И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко, Е.В. Хорошилова - Вещественные числа и последовательности (1108554), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пусть рациональные числа а1, а2, .В1, ,82, удовлетворяют нераN>а.ao,a1."an".О>О. Положим . N = а 0+ 1,Таким образом, мы имеем две алгебраические системы с носителями Q и JR соответственно и одинаковыми наборами из 3 правил с13свойствами(*).Определение4.4. Будем н.азыватъ два. ·члtс.ловъ~х мно:J1сествавариантов значений отношения а доказательство проводится анало-А и В с заданttъ~м на ~тх ttабором из 3 прав~м ( с.ложеttия,, умн.о{}lсе-2627ни.я и сравнения}, об.ладающи.-r; 13 сво'йствами (*), изоморфн:ымидруг другу (относите.лъно этих правил и сво'йств}, еСJ1и имеете.явзаимно-одн.озна'Чное отобра:J1Сение между их носите.л.ями ер : Аственному возрастанию.
Например,-->В (назъ~ваемое в этом случае изоморфизмом}, которое согласовано с заданнъ~.ми правилами и сво'йствами, то естъ въто.лненЪL сле(т =О)ер(О)(r=-1,1)h(r)=3=>(тер( - 1)ер(-2)= -2 ' - l2' l2' 2)дующие ус.лови.я:1) (V'a,b Е А)((а < Ь) => (ер(а) < ер(Ь)));2) (V'a, Ь Е А)(ер(а + Ь) =ер( а)+ ер(Ь));3) (V'a, Ь Е А)(ер(а · Ь) =ер( а)· ер(Ь));замкнуrrw относите.лъно задаююго на множестве С описанного13 сво'йств, ее.ли с.лоа1Сеnие и умножениедвух элементов из В, а ma'IC:>/ce переход к противоположному или кобратному элементу д.л.я элемента из В - дают снова элементы из.множества В, и кроме того, выделенные элементы О и 1 та'IС:>/Се3правил ипринадлежат В.Определение 4.6.
Будем говоритъ, 'Что .множество С с описаннъ~.м выше набором З правил инием13свойств яв.л.яется расширеданного .множества А с таким же набором из 3 правил и13 свойств, ее.ли существует изоморфизм между мноа1Сеством Ас указанным набором правил и свойств и некоторъtм подмножеством В С С, замкнутъtм относите.лъно заданных на С 3 правилс 18 свойствами, но при этом не существует изоморфизма междумножеством А и всем множеством С (отн,осите.лъно указанногонабора правил и своuств).Выясним теперь вопрос об изоморфности или неизоморфностимножествQ и JRрациональных и вещественных чисел с определенными на них описанными выше наборами из 3 правил и 13 свойств.card(Q)Q-->N-3правил и13N0 .Теперь убедимся, что card(:IR)card(A) = card(B).= card((O; 1)) =с.
Для этого достаточно задать взаимно-однозначное отображение фнапример, так: ф(х)=:(О;1) _, R,ctg(1Гx).Q с JR,Q - подмножество всех nериоди"!еских бесконечных десятичныхдробей, кроые дробей с 9 в периоде. Сопоставим каждому рациональному числу r = т_;, где m,n взаимно просты, в качестве 'ГJ(r)f!окажем, что No ~ с. Зададим отображение 'Г/ : Q _,гдеэто же число в виде бесконечной десятичной дроби, полученной делениемmна п "в столбик". Такая процедура исключает появлениебесконечных десятичных дробей с9 в периоде. Кроме того, читателям известно, что всякую периодическую дробь можно однозначнопредставить в виде обыкновенной дроби вида !!! . Поэтому очевидно<бn'1то описанное ото ражение'rJ -взаимно-однозначно.
По определениюNo $ с.card(N) = No .мощности множества, отсюда следует неравенствоОсталось показать, что с= card((O; 1)) f.Предположим противное. Пусть задано взаимно-однозначное отображениеиз (О; 1) в N, то есть задана нумерация натуральными числами всехчисел из интервала (О;1):0, Х11 Х12Х13" .XJn".0, X21X22X23".X2n".свойств, в частности, требуется, чтобы совпадали мощности носителей этих алгебраическихсистем, то есть чтобыер(!)= 6,ер{2) = 7;является взаимно-однозначным . Следовательно= card(N) =Заметим, что в определении изоморфности множеств А и В сописанным выше набором= 2,ep(l) = 3;4,ер( - ~) = 5,=и так далее. Легко видеть, что определенное таким образом отображение 'Р :Определение 4.5. Будем говоритъ, 'Что подмно:>1сество В С Свыше пабора= 1;h(r) = 1 =>h(r) = 2 =}Если это не так, то данныеXnмножества заведомо не изоморфны.Теорема 4.2.
N0 = card(Q) < card(JR) =с.Доказательство. Сначала докажем, что card(Q) = No. Зададимвзаимно-однозначное отображение ер из Q в N следующим образомпо "высоте''.ПустьrЕ=m,n - взаимно просты,m Е Z, п Е N. Определим "высоту" числа r как h(r) = lml + п. Будемнумеровать все рациональные числа по возрастанию их "высоты ",-Q,rт_;, гдеа в конечном множестве чисел с одинаковой "высотой"- по их есте-Но тогда получается противоречие, поскольку вещественное числоЬbk <j {xkk,0,9}, k = 1,2,"., не содержится в{xk}, однако очевидно принадлежит интервалу (О; 1).
Полученное противоречие доказывает, чтос f. No. А так как выше показано, что No ~ с, то следовательноNo <с. D=О,Ь1Ь2· ".Ъn"., гдезаr1умерованной последовательностиИз только что доказанной теоремы вытекают следующиеждения.28293 утверСледствие4.1.Алгебраи'Ческа.п система с носите.п.емуказанными выше правилами!f 13 свойствами,'Ческой системе с носите.п.емQ,Q,с3изоморфн.а алгебраирав'НЪLМ множеству веществен.нъtх'Чисе.п., представимых бесконе'Чными периоди'Ческими дробями (кроме дробей с 9 в периоде), с соответствующими 3 правилами и 13Геометрическая модель.Геометрическая реализация (модель) множества вещественных17 указанныl\1 аксиомам - это множествочисел, удовлетворяющеготочек на числовой оси с соответствующими правила~vш сравнения,сложения и умножения.свойствами.Следствие3правил и134.2.-Q и JRс описа'Н'НЪtм въ~ше наборомОпишем кратко еще две реализации (модели) арифметики веществен'Не .яв.л.яютс.я изоморфными оrrтосителъноных чисел.
Одна их них принадлежит Г.Кантору и заключается в следуМножествасвойствющем.этого набора правил и свойств.Следствие4.3.МножествоJRс указттъ~ми прав7.1,да.ми и свойствами .явл.яетс.я расширепием множестваQс этими:J/Ceправилами и свойствами.Определение4. 7.Мноа1сество А с данным набором правил исвойств пазываетс.я полным относите.л.ън.о этих правил и свойств,если не существует никакого его расширепи.я(отн.осителън.оэтихправил и свойств).Возникает естественный вопрос: существует ли какое-нибудь расширение множества вещественных чиселвыше набора3правил и13свойств, илиR относительно указанногоJR является полным по отношению к ним? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.Теорема4.3 (о полноте множества вещественных чисел).Множество вещественнъ~х 'Чисел JR яв.п..яется полным относительно описан:ного выше набора из 3 правил и 13 свойств.ОВ конце этой главы ыы дадим краткую схему доказательства этойтеоремы.СфорlVrулируем теперь аксиоматический метод определения множества вещественных чисел, который заключается в следующем.Определение4.8 (аксиоматическое).
Мно[НСесmво вещественных чисел. - это такое непустое мн.оа1Сество А, элементыкоторого удовлетворяют 17 аксиомам, в ка'Честве которых берутся описан'Ный выше набор 3 правил и 13 свойств, а так:J1се аксиомаполн.отъ~, то естъ требование полнотъt данного мно:нсества А относите.п.ъно этого набора правил и свойств.Конечно, это определение следует понимать с точностью до изоморфизма относительно указанного набора правил и свойств.Одной из реализаций множества А, удовлетворяющего указан17аксиомам, является, как было показано выше, множествобескоиечно малые последовательности (или иуль-последовательности) .Определим эти поиятия.Определение 4.9. Пос.л.едовате.л.ъность рациональных 'Чисел.
{r 1 , r 2 ,(то есть мно:>кество, занумерованное натура.л.ънъt.м.u •шс.л.ами, причем r; tie обязательно различны при разн·ых i, i 2: I,} называетслфунда.менmалъной, ес.п.и дл..я любого рациона.л.ъного чис.п.а с; > О существует такое натура.л.ьное ч·ис.п.о N = N (с;), что д.л..я всех номеров п, т,где п > N,m > N, вер'НО 1 что lrn - rтl < е...• , Tn, ... }Определение 4.10. Пос.л.едовате.лъностъ рационалъных <~исе.л. {r 1 , r 2...
, r n, ... } н,азывается бесконе-ч,но малой (или нулъ-nоследоваmелъносmъю}, ес.л.и д.л..я любого рационального чис.л.а Е: >О существует такоенатура.л.ьное числ.оN= N(c:),что для всех п, п> N,верно, •~тоlrnl < Е:.Обозначим череэ А миожество всех фундаментальиых последовательиостей рациональных чисел. Введем на ием следующее отношеиие эквивалеитности . Скажем, что две фундаментальиые последовательностиа, Ь Е А, аап }n=l,2, .. " Ь = {Ьп }n=l,2, .." эквивалентиы, если их разиостьа - Ь = {ап - Ьn}n=l,2, ...
является нуль-последовательиостыо. Можно по={казать, что введенное отиошение ЯI1ляется эквивалеитностью. Обозначимэту эквивалентность т.Определение 4.11. Мно:ж;есmво вещественных -чисел (по Кантору) - это фактор-множество А/т, то есть множество классов эквивалентности т на м1tо:>tеестве А фундамента.льнъ1х пос.л.едовате.льностеu ра-циона.11ънь1х чисе.л.Определение 4.12. В моде.ли Кантора вещественное чис.л.о а Е А/тназывается nоло:J/Сu.mелън-ым (оmрицаmелъным}, ес.л.и в этом классе эквива.л.ентности есть положительна.я (отрицательна.я) фундаментальная пос.п.едовате.льностъ {ап}n=1,2, ... , то есть такая, что д.л..я некоМодель Вейерштрасса.нымМОДЕЛЬ КАНТОРА.
В множестве рациональных чисел Q рассматриваются так называемые фундаментальные последовательности иRбесконечных десятичных дробей (исключая дроби с 9 с периоде). Этареализация (модель) арифметики вещественных чисел была предлоторого положите.лъного ра-ционального -чис.л.а r > О существует н,омерN такой, что д.л..я всех номеров п, п > N верно, -что an > r (соответственно an < -r ). Вещественное -чис.л.о а = О, ес.л.и в его классе эквивалентности имеетсл н,уль-пос.л.едовате.л.ьность.Можно показать, что всякая фундаментальная последовательность является либо положителыюй, либо отрицательной, либо бесконечио малой.жена К.Вейерштрассом.Таким образом, все веществеиные числа, по Кантору, делятся на положительные, отрицательные и иуль.3031Определение4.13.Сумма (произведение) двух веществепных{а Е А/а> О},в-"/,исел а, Ь оnреде.л.яетс.я как 'К.llacc эквива.л.ент11ости суммъ~ (nроизведе4.14.Проmuвоnоло:нсное вещественное чисдо кчис.л.у а оnреде.л.яетс.я как 'К.llacc эквива.л.ентности фундамента.л.ьной nос.ледовательности, состо.ящей из чисел, nротивоnоложныхnoОпределение4.15.{b- jb ЕВ}.
При этом обратное се'tение для отри1Можно показать, что определения 4.17-4.22 корректны, и для введензпаку членам какой-нибудь последовательности из класса эквивалентности а .:=чательного сечения А/В определяете.я симметри"/,но. То есть для противоположного сечения (-B)j(-A) строится обратное, как описано в·ыше,и затем берется противоположное к этому обратному.ния} двух любых nредставителей их К.11ассов эквива.л.ентности.Определение1ных правил сравнения, сложения и умножения выполнены13 свойств(*).В заключение приведем краткую схему доказатеJrьства Теоремы 4.3Схема доказательства теоремы 4.З. Нужно рассмотреть множеОбратное вещественное число дм ненулевого чис.ла а оnреде.л.яете.11 как 'К.llacc эквивалентности фундаментальнойnос.ледовательности, состо.ящей (начиная с некоторого номера п} из чиство сечений уже не рациональных, а всех вещественных чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
