И.В. Садовничая, Т.Н. Фоменко, Е.В. Хорошилова - Вещественные числа и последовательности (1108554), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Множество вещественных чисел. Числовая ось.Сравнение вещественных чисел. Приближениевещественных чисел рациональными.В курсе математического анализа требуется иметь дело в основно:мс 'iисловыми множествами . Из школьной программы известны мно­жества N, Z, Q соответственно натуральных, целых и рациональныхчисел. Известно, что N с Z с Q.Числа нужны для измерений. В частности, для измерений длини связывающие их между собой.Для удобства и краткости дальнейшего изложения алгебраическую си­стему рациональных чисел определим следующим эквивалентным обра­зом. Отметим, что в определении1.'J свойствам:2.11ниже в свойства4), 5), 8)и9)уже1 Мы даем здесь упрощенное определение алгебраичекой системы, достаточноедля целей настоящего пособия.

Общее опредедение см., наприм1>р, в14(4].отрезков. Однако множество Q мало для этой цели. В самом деле на­пример, длина диагонали квадрата со стороной 1 есть, как извес~но,V2 - число, не являющееся рациональным. Наша цель - построениетакого более широкого множества чисел, которое было бы достаточ­но для измерений любых отрезков.15Определение3.1Числовой осъю пазываетс.я пр.яма.я, па 'Ко­торой от.ме-ч,епа то-ч,'Ка О {па-ч,ало отс-ч,ета) и въtбрап .масштаб из­мерепий, то естъ от.ме-чепа то-ч'Ка, .являющаяся 'КО'Н'ЦОМ отрез'Ка,отло:ж:еппого из точ'Ки О вправо, длипа 'Которого при'НЯта за еди­пицу.Каждая точка положительной (правой) полуоси числовой осипредставляет число, равное длине отрезка,отложенного от началаотсчета до данной точки, отнесенной к длине масштабного "единич­ного"отрезка, то есть в выбранном масштабе длин.

Откладываяот точки О вправо последовательно единичные отрезки, получим начисловой оси точки, обозначающие1,2,3, ... -все натуральные числа.Откладывая такие же отрезки влево, получим точки, обозначающиеотрицательные числа-1, -2, ... .Чтобы найти точку, изображающуюположительное рациональное число ш (т,п взаимно просты), надоn1т раз отложить вправо от начала отсчета отрезок длины п. Сим-метричная точка слева от начала отсчета будет обозначать число-~. Таким образом, все рациональные числа изображаются точка­ми числовой оси.Итак, мы видим, что на числовой оси имеются точки, соответ­ствующие длинам любых отрезков.

Однако не все эти длины выра­жаются рациональными числами.Наша задача-ввести такое более общее понятие чисел, чтобывсе точки числовой оси, и соответственно длины любых отрезков,представлялись этими числами .Определение3.2.Вещесmвен:н.ъ~м {дейсmвиmелънъ~м) -ч,ис­лом пазъ~вается бескопе-ч,па.я десяти-ч,на.я дробъ со знаком" плюс "" мипус ", то есть об°(}ект вида ±ао, a1a2 ...an···1 где ао ЕN U {О}, ak Е {О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, k :::=: 1, и для любого номерап Е N существует хоrп.я бы одии помер k, k > п, -что ak < 9.

Мпо­илиа1сество вещесrпвени·ых -чисел будем обозпшч.атъТаким образом, вещественные числатичные дроби, исключая дроби с9-IR.это все бесконечные деся-в периоде.Взаимно-однозначное соответствие между точкамичисловой оси и вещественными числами .Построим взаимно-однозначное отображение между множествомчисло десятых (долей единичного отрезка), д.пя которого рациональ­ная точка ао,ai находится на оси пе правее точки а .

Если уже за­фиксировано число ao,a1 .. .an, обозначенное точкой не правее а, тоследУЮщий десятичный знак выберем наибольшим из тех, для ко­торых число ао,ai .. .anan+1 обозначается точкой не правее точки а.И так далее до бесконечности. В результате получим бесконечнуюдесятичную дробь ао, aia2 .. .an···· Если на некотором шаге мы попа­ли точно в точку а, то все последующие десятичные знаки берутся,конечно, равными нулю. Например, число ~ будет таким способомизображаться дробью О, 50000 ... = О, 5(0) с нулем в периоде .

Точке Осопоставим бесконечную десятичную дробь О, О .. .0 ...Обозначим через - а точку, симметричную точке а относительноточки О на числовой оси (то есть такую, что отрезки [-а; О] и [О; а]конгруэнтны). Поставим ей в соответствие бесконечную десятичнуюдробь, соответствующую точке а, но взятую со знаком минус (то естьположим -а= -ао,ai ...an ·· ·)·Ясно, что описанное правило позволяет однозначно сопоставитькаждой точке числовой оси бесконечную десятичную дробь.Замечание 3.1 . Для рациональных чисел, представимых конеч­ной десятичной дробью, можно было бы рассмотреть еще одно, вто­рое правило изображения их бесконечными десятичными дробями.А именно, для рационального числа а > О, представимого конеч­ной десятичной дробью, в описанном выше правиле можно было бына каждом k-ом шаге выбирать такие наибольшие десятичные зна­ки ak, чтобы соответствующая десятичная дРобь а0 , а 1 ...

ak изобра­жалась точкой, находящейся строго слева от точки а на положи­тельной полуоси, пикогда с пей пе совпадая. Используя это второеправило, мы получили бы, например, для числаО, 49999 ...=! представление:О, 4(9) - бесконечную десятичную дробь с 9 в перио­де. Аналогично - для симметричных точек отрицательной полуоси.Таким образом, всякое рациональное число, представимое конечнойдеся'гичной дробью ао, а 1 .. .an, имеет, вообще говоря, два представле­ния в виде бесконечных десятичных дробей - по первому и по второ­му правилу: ао,а1 ... ап(О) и ао,а1 ...

(ап -1)(9) - с нулем с периоде и с9 в периоде. В дальнейшем мы ограничимся во всех случаях толькоточек числовой оси и множеством вещественных чисел. Сначала по­первым правилом представления точек числовой оси бесконечнымикажем, что каждая точка числовой оси единственным образом пред­десятичными дРОбями, не рассматривая тем самым дроби сставима бесконечной десятичной дробью.риоде.Введем следующее первое правило. Пусть а-произвольная точ­ка числовой оси справа от начала отсчета.

Положим а 0 - наиболь­шее число единиц, не превышающее а, то есть точка а 0находитсяпе правее точки а на числовой оси . Затем положим а1 - наибольшее169в пе­DОбозначим множество всех точек числовой оси через Х. Вышенами построено отображениеr:Х -> IR, ставящее в соответствиекаждой точке а Е Х неотрицательной полуоси числовой оси бес­конечную десятичную дробь а 0 , a 1 . . .an··· Е JR, согласно описанномуНАУЧНАЯБИБJIНlУТЕКА 7МГУвыше первому правилу, и сопоставляющее сю.п11етричной а точке -аотрицательной полуоси числовой оси бесконечную десятичную дробь- а 0 , a 1 .. .an".

Е JR, то есть 1(-а)-1(0.).=Ниже мы покажем, что это отображение 'У является взаимно-одио:нач­нымчто позволит нам в дальнейшем отождествля'.rь точки числовои осии со~тветствующие им бесконечные десятичные дроби (без 9 в периоде).Для этого напомним аксиоматическое определение прямой в геометрии ирассмотрим некоторые дополнительные свойства вещественных чисел .='Ч.ис.ло менъше пу.л.я, а ну.лъ менъше всякого по.ложите.лъного 'Ч.исла.Д.л.я, двух отрицате.лънъ~х 'Ч.исе.л р, q будем С'Ч.итатъ, 'Ч.mо рто'Ч,ности тогда (то естъ тогда и то.лъко тогда), когда lqJгде моду.лъ jaJ веществе~щого 'Ч.ис.ла а определяется так:Прямая в геометрии, аксиомы Гильберта.

Для обоснования ев­Jal ={а,2на аксиома о параллельных прямых. Мы не будем здесь перечислять всеэти аксиомы. Обратим внимание лишь на одну из них-аксиому непре­рывности (носящую имя Кантора), которая формулируется следующимобразом.=при k < т, но am < Ьm. Будем с'Ч.итатъ, 'Ч.то а > Ь тогда и то.лъкотогда, когда Ь < а. По.ло:Jtсuм также, 'Ч.то всякое отрицате.лъноеклидовой геометрии Д.Гильбертом в начале 20-го века была предложенасистема из 20 аксиом , описывающих основные неопределяемые понятия:точки, прямые и плоскости - и взаимоотношения между ними . Эти 20аксиом разбиты на 5 групп: 1) 8 аксиом принадлежности, 2) 4 аксиомыпорядка, З) 5 аксиом конгруэнтности, 4) 2 аксиомы непрерывности, 5) од­=равенства: akbk д.л.я всех номеров kО, 1, " .. Будем говоритъ,'Ч.то а< Ь, если существует номер т Е N U {О} такоu, 'Ч.mо akbk-а,<qв< jpj,а~ О,а< О.Объединяя отношения равенства и строгих неравенств, можнорассматривать отношения нестрогих неравенств:~=(>) V (=),~=(<)V(=).Лемма 3.l(транзитивность сравнения.) Ка:ждое из отноше­ний:=,<,>,~'~ - обладает свойством т.ра~-~а·итивности, то ест.ъд.л.я .л.юбъ~х вещественных 'Ч.исел а,Ь,с верно, •~то ((ааЬ) /\ (Ьас))=>с.л.едовате.л:ьностъ (то естъ r1ронумерованная натуралънъ1Ми •шс.лами со­(а.ас), 2де а Е {=, <, >, ~' :::;}.Доказательство.

Проведем рассуждения для случая а=<. Ос­вокупность) отрезковтальные случаи рассматриваются аналогично.Аксиома непрерывности Кантора. Пусть н.а прямой[An; Bn],L задана nо­удовлетворяющая с.л.едующим двум свой­Пусть а= ао, ai".an"" Ь = Ьо, Ь1".Ьn"" с= со, c1".en ". - неотрица­ствам:1. Каждый следующий отрезок [Аnн; Bn+1] является частью nредъ~­дущего, то естъ [An+1; Вnн) <;;;: [An; Bn];2. Для любого отрезка [С; D] н.айдется такой номер n, что [An; Bn) <[С; D],[C;D].то есmъ отрезок[An; Bn]конгруэнтен некоторой части отрезкаТогда наL существует точка М,М Е [An;B,..],n 2: 1.

О3.2. Аксиома Кантора фактически утверждает, что по­следовательность отрезков, удовлетворяющая свойствам 1)-2), имеет един­тельные числа, и пусть одновременно аЗамечаниественную общую точку. Б самом деле, если существуют две такие раз­личные общие точки а 1 , а 2 , то и весь соединяющий их отрезок [а1; а2] так­же, очевидно, содержится во всех отрезках [An; Bn], n = 1, 2, "" Тогда,взяв [С; D] < [а 1 ; а 2 ], мы получим, что, с одной стороны, по аксио.:-~е Кан­тора найдется такой номер n , что[An; Bn] <[С;D] .

Но с другои сторо­ны, вследствие аксиом конгруэитности из системы аксиом Гильберта, если[C;D] < [а 1 ;а 2 ] и одновременно [а1;а2] <;;;: [A,..;Bn], то [C;D] < (A,..;Bn) противоречие со свойством 2) аксиомы Кантора.Сравнение вещественных чисел .Определение3.3. Будем говоритъ, 'Ч.то а2см. по этому поводу, например,:Хс. Это означает, что->JR.Лемма 3.2.

Отображение 'У ин.~sективно.Доказательство. Пусть на неотрицательной полуоси числовой осизаданы 2 различные точки: а, Ь, и точка Ь расположена правее точки а. По­кажем, что тогда -у(а) < -у(Ь). Пусть отрезок (О; с] длины 1(0; c]I = 10-n (гдеО - отмеченная точка числовой оси) конгруэнтен целому отрезку (а; Ь] илинекоторой его части, то есть [О; с]:::;[а; Ь]. И пусть числоnЕN U {О} -наи­меньшее из всех возможных, для которых выполнено это условие. Тогдаиз аксиом коигруэнтности Гильберта следУет, что для любой точкиii, ле­ii] :::; (О; а])и точки Ь (определяемой единственным образом) такой, что отрезок [ii; Ь]конгруэнтен отрезку [О; с], справедливо, что [О; Ь] $ (О; Ь], то есть точка Ьлежит не правее точки Ь.

Характеристики

Список файлов книги