неделько-12 (1106087), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

где: , , .

Ротор вектора может быть представлен в форме символического определителя

.

Чтобы представить смысл ротора, рассмотрим поле скоростей твёрдого тела в некоторый момент времени (рис.). Если рассматриваемая точка имеет радиус вращения , линейную скорость и угловую скорость , то связь и имеет вид .

Компоненты имеют вид

, , .

Таким образом,

; ; .

Итак, .

Итак, в этом случае представляет в данном случае удвоенную угловую скорость вращения тела. Это означает, что если тело вращается, . Если тело не вращается (или в покое, или совершает поступательное движение), то . Такие роторы связаны с вращением. Поэтому их ещё называют вихрями. Да и само название «ротор» указывает на вращение. Поле вихря ротора можно изобразить графически. Графическое представление такого поля даётся векторными линиями вектора вихря , или, как их ещё называют, вихревыми линиями вектора .

§ 3. Комплексные числа в физике

1. Общие замечания о комплексных числах

Если посмотреть на историю математики, то можно увидеть, что по мере её развития понятие числа расширялось: к натуральным положительным числам добавились отрицательные числа, к целым числам дробные числа, к рациональным числам – иррациональные. Всех их объединяло наличие числовой оси, на которой они находились, и единственный смысл – количественный.

Проблема расширения понят2ия числа привела к плоскости, т.е. стала проблемой создания чисел, принадлежащих не числовой оси, а числовой плоскости. Было известно, что на плоскости можно разместить точки, каждая из которых характеризуется двумя числами ( ). Для работы с точками на плоскости можно использовать векторы, например, положение точки задать радиус-вектором , введя орты на осях координат и в этом случае , где ‑ единичные векторы вдоль осей , исходящие из начала координат. Для радиус-вектора определён его модуль и правило сложения: для заданных и или , . Операция сложения не выводит суммарный вектор из плоскости. Поэтому данные свойства можно приписать и числам, расположенным на плоскости. Другими словами, можно было в рамках операции сложения «превратить» точки плоскости в числа. «Плоскостные числа» имели свойства векторов, но не все, а некоторые. Так, произведение векторов либо выводит получаемый при этом вектор (векторное произведение) из плоскости в другую плоскость, либо выводит из плоскости вообще (скалярное произведение). Поскольку «плоскостные числа» должны оставаться в плоскости, то для них правила умножения, применяемые к векторам, не подходят. С другой стороны, поскольку обычные (осевые) числа представляют собой частный случай плоскостных, то операции у них могут быть общие. Поэтому, считая, что операция умножения плоскостных чисел производится по тем же правилам, что и для «осевых», перемножим два плоскостных числа и . Итак, представим плоскостные числа в форме аналогичной векторной (рис.) (поскольку они имеют некоторые их свойства), но перемножим их по правилу перемножения чисел.

для векторов ‑ вектор, имеющий проекции по осям (1,0) и -вектор (0,1).

Для числа на плоскости это и символы операции, так ‑ единица операции умножения. Чтобы установить смысл , проведём умножение двух плоскостных чисел и . Получим . В произведении присутствуют составляющие с , и . С другой стороны, мы должны получить в результате операции число на плоскости, т.е. число вида . Поэтому надо проанализировать произведение и определить из него так, чтобы для произведения плоскостного числа сохранялись его общий вид и правила сложения как для компонент векторов. Рассмотрим равенство . Точка на плоскости характеризуется координатами (1,0), а точка ‑ (0,1). Это выражение можно интерпретировать так: точка (0,1) переводится из точки (1,0) в результате действия на точку (1,0) операции, обозначенной символом , но такой результат может получиться, если плоскость, на которой расположены точки, повернуть против хода часовой стрелки на . Таким образом, можно считать, что символ означает поворот плоскости на , тогда двукратное применение операции поворота приводит к повороту на , но при повороте на точка (0,1) переходит в точку (0, -1), т.е. . В этом случае

остаётся плоскостным числом с сохранением всех его свойств. Итак, в рамках заданных требований плоскостное число имеет вид и состоит из двух вещественных чисел, числовые оси которых перпендикулярны по отношению друг к другу. Символ указывает на это. По сути, вид комплексного числа отражает факт, что комплексное число принадлежит плоскости, проведённой через две перпендикулярные прямые. Плоскостное число не просто сумма двух «осевых» чисел, а включает символ , по сути связывающий оси между собой, т.е. является комбинацией двух вещественных чисел или комплексом двух вещественных чисел. Поэтому числа на плоскости называют не плоскостными, а комплексными, а саму плоскость, на которой они расположены, комплексной плоскостью. Название «комплексное число» придумал К. Гаусс, символ « » ‑ Л. Эйлер. Как мы уже говорили, вещественные числа имеют смысл количества, причём непосредственно приложимы к объектам реального мира. Так, число т ри имеет количественный смысл и прямо приложимо к количественным характеристикам объекта или их совокупностям: арбуз весит 3 кг, верёвка выдерживает трёх орлов и т.д.

Количественная оценка вещественных чисел возможна именно потому, что вещественное число имеет одну составляющую и эту составляющую у разных объектов можно сравнить посредством операций: равно, больше, меньше. Комплексное число состоит из двух составляющих (действительной и мнимой). Можно сравнить между собой действительные составляющие, мнимые составляющие или их комбинации (модули, аргументы), но нет правил, обеспечивающих возможность количественного сравнения (больше, меньше) комплексных чисел как целых. Аналогичную ситуацию можно наблюдать у векторов – для них существуют количественные сравнения модулей, проекций, но нет правил количественного сравнения для векторов как целых объектов. Поэтому обычно для работы с компактной формой записи выражений и проведения операций, не зависящих от системы координат, скалярное представление используемой информации переводят в векторное представление. В рамках векторного представления проводят вычисления, но для получения количественного результата делают перевод векторного представления конечных формул в скалярное представление, и уже в рамках скалярного представления получают количественные результаты. Аналогично работают и с комплексными числами. Практика показывает (да это и очевидно, ибо плоскость имеет гораздо больше возможностей, чем плоскость), что комплексные числа являются очень эффективными объектами при проведении расчётов, при этом в ряде случаев они являются единственно возможными объектами для работы. Например, их использование в квантовой механике необходимо, ибо в противном случае аппарат расчётных средств становится слишком велик и громоздок. Полная цепочка работы с комплексными числами в физике выстраивается так: если имеют дело изначально с данными опыта, то опытные данные всегда задаются в виде вещественных чисел. Для эффективности работы числа из вещественного представления переводят в комплексное. Проводят операции с ними до получения результата. Этот результат (конечные формулы) переводят в вещественное представление и уже в рамках использования действительных чисел получают количественные результаты. Для перевода вещественного представления чисел в комплексное, и для перевода комплексного представления чисел в вещественное, существуют формальные правила..

Отметим, что комплексные числа являются максимально возможным расширением понятия числа, поскольку, как доказал Ф. Фробениус, дальнейшее расширение понятия числа невозможно.

2. Примеры эффективности использования комплексных чисел в физике

Не вдаваясь в подробности относительно операций и правил, используемых в теории комплексных чисел, их можно посмотреть в справочнике по математике. Приведём основные формулы.

1. Виды представления комплексных чисел:

а) координатное ;

Характеристики

Список файлов лекций