неделько-12 (1106087), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

В физике имеют дело с величинами двух типов: одни из них связаны с направлением в пространстве (скорость, ускорение, сила, …), другие имеют толь ко числовые значения (масса, плотность, энергия, …). Величины, не связанные с направлением, называют скалярами. Чтобы охарактеризовать температуру воздуха в данный момент времени, надо измерить епё (например, в ) – полученное число положительное или отрицательное будет величиной температуры. Точно также можно измерить массу тела, объём, … Отсюда скаляр можно определить так:

Скаляром называется величина, характеризующая при выбранной единице меры одним числом. Стандартным скаляром является отвлечённое число.

А вот если характеризовать скорость точки, одной характеристики – величины скорости – недостаточно. Надо задать направление движения точки, поскольку две точки с одинаковой скоростью могут двигаться по-разному: одна – на север, другая – на юг.

Вектором называется величина, характеризующаяся, помимо измеряющего в единицах меры числа, ещё своим направлением в пространстве.

Простейшим скаляром является число, а простейшим вектором является прямолинейный отрезок , имеющий определённую длину – длину и направление от начальной точки к конечной точке . Каждому вектору (скорости, силы, …) можно сопоставить прямолинейный отрезок, имеющий направление рассматриваемого вектора и длину, равную численному значению вектора (отложенному в некотором масштабе). Скорость точки равна и движется она на восток.

Выбираем масштаб. Единица скорости 1 м/сек. Берём прямолинейный отрезок и стрелкой задаём направление вектора. Откладываем на отрезке 5к единиц скорости. (рис. )

Направление задают двумя числами (например, задавая положение Солнца указывают азимут и высоту, или прямое восхождение и склонение, или долготу и широту). Таким образом, два числа определяют направление вектора и одно – его числовое значение, т.е. вектор характеризуется тремя числами. Сам вектор как таковой числового значения не имеет, числовые значения имеют его длина и направление.

б) Операции с вектором

Сложение двух векторов и .

1. Операцию сложения записывают: .

Правило сложения: чтобы получить вектор , представляющий геометрическую сумму двух векторов и , надо от произвольной точки пространства отложить вектор , к концу его приложить начало вектора и соединить точку с концом вектора . по величине и направлению представляет (рис. ). , называют слагаемыми вектора, ‑ геометрической суммой или результирующим вектором.

Сложение -векторов: чтобы сложить -векторов, надо последовательно отложить в любом порядке векторы , совмещая начало каждого следующего с концом предыдущего и образовать замыкающую линию полученной ломаной линии, ведя её от начала первого вектора к концу последнего. Векторы можно складывать в любом порядке и любое их количество заменять результирующим вектором (рис. ). Часто складываются три вектора, не лежащие в одной плоскости. Геометрическая сумма таких трёх векторов изображается диагональю параллелепипеда, построенного на данных трёх векторах как на рёбрах. (рис. ).

Вычитание векторов: .

Правило вычитания: чтобы получить вектор , представляющий собой разность векторов и , надо от произвольной точки отложить два вектора и , и соединить конец вектора с концом вектора . по величине и направлению представляет вектор (рис. ). Таким образом, в параллелограмме, построенном на и одна диагональ представляет сумму , другая – разность .

Таким образом, точное определение вектора включает не только численное значение и направление, но и требование подчиняться правилу геометрического сложения.

Умножение вектора на скаляр: . При всяком положительном за вектор принимается вектор , имеющий длину и то же направление, что . Если отрицательно, то при умножении его на получают вектор длины , параллельный , но имеющий противоположное направление.

Параллельные вектора называют коллинеарными. Важный случай, когда один из коллинеарных векторов имеет длину, равную единице. Такие вектора называют единичными векторами, или ортами.

Орт вектора обозначают либо , указывая значком , что вектор есть единичный, либо используя другой алфавит, например, . Тогда для любого вектора имеем .

Вектора, лежащие параллельно одной плоскости, называют компланарными.

Если три вектора , , не компланарны, то любой вектор может быть представлен в виде

.

Введём прямолинейную прямоугольную систему координат и отложим на осях орты . Тогда любой вектор , начало которого совпадает с началом координат можно представить в виде суммы трёх составляющих этого вектора и ли с использованием ортов , т.е. . называют составляющими вектора проекции; называют прямоугольными координатами, или компонентами вектора.

с) Проекции и координаты вектора

Итак, в прямоугольной системе координат вектор имеет вид . ‑ координаты вектора, где , , .

‑ угол между направлением вектора и осью . , ‑ имеют такой же смысл.

Обратно, если задают составляющие , т.е. , то это полностью определяет сам вектор. Длина вектора , а направление , , . При этом ‑ это соотношение справедливо для каждого вектора.

д) Правые и левые системы координат

Различают два рода прямоугольных систем координат: левую и правую. В левой системе вращение от оси кратчайшим образом к оси вокруг оси происходит по часовой стрелке (рис. ). Если одновременно с вращением от оси к оси будет перемещение вдоль оси , то это движение винта с левой нарезкой. В правой системе вращение от оси кратчайшим образом к оси вокруг оси происходит против часовой стрелки (рис. ). Если одновременно с вращением от оси к оси будет перемещение вдоль оси , то это движение винта с правой нарезкой. Координаты геометрической суммы нескольких векторов равны алгебраическим суммам координат слагаемых векторов.

Наконец, можно указать ещё правило правой и левой руки. Если направить большой, средний и указательный пальцы соответственно по осям , , , то правая рука укажет соответствие осей в правой системе, а левая – в левой. В физике используется исключительно правая система

е) Скалярное или внутреннее произведение двух векторов

Скалярным или внутренним произведением двух векторов и называется произведение длин обоих векторов, умноженное на косинус угла между векторами; .

Скалярное произведение положительно, если и отрицательно, если , при , если , то .

т.е. скалярное произведение векторов равно произведению длины одного из векторов на проекцию другого вектора на направлении е первого.

Если вектора задаются координатами и , то .

ж) Векторное или внешнее произведение векторов

Векторным или внешним произведением двух векторов и ( ) называется вектор, по величине равный площади параллелограмма, построенного на векторах и , перпендикулярный плоскости этих векторов и направленный в такую сторону, чтобы вращение от и на кратчайшем пути вокруг полученного вектора происходило в ту же сторону, что и вращение от оси к оси вокруг оси (рис. ).

Длина вектора по определению равна . От перестановки сомножителей векторное произведение меняет свой знак . Если векторы заданы координатами и , то .

Таким образом, -компонента

-компонента

-компонента

з) Аксиальные вектора

Изображение векторного произведения по сути можно свести к площадке , имеющей определённое направление обхода. Действительно, если взять площадку , вернее, ориентированный контур , ограничивающий площадь , и спроецировать его на координатные плоскости прямоугольной системы координат , то будут три контура , ограниченные замкнутыми контурами . Эти величины считают положительными, если контуры (рис. ) обходятся в положительных направлениях, и отрицательными – в противоположном направлении.

Положительные направления обхода контуров задаются по-разному от того, какая используется система координат – правая или левая. В правой системе координат направление обхода контуров считаются положительными, если они находятся в правовинтовом соотношении с положительными направлениями координатных осей , , соответственно, а в левой системе – в левовинтовом. Поэтому в правой системе координат вращение винта с правой нарезкой в положительном направлении контура приводит к поступательному перемещению винта в положительном направлении оси . представляют интегралами

; ,

взятыми по контурам .

Эта тройка чисел ( ) образует вектор. Такие вектора называют аксиальными.

Таким образом, аксиальный вектор может изображаться ориентированным контуром, однако, чтобы удобнее было оперировать с аксиальными векторами вводится вектор, который представляет собой направленный отрезок , длина которого численно равна площади , ограниченной контуром , а направление находится в правовинтовом соотношении с направлением обхода по контуру, если используется правая система координат, и в левовинтовом соотношении, если используется левая система (рис. ). Направленный отрезок не зависит от системы координат и является вектором. Его проекции на оси координат равны: , , .

§ 2. Поля и их инварианты

а) Скалярное и векторное поля

Если с каждой точкой пространства (или локальной его области) связано значение скалярной или векторной функции, то это пространство (или локальная его часть) называют полем скалярным, если имеет место скалярная функция, или векторным, если функция векторная. Так, в атмосфере имеет место скалярное поле давлений, поскольку в каждой точке атмосферы существует какое-либо давление; в реке имеет место векторное поле скоростей частиц воды и т.д.

Характеристики

Список файлов лекций