неделько-12 (1106087), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Поскольку каждая точка среды определяется радиусом-вектором , то независимой переменной в функциях, заданных в каждой точке поля, является радиус-вектор .

Задание скалярной функции сводится к заданию функции от трёх координат точки, задание векторной функции сводится к заданию трёх скалярных функций , , , являющихся компонентами вектора .

Если функции зависят ещё и от времени , , то поля называют переменными ли нестационарными, если функции зависят только от , то поля называют постоянными или стационарными.

б) Наглядное представление полей

Для наглядного представления используют графическое изображение полей. Пусть задано скалярное поле . Пусть в некоторой точке функция принимает значение . Если отметить все точки, в которых значение функции равно , то они займут некоторую поверхность или несколько раздельных поверхностей, которые называются поверхностями уровня, или изоповерхностями (рис.). Их уравнение в декартовых координатах имеет вид (рис.). Например, на синоптических картах таким образом наносятся изобары, т.е. линии уровня для скалярного поля давления.³ При этом изобары наносятся обычно через каждые несколько миллибаров. Если аналогичным образом провести поверхности уровня функции , отвечающие равноотстоящим значениям функции, то получится картина, указывающая на ряд свойств изучаемой функции. Так, места сближения двух последовательных изоповерхностей указывает на быстрое изменение здесь функции, причём это изменение происходит в направлении, перпендикулярном к изоповерхности, в то время как при перемещении вдоль самой поверхности значение функции совсем не меняется.

В случае векторного поля используют векторные линии, т.е. такие линии, во всякой точке которых вектор имеет направление касательной к линии (рис.). Эти линии строятся следующим образом. Выбирают какую-нибудь точку поля и откладывают вдоль вектора, характеризующего эту точку, отрезок малой длины , с концом этого отрезка поступают совершенно таким же образом и продолжают так же дальше. Получают ломаную линию, коорая тем ближе к векторной линии, чем меньше , в пределе эта ломаная линия переходит в векторную линию.

Если задан вектор и его составляющие , , , то уравнение дифференциальное векторных линий .

Таким образом, задание векторных линий позволяет определить направление вектора, характеризующего поле, в каждой точке, путём построения касательной в каждой точке.

Однако для определения величины поля в каждой точке существует другой метод. Можно идти двумя путями.

I. Поскольку величина вектора есть скаляр , то можно задать скалярное поле модуля и построить изоповерхности.

II. Характеризовать величину вектора густо той проводимых линий. При этом густоту линий измеряют, проводя через каждую точку маленькую ортогональную к линии площадку, и считают на ней число пересечений её векторными линиями и относя это число к единице площади (рис.).

в) Инварианты поля

Существуют характеристики поля, которые не зависят от выбора системы координат, а зависят только от свойств самого поля. Такие характеристики называются инвариант амии поля. Эти характеристики очень удобны, поскольку делают возможным прямое изучение свойств полей и не надо проводить дополнительных операций при переходе от одной системы координат к другой.

1. Градиент. Совокупность точек поля, в которых функция поля имеет одинаковое значение , называют поверхностью уровня или эквипотенциальной поверхностью. Аналитически эта поверхность характеризуется уравнением: . На рис. изображено сечении е плоскостью чертежа двух поверхностей уровня, соответствующих значениям , равным и . ‑ нормаль к поверхности уровня , направленная в сторону возрастания .

Если расстояние между уровнями , то приращение функции , нормированное на , будет равно . Предел этого отношения даёт вектор, численно равный и направленный по нормали к поверхности уровня. Этот вектор называют градиентом и обозначают , т.е. . В математике показано, что в системе координат

Направление градиента есть направление наиболее быстрого возрастания скаляра .

2. Поток вектора через поверхность. В векторном поле выделим элементарную площадку . Напомним, что элементарная величина та, для которой все другие величины, связанные с ней, остаются постоянными. В данном случае вектор , характеризующий поле (рис.), в пределах площадки остаётся постоянным по величине и направлению. Проведём положительную нормаль к площадке. Напомним, что если задано направление обхода, то направление положительной нормали выбирают так, чтобы эта нормаль образовала вместе с контуром правовинтовую систему. Направление нормали будем характеризовать с совпадающим с ней единичным вектором ( ). Элементарным потоком вектора через площадку называют величину . Чтобы определить поток через произвольную площадь, надо разбить эту площадь на элементарные площадки, получить элементарные потоки и просуммировать их, т.е.

.

Надо проделать предельные переходы, и тогда

, где .

Данная величина получила название потока, потому что впервые использовалась в гидродинамике. В гидродинамике изучается векторное поле скоростей жидкости, т.е. в гидродинамике вектором является конкретный вектор скорости жидкости , и значит для него поток . Как видно из рис. и означает объём жидкости, протекающий в единицу времени через площадку , а обозначает объём жидкости, протекающий через конечную площадь .

3. Дивергенция вектора. Итак, поток вектора через поверхность вычисляется посредством интегрирования по поверхности : . При этом поверхность может быть замкнутая. Для замкнутой поверхности выражение потока имеет вид . Если обратиться к гидродинамике, то и данный поток означает количество жидкости (по объёму), вытекающей в единицу времени из объёма, ограниченного замкнутой поверхностью . Если , это значит, что внутрь втекает жидкости больше, чем вытекает, если , это значит, что внутри есть источник жидкости.

Величина есть величина математическая и с ней проводят различные операции. В частности, существует операция по преобразованию поверхностного интеграла в объёмный. Процедура преобразования носит название теоремы Гаусса. Поскольку, как уже указывали, не физиков это дело – выводить новые математические формулы (это дело математиков; а физик использует конечный продукт), то дадим конечную формулу

.

Функцию называют дивергенцией вектора .

Итак, поток вектора через произвольную замкнутую поверхность можно вычислять и через поверхностный и через объёмный интеграл. В первом случае надо знать , во втором ‑ его дивергенцию.

Выражение для дивергенции имеет вид

,

т.е. это скалярная характеристика векторного поля.

Если опять обратиться к гидродинамике, то для вектора скорости элементарный поток будет иметь вид , т.е. отсюда следует, что в данном случае равно бесконечно малому приращению пот ока жидкости, нормированного на единицу объёма жидкости , причём, будучи скалярной, не зависит от направления. Это значит, что если из этого объёма жидкость вытекает или в объём втекает, то дивергенция отлична от нуля.

Таким образом, жидкость растекается только из тех мест поля, где , причём в разные стороны. Отсюда и название «дивергенция», что по-латыни означает «расходимость» (в данном случае воды). Принято точки поля, в которых , называть истоками этого поля. Числовые значения называют силой истоков поля. Иногда точки поля, в которых , называют стоками поля. Векторные поля, в которых , называют соленоидальными.

4. Циркуляция вектора и его ротор. Пусть в поле вектора задана кривая с направлением обхода, которое считают положительным (рис.). Разбиваем кривую на элементарные элементы , направление которых совпадает с положительным направлением обхода. Умножаем каждый скалярно на значение вектора в соответствующей точке поля, и суммируем полученные произведения ( ), т.е. имеем . Предел этой суммы , где называют линейным интегралом вектора вдоль кривой . Если кривая замкнута ( ), то линейный интеграл вдоль неё называют циркуляцией вдоль :

.

Итак, циркуляция вектора вдоль замкнутой линии рассчитывается через линейный интеграл, т.е. интегрирование ведётся по длине. Однако с помощью математических операций этот интеграл можно преобразовать к интегралу по площади , которая ограничена замкнутой линией . Ещё раз напомним, что не дело физиков выводить формулы, их дело – использовать конечный результат, а именно:

.

Это уравнение выражает собой так называемую теорему Стокса, которая читается так: циркуляция произвольного вектора по замкнутой кривой , равна потоку ротора этого вектора через поверхность , опирающуюся на кривую .

Таким образом, в поверхностном интеграле находится нормальная составляющая вектора, который называют ротором вектора .

В процессе преобразования линейного интеграла в интеграл поверхностный проводят математические операции с подынтегральным выражением, что приводит к появлению комбинаций производных слагающих вектора. Эти комбинации, как доказывают математики, являются компонентами некоторого вектора, который и называют ротором; т.е. есть вектор, имеющий три компоненты. Если используется прямоугольная система координат, то это ‑ ‑ компонента; ‑ ‑ компонента, ‑ ‑ компонента, если ввести орты, то ,м

Характеристики

Список файлов лекций