бы одна предельн.ая то"'?Са.ниеДоказательство.ограничена,тоТаккаксуществуютпоследовательностьвещественныечисла{Хп}тиМтакие , что т::;; Xn::;; М Vn Е N. ОбозначиыА = { х Е JRI существует не более "'ем 11:оне"'ное "'ис.ло номеров k Е Nта11:uх, "'тохk> х}.
Ыножество А не пусто (так как М Е А) иограничено снизу (например, числоl\1 тчисло х =- 1).Значит, существуетinf А .Докажем, что х=Jim Xn·n-+ooВыберем произвольное вещественноеf:>О . Так как х= inf А, то : 1) x-f: ~А , следовательно, правее точких- f: на числовой оси лежит бесконечно много элементов последовательности {xn}; 2) существует точках' Е А такая, что х::;; х'значит, правее х' (тем более, правееx+f:)< x+f:,на числовой оси лежит неболее чем конечное число элементов {х"}. Получаем, что в интервале(х - f:, хтельности+ f:)содержится бесконечно много элементов последов~{xn} · Этопредельной точкойПокажемозначает по определению , что точках является{Xn}.-что хнаибольшая из предельпых точек последо1n В0 (х) = 0).вее точки х+ f:,="'2"' > О (тогдаТак как окрестность В0 (х) целиком лежит прато в ней содержится не более чем конечное числоэлементов последовательности{ Xn}.Следовательно, точка х не является предельной точкой {xn}· l\Iы показали, что х=n~~ao Xn·Аналогично проверяется существование нижнего предела последовательности{xn}·ОСледствие 1.
Пусть последовательность {xn} огранu"'ен.а,х = Jim Хп, ;!;. = !i_щ Xn· Тогда 'VE: > О 3N = N(E:) та1е0й, "'тоn-++ooXnn-++ooЕ (;!;. - Е:, х+ Е:)при всех;J;_-E:)n-++ооn -+ +oo>О правеепа числовой оси лежит не более чем конечное числоэлементов последовательности {Xn}. ОСледствие 2 (Теорема Больцано-Вейерштрасса). Из любой огранu"'енной последовательности можн.о выделить сходящуюся подпоследовательность. ОСледствие 3. Последовательность {хп} сходится тогда u=ральный номер N = N(E:) такой, что х" Е (х - Е:,х + Е:) при всехn ~ N (следствие 1). Но это и означает, что х = Jiш Xn.
Оn-+ooУтверждение 4.5. Пусть последовательность {х"} та11:ова,"'то ее мо:>1с11О разбить на 11:оне"'11Ое "'исло М неnересекающихся подпоследовательностей, каждая uз 11:оторых имеет предел:а1, " " ам. Тогда "Ч'UC/la а1,""ам являются nредельньши то-ч11:амu последовательности {Xn}, и другuх предельнъtх то"'е" она неимеет .Доказательство. Пусть {хп} разбита па подпоследовательности{x kn 1 }, "., {xkn М }, т. ч .Xkn 1.Jimn1-+ooа1 , ". ,объединепие дает всю последовательностьВЫIПе,числаа1 ,. . .
, амlimnм-++ооXk nм=ам,{xn}· Тогда, по докаявляютсяпредельнымиточкаai, i = 1". "М. Обозначим Е:1 = (la - а11)/2 > О, "" Е:м = (/а - амl)/2 > О ;Е: = min{ Е:э, . . . , Е:м} > О. Поскольку число а 1 является пределомподпоследовательности {xkn, }, то все элементы этой подпоследов~r.m последовательности {х"}. Пусть а'/=тельности, за исключением конечного числа, принадлежат множеству ВЕ, (а1). И так далее, наконец, все элементы подпоследовательности {хkпм }, за исключением конечного числа, принадлежат множеству Вем (ам ). Зна~IИт, в € - окрестности точки а может лежатьлить конечное число элементов последовательнО<.'ТИ{Xn}(так какпо построению эта окрестность не пересекается ни с одним из множеств В01 (аэ ),.. .
, В<м (ам )), то есть точка а не является{xn} · ОЗамечаниеворя,вательностей.{хп}предельной4.2. Данное утвер:ждение нельзя, вообще гоперенестuнаслу"'айНапример,{1, 1, ~. 1, ~. ~' 1, ~ .бесконе"'1t0горассмотрим"'uс.лаподпоследопоследовате.п.ьностьi, !, 1, ~' k, !, ~. 1, . . . } .Ее .можноразбить на с"'еrпное •шсло непересе11:ающuхся стацuонарнъ~х подnоследоваrпельностей:{xk,} = {1, 1, 1,. " }, {Xk 2 } = {!,~. ~'" . } ". "4948=причем эти подпоследовательности не имеют общих точек , а ихточкойn ;;:;:: N.Доказательство следует из того, что для любого Е:х+Е: (левее4.4).__jJостато"'ность.
Пусть последовательuость {xn} ограничена иlim х" = lim х"х. Тогда для любого Е: > О найдется нату-занномувательности {xn}· Пусть х > х. Обозначим f:В0 (х){xn} сходится. Тогда она ограничена (свойство сходящихся последо{xkn} = {*' *' *'"·},. . . ка:жда.я из которt>LХ имеет предел: 1,! ,t, ... ~, ....Однакоисход-на.я последовательность имеет еще од-ну пределы,ую то'Ч.ку,отличную от перечисленных. Действительно, из последовательности{х~}{хп}Примерни,можнотак:ж:евъ,делитьподпоследовательность= {1, ~, t, ...
, ~, ... }, имеющую своим пределом точку О.4.1.Найдемто'Ч.Н'Ьl.еверхнююинижнююграа так:ж:е верхний и Ни:J/Сний предел'ЬI. последовательности{xn} = {2,-2,1+! 1 - l-~," ., l+~ ,-l-~ 1 ".}:inf {xn} = -2,sup{xn} = 2 (очевид-но); lim Xn = 1, lim Xn = -1 {так как non-+oon-+..J..ooследовательность {Xn} разбиваете.я на две подпоследовательности:{х 1 , х 3 , х 5 , ... } и {х 2 , х 4 , х 6 , ...
}. Первая из этих подпоследовательностей сходите.я к 1, вторая - к -1).Упражнение4.3.t,ой последователъ11остиДоказать,'Ч.mод.л.ялюбойогранu'Ч.ен{xn} имеет место цепо'Ч.ка неравенств:inf{xn} ~ lim Xn ~ lim Xn ~ sup{xn}·n-+сюn--++oo§5.что неравенство Jxn - xl < с:/2 будет выполнено для любого n ~ N.Тем более, для тобого n ~ N и для любого р Е N будет выполненонеравенство lxn+p - xl < с/2. Значит, Vn ~ N и Vp Е N:lxn+p-Xnl= lxn+p -x+x- xnl ~то есть последовательность{xn}lxn+p-xl +lxn -xl < с:/2+с:/2 =с:,фундаментальна.Достатrw•шость.
Пусть последовательность {xn} фундаментальна. Тогда опа ограничена. Значит, согласно теореме БольцаноВейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность {xk,.}. Обозначим х =lim+ Xkn и докажем, чтох= n-.+oolim Xn·n->оаВыберем произвольное с:> О . Так как хто 3N1 = N1(c:) Е N, т.ч. lxkn - xlроны, поскольку<= n-.+oolim xkn Jс:/2 Vn ~ N1.
С другой сто{xn} фундаментальна, то 3N2= N2 (c:)ЕN, т.ч.неравенство lx"+P - xnl < с:/2 будет выполняться Vn ~ N 2 и Vp Е N.Положим теперь N = max{N1 , N2 }. Тогда для любого n ~ N имеем:Критерий Коши сходимости последовательности.Определение 5.1. Последовательность {xn} назuвается фундаментальной или nоследовательн.остью Коши, если '1:/с: > О(так как kn ~ n, то можно считать, что Xknр Е N). Получаем по определению, что х== Xn+p, где рlim Xn· О=Оилиn-++oo3N = N(c) Е N, т.'Ч.. Vn ~ N и Vp Е N вътолнено: lxn+p - Xnl <с:.Лемма 5.1. Пусть последовательность {xn} фундаменталъна.Тогда для любого с: > О найдется натуральный номер N = N(c)такой, что Xn Е ( х N - с:, х N + с) Vn ~ N.Следствие (критерий Коши расходимости последовательности).
Последовательность {xn} расходится тогда и только тогда, когда найдется такое вещественно число с:> О, 'Ч.mо для любогоДоказательство . Положим в определении фундаментальной потуральное число р, для котор'Ьl.Х будет выnолн.ятьс.я неравенство:n = N. Тогда получим, что Vc: > О найдетсяN = N(c:) Е N, т.ч. Vp Е N выполнено : lxN+p-xNI <с:. Это означает,что для любого n ~ N: lxn -xNI <с:, то есть Xn Е (xN -с:, XN +с:). ОЛемма 5.2. Люба.я фундаментальная nоследователъностъ ограследовательностинатурального номераNнайдутся натуральное 'Ч.ислоlxn+p - Xnl ~С:. Оничена.Доказательство. Пусть последовательность{xn}фундаментаJiьна.
Тогда положим в утверждении предыдущей леммы с= 13N Е N, т.ч. Xn Е (xN - 1,XN + 1) при всех n ~ N.Обозначим А= max{lx1I, ... , lxN-11 1 lxNl+l}. Тогда lxnl ~А 'l:/n Е N,то есть последовательность {xn} ограничена. ОТеорема 5.1. (критерий Коши сходимости последовательности) . Последовательность {xn} сходите.я тогда и только тогда,и получим, чтокогда она фундаментальна.Доказательство . Необходимость. Пусть хпроизвольное с:>= n-++oolirn Xn · Выберем= N(c:),О . Тогда найдется Т'd.КОе натуральное N5051n~Nи наГлава2.2.оп111оше11ие т.
Скажем, что две фундамента.л.ьные nос.л.едовате.л.ьности§1главыа, Ь Е А, а= {an}~~ . Ь = {bn}~~ . находятся в отношении т , ес.л.u uxразность а - Ь = {an - bn}~~ хв.л.яется t1у.л.ь-nос.л.едовате.л.ьностью. До1Показать, что nри.м.ехя.я законы двойственности, можно1.1.мен.~~ть .местами оnера:ции U иnв свойствах3)-6)основных операций над .множе с твами.Решение. Покажем, напри111ср , как поменять местами операцииUиnв свойстве6).Пусть И-Обозначим через А множество всех фундамента.л.ьных nос.л.едовате.л.ьностей рацuона.л.ьных чuсе.л..
Введем на нем с.л.едующее бинарноеЗадачи к первой главе§1.Задачи кЗадачи3.некоторое множество , содержащееодновременно J1Jножества А,В и С. В следующей выкладке мы приказа ть, что т2.3.-Э11:вива.л.ентt1ость .Задаiht.м на множествеэ.л.ементов а, Ь ЕN,Nбинарное отношение т, nо.л.агая д.л.ячто атЬ в том и то.л.ько в том с.л.учае, когда а де.л.uтся на Ь . Доказат1>, что отношение т есть части-чнъ1й, но не линейныйпорядок t1aN.Так как А бесконечно, то в нем есть и другие элементы, то естьЗадачи к §3 главы 13.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
