И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко, Е.В. Хорошилова - Вещественные числа и последовательности (1108554), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Доказать: если {х} ~{у}, то sup{x} $ sup{y} .Решение. Предположим , "ЧТО {х} ~ {у}, но sup{x} > sup{y}. Поопределению то"Чной верхней грани множества {х}, для с: = ~ ( sup{ х }sup {y}) > О найдется элемент х' Е { х} такой, что х' > sup{ х} - с: >sup{y}. Но последнее неравенство противоречит условию {х} ~{у} ,в силу которого, очевидно, х' $ sup{y}. О3.2. До'Казать: если А = { х }u{y}, то sup А = max(sup{ х }, sup{y} }.Решение.
1-й способ. Предположим , от противного, что sup А >max(sup{x}, sup{y}). Это означает, что в А= {х} U {у} существуетэлемент, строго больший и sup{x}, и sup{y}, а значит, строго больший всех эле111ентов как из {х}, так и из {у}. Но множество {х} U {у}состоит только из элементов {х} и {у}. Пришли к противоречию. Если предположить, что supA < max(sup{x},sup{y}), то это озна"Чает,А\ {а 1 } -:/что существует элемент из {х} (или из {у}), строго больший всех элеменяем свойстваАu(ВnС)2), 6)=и законы двойственности.(И\ (И\ А))u(U\(U\A))U[U\((U\B)u(U\C))]((И\ (И\ В))n(И\ (И\ С))]== U\[(U\A)n((U\B)U(U\C))] =и\ [((И\ А) n (И\ В)) u ((И\ А) n (И\ С))]= И\ [(И\ (А UB)) u(U \(А u С))]= и\ [И\ ((А u В) n (А u С))]= (А u В) n (А u С).Таким образом , доказано , что АU (В n С)=(Аu В) n (А u С).Предлагаем чит-d.телям самостоятельно получить аналогичные модификации с войств1.2. Доказать:3)-5).в ка:ждом бесконечном мно:жестве есть счетноеnод.мноа1сество .Решение .
Пусть задано произвольное бесконечное множество А.Выберем из него один произвольный элемент и обозначим его а 1 .0.Выберем из подмножества А\ {а 1 } тобой элементи обозна•шм его а 2 . И так далее. Если уже выбраныnэлементовai , ""an, то снова подмножество .4 \ {a 1 "."an} -:f 0. Поэтому прилюбом n можно из А\ {а 1 , ""an} выбрать следующий элемент a.i+ i ·Продолжая этот процесс до бесконечности, получим счетное подмножество1.3.Доказать, чтоЗадачи для самостоятельного решенияДоказатъ свойства1}-8}Задачи кsupA,''то добавле1ше или отбрасwвание конечного чис§2главы1(для самосто.ятелъного решения)Описать класСЪ1 эквивалентности=3,случайsup{x} $ supA, sup{y} $max(sup{x},sup{y}) $ supA.
Осталось искJiючитьmax(sup{ х}, sup{y}) < sup А. Действительно, если предположить, что это так, то в объединении двух множеств существуетэлемент, строго больший любого из элементов {х} и {у}, что невозnoмоду.л.ю5на множестве= {x}n{y}, mosupB $ min(sup{x},sup{y}).min(sup{ х }, sup{y}) = sup{ х }. Предположим, что3.3.Доказать: еслиВsup В > sup{ х}. Это означает, что существует элемент пересе"Чени.я{х} n {у} ~ {х}, строго больший всех элементов JVmожества {х}.
Противоречие. Следовательно, supB $ sup{x}. Симметричный случай,когда min(sup{x},sup{y}) = sup{y}, рассматривается аналогично.'Утверждение доказано.це.л.ых чисе.л..52=но тогдаРешение. Пустьла элементов не мен.~~ет мощности бесконечного множества.2.1.=можно. Полученное противоречие завершает доказательство.основных операций над множествами.1.5. Доказать,= { х} U {у}. Противоречие. Следовательно,единственно вооможный СЛ)rчай: supA = max(sup{x},sup{y}) .Например: {х}{1;2;3}, {у}{3;4;5;6}, тогда sup{x}sup{y} = 6, {х} U {у}= {1; 2; 3; 4; 5; 6}, sup( {х} U {у})= 6.2-й способ.
Так как {х} Е А , {у} Е А, то{a.,.}n=I,2"" , что и требуется .card(Z) = N0 .Решение. Зададим соответствие r.p ыежду множествами Z и N,например, следующим образом : r.p(O) = 1, r.p(k) = 2k , r.p(-k) = 2k + 1,k Е N. Проверьте , что отображение r.p взаимно-однозначно .1.4.ментов из объединения А53Прuмери. l)СтрогоенеравенствоsuрВ< rnin(sup{x},sup{y}) выполнено, например, при: {х} = ( - оо, ~), {у}= {1; 2; 3}:::} {x}n {у} ={1;2}, supB = 2 < rnin(~ 1 3) = ~2) Равенство supB = min(sup{x}, sup{y}) выполнено, например,при: {х} = (1,3], {у}= [2,4):::} {х} n {у}= [2,3] , supB = 3 =rnin(З; 4).3.4.
Пусть { -х} есть множество 'Чисе.л., nротивоnоло:>1Снь~х 'ЧUСлам из {х} . Тогда справедливо равенство: inf{ - x} = - sup{x}.Решение. Пусть sup{x} = М < +оо , тогда, по определению точной верхней грани, \:/х Е { х} х $ М и Vc > О 3х ' Е { х} такой ,что М - с < х' $ М .
Умножая основные неравенства в этом определении на минус единицу, получаем: V(-x) Е {-х}, - х 2: - Ми - М $ -х' < - М +с, где -х' Е {-х}. По определению точной нижней грани это означает, что число-Месть точная нижпяягрань{ -х },то естьinf{ - x} = - М . Утверждение доказано для случая конечного М . Если М = +оо, то множество {х} не ограничено сверху, но тогда множество { -х} не ограничено снизу, а значитinf{-x} = -оо. Утверждение полностью доказано.3.5 Доказать: если {х +у} есть множество всех сумм х +у ,где х Е {х}, у Е {у}, то сnравед.л.иво равенство: inf{x+y} = inf{x} +inf{y} .Решение.
Пусть inf{x} = т' > -оо, inf{y} = т" > - оо. Тогда,последние неравенства означают, что число М' М" является точнойверхней гранью множества {ху} , т.е.или О , рассмотрите самостоятельно.3. 7. Доказать: если {х} - множество nоложительних 'Чисе.л.,inf{x} >О, то верно, 'Что: inf {l}= ~жвuр 1 ж 1 ·Решение. Пусть sup{ х} = М < +оо . По условию, М > О . Поопределению точной верхней грани, \:/х Е {х},О < х $ М, и длятобого достаточно малого с > О существует х' Е {х} та.кой, чтоО < М - с < х' $ М. Обращая эти неравенства 1 получаем что \;/ ! Е1} 11'ж{ ;; , м $ ;; < +оо, а также для достаточно малого с> О существует.l.Е {l'l}й1 < 111Е"'х'ж та.ко , что м _ ;;; < М-.: = м + м(М - •) . .~ак как величинам(:.r-•) может быть сколь угодно малой, то последние неравенстваnpиotteмозп~ч~, что ~ является точной нижней гранью множества { ~},т.е.
шf {-}==-·жSUP\ЖJВ случае sup{ х} = +оо имеем inf { ! }х=- оо, рассмотрите самостоятельно .3.6. Доказать: если {ху} - мно:J/Сество всех nр01.1.Зведений ху, гдех Е {х}, у Е {у}, и множества {х}, {у} состо.ят tLЗ nо.л.о:J1Ситель=tt'Ь/.Х 'Чисел, то верно равенство: sup{ ху}sup{ х} · sup{y}.Решение. Пусть sup{ х} = М' < +оо, sup{y} = М" < +оо. Поопределению точной верхней грани, \:/х Е {х} и \:/у Е {у} верно, чтоО$х$М',О$у$М", а также для любого достаточно малогос> О существуют х' Е {х} и у' Е {у} такие, что О< М'М',О<М"-с<у'$- с< х' $М" . Отсюда, перемножая неравенства,получаем, что \:/ху Е {ху}, О $ ху $ М' М", а также О < (М' с)(М" - с)= М'М" - (сМ' + еМ" - с 2 ) < х'у' ~ М'М" . Так каквеличина сМ' +сМ" - с 2 может быть сделана сколь угодно малой, то54=О = ~sup 1 жr'и, такимобразом, доказываемое равепство также выполняется.3.8.
Показать, 'Что множество всех nравильнuх рациона.л.'Ыt'ЫХ< т < n, не имеетдробей ~, где т и n - натура..л.ьн.ъ~е 'ЧUС.Л.а и Онаименьшего и наибольшего элементов. Найти то"Чные нижнюю иверхнюю грани этого множества.Решение. Из очевидных неравенств Опо определению точной нижней грани, \:/х Е { х} и \:/у Е {у} верно,что х;?: т', у;?: т", а также Vc >О, 3х' Е {х} и 3у' Е {у} такие,что m' $ х' < т' + ~, т" $ у' < т" + ~ . Отсюда получаем, что\:/х + у Е { х + у}, х + у 2': т' + т", а также что Vc > О 3( х' + у') Е{х +у} такой, что m' + т" $ х' +у' < т' + т" +с. Последниенеравенства означают, что число т' + т" является точной нижнейгранью множества {х +у}, т.с. inf {х +у}inf{ х} + inf {у}.Случай, когда хотя бы одна из точных граней inf {х}, inf {у} равнаsup{xy} = sup{x}. sпр{у}.Случаи , когда точные грани sup{x}, sup{y} обращаются в +оо<2m - 12n<!!!:n<2m + l2n< 1следует, что множество всех правильных положительных рациональ-ных ,п;робей не имеет ни наименьшего, ни наибольшего элементов.Действительно, из этих неравенств видно, что для любого элемента~ можно построить правильную рациопалъную дробь как меньшую,так и большую его.Найдем точные грани.
Зафиксируем любое сколь угодно малоеО и покажем, что найдется рациональное положительное число ,меньшее с. Так, взяв произвольное натуральное m, будем увеличис>n до тех пор, пока не получим О < ~ < с (достаточно взять,например, n = [ ~] + 1) . Это означает, что inf { ~} = О. С ,п;ругой стороны , для произвольного с > О легко подобрать правильную ,п;робь,большую 1 - с. Например, взяв произвольное k Е N, будем увеличивать т Е N до тех пор, пока не будет выполняться леравенство1 - с < m~k < 1 (достаточно взять m > k{l - •) ).
Это означает, чтоsup{~} = 1.~вать3.9.1, 2, ...Haйт1Linf{X} иsup{X} , еслиХ = {~± 2 n: 1 }, гдеn =Решение . Представим множество Х в виде объединения двух множеств : Х1 = Н + 2n:i} и Х2=Н55-2n:i}. Ясно, что sup{X} =sup{X 1 }, inf{X} = inf{X2}.t-2{n~t)Из следующих очевидных неравенств= 2(,~1) < 2n~I <2';.=tвидво, что величину 2n~l сростом n можно сделать сколь угодно близкой к числуложим поэтому, чтоinf{X}=О, астрого.
Рассмотрим для любого Е:О< l - -"- < Е:=1идокажем это болееО следующие два неравенства:< t + П < 1. Решивих относительно n,1-2~ Эn > 4е . то ознаrчает, по определению точных граней, что inf{X} =О, sup{X} = 1.22n+l1 - Е:sup{X}>t. Предпо'n+получиы, что оба неравенства выполняются приЗадачи для самостоятельного решения3.10. Пусть {х} ~{у}.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
