неделько-12 (1106087), страница 21
Текст из файла (страница 21)
б) тригонометрическое 
, где 
; 
; 
;
в) показательное 
.
2. Формула Эйлера 
.
В качестве первого примера рассмотрим сложение гармонических колебаний 
и 
. Получим сумму колебаний в рамках действительных чисел
Теперь получим сумму колебаний в рамках комплексных чисел.
а) Надо перевести формулы колебаний в комплексное представление. Поскольку колебания задаются действительными числами, то перевод в комплексное представление должен быть таким, чтобы действительное представление стало действительной частью комплексного числа. Формула колебаний имеет вид 
. Тогда, используя формулу Эйлера, переведём колебание в область комплексных чисел
.
Из формулы видно, что действительная часть сохраняет изначальный вид колебания, записанный в действительной форме.
б) Проведём операции в комплексном представлении
в) Переведём выражение в вещественное представление, для этого надо оставить только действительную часть. Оставляя её, убеждаемся, что получен тот же результат, ч то и прямым сложением колебаний в действительном представлении.
Поскольку в рамках операции сложения комплексные числа обладают свойством векторов, то операцию сложения можно проводить графически, представляя комплексное число вектором, начало которого совпадает с началом координат, длина которого равна амплитуде колебаний, а направлен вектор под углом 
к оси координат 
. Сложение комплексных чисел как векторов проводится по правилу параллелограммов.
В этом примере дано общее представление о действиях, которые имеют место при использовании в расчётах комплексных чисел.
Второй пример показывает эффективность использования комплексных чисел. В качестве второго примера рассмотрим вынужденные колебания механического осциллятора. Уравнение вынужденных колебаний механического осциллятора имеет вид:
.
В соответствии с общим порядком действий, переведём уравнение в комплексное представление, используя формулу Эйлера, тогда правая часть уравнения примет вид:
.
В комплексном представлении силы действительная часть выражения равна изначальному выражению для силы, т.е. эту формулу использовать можно. Проведём операции в комплексном представлении, решение зададим в виде: 
, где 
. Такой вид решения обусловлен тем, что в области действительных чисел решение данного уравнения 
. Используя формулу Эйлера, мы, по сути, переводим это решение в комплексное представление. Подставляя это решение в уравнение, имеем:
. Откуда 
.
Приводим 
к виду 
, для этого числитель и знаменатель умножим на 
и получаем:
Используя это выражение, находим:
и 
Теперь надо перейти в область вещественных чисел. Для этого надо взять действительную часть полученного решения в комплексном виде. Решение в комплексном виде 
. Действительная часть этого решения 
, где 
и есть решение уравнения вынужденных колебаний механического осциллятора.
Процесс решения уравнения с использованием комплексных чисел более компактный, чем решение с использованием вещественных чисел. В это мы можете убедиться сами, решив это уравнение в рамках вещественных чисел или посмотрев решение в литературе (например, Стрелков. Механика).
Литература
-
Эйнштейн А. Собрание научных трудов. ‑ Т. 4. М. Наука. 1967. С. 136.
-
Таунс Ч. Ж. прикладной метафизики. ‑ № 1. 2006. С. 38.
-
Ильин В. Теория познания. Эпистемология. ‑ Изд-во МГУ. 1994.
-
Кун Т. Структура научных революций. ‑ М. 1975. С. 18.
-
Фролов Б. Гипотезы. Прогнозы. ‑ Будущее науки. Вып. 23. 1990. С. 252.
-
Стройк Д. Краткий очерк истории математики. – М. Наука. 1984. С. 70.
-
Аристотель. Сочинения. – Т. 3. Физика. Изд-во Мысль. 1981. С. 61.
-
Платон. Сочинения. – Т. 3. Ч. 1. М. Мысль. 1971. С. 340.
-
Спиноза Б. Избранные сочинения. – М. 1957. С. 217.
-
Спиноза Б. Избранные сочинения. – М. 1957. С. 238.
-
Декарт Р. Избранные произведения. – М. Госполитиздат. 1950. С. 56.
-
Декарт Р. Правила для руководства ума. – М. Соцэгиз. 1936. С. 68.
-
Клайн М. Математика. Утрата определённости. – М. Мир. С. 57.
-
Декарт Р. Рассуждения о методе с приложениями. – М. Наука. 1953.
-
Клайн М. Математика. Поиск истины. – М. Мир. 1988. С. 84.
-
Григулевич И. Инквизиция. – М. Изд-во политлитературы. 1985. С. 373.
-
Григулевич И. Инквизиция. – М. Изд-во политлитературы. 1985. С. 392.
-
Клайн М. Математика. Утрата определённости. – М. Мир. 1984. С. 58.
-
Галилей Г. Избранные труды в двух томах. – М. Наука. 1964. С. 243.
-
Ньютон И. Математические начала натуральной философии. – Л. Изд-во АН СССР. 1936. С. 3.
-
Ньютон И. Оптика. – М. Гостехиздат. 1954. С. 280.
-
Ньютон И. Математические начала натуральной философии. – Л. Изд-во АН СССР. 1936. С. 659.
-
Ньютон И. Математические начала натуральной философии. – Л. Изд-во АН СССР. 1936. С. 661.
-
Галилей Г. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки. – Т. 2. М. Наука. 1964. С. 243.
-
Клайн М. Математика. Утрата определённости. – М. Мир. С. 70.
-
Юм Д. Сочинения в двух томах. Т. 2. М. Мысль. 1965. С. 258.
-
Ньютон И. Математические начала натуральной философии. – Л. Изд-во АН СССР. 1936. С. 244.
-
Физический энциклопедический словарь. – 1983. С. 221.
-
Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного анализа. – Изд-во АН СССР. М. 1951.
-
Боярчук А. Справочное пособие по высшей математике. Функции комплексного переменного. Теория и проблема. – М. 2001.
-
Левич В.Г. Курс теор. Физики. – М. 1962.
-
Физика. Учебник PSSC. – Пер. под ред. Ахматова А.С. М. Изд-во Наука. 1965.
-
Елютин В.В., Чижов Г.А. Словарь-справочник по элементарной физике. – М. МГУ. 1995.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
-
Предмет изучения физики.
-
Физическое явление и его модель.
-
Цель физического описания.
-
Физические и математические модели объектов.
-
Физические величины и физические законы.
-
Категории научных моделей.
-
Структура научного знания.
-
Физика Аристотеля (основные положения).
-
Физика Галилея-Ньютона (основные положения).
-
Аксиоматический метод в физике.
-
Возможности аксиоматической системы.
-
Аксиоматика механики Ньютона.
-
Физические величины и физические законы как следствия аксиоматики Ньютона.
-
Модели механики Ньютона.
-
Физические величины, характеризующие систему материальных точек: импульс системы, момент импульса системы, потенциальная энергия.
-
Центр масс и его свойства.
-
Основные характеристики механической волны.
-
Термодинамический подход.
-
Термодинамические параметры: температура, количество теплоты, количество работы.
-
Равновесное состояние. Термическое уравнение состояния.
-
Термодинамический процесс.
-
Квазистатический процесс. Равновесный и обратимый процессы.
-
Внутренняя энергия термодинамической системы как функция состояния.
-
Теплота и работа как меры передачи энергии.
-
Неравноценность теплоты и работы.
-
Первое начало термодинамики.
-
Второе начало термодинамики.
-
Циклические процессы. Цикл Карно и его к.п.д.
-
Статистический подход.
-
Фундаментальные распределения Гиббса.
-
Электрический заряд и его свойства.
-
Закон Кулона и интерпретация механизма взаимодействия зарядов в модели дальнодействия.
-
Электрический ток и его характеристики.
-
Потенциальная функция и работа при движении заряда под действием кулоновских сил.
-
Закон Ома.
-
Сторонние силы. Электродвижущая сила. Напряжение.
-
Закон Джоуля.
-
Закон взаимодействия элементов тока и его интерпретация в модели дальнодействия.
-
Токи проводимости и токи молекулярные. Вектор намагниченности.
-
Электромагнитная индукция.
-
Модель близкодействия Фарадея и интерпретация взаимодействия зарядов в этой модели.
-
Интерпретация взаимодействия элементов токов в модели близкодействия.
-
Законы Био-Савара.
-
Закон Ампера.
-
Вектор магнитной индукции.
-
Классификация вещества по магнитным свойствам.
-
Математическая сущность статистических полей.
-
Уравнения Максвелла как полная система аксиом.
-
Аксиоматика Максвелла в интегральной форме и физический смысл законов.
-
Дифференциальная форма уравнений Максвелла.
-
Волновые уравнения Максвелла и их решение.
-
Свойства электромагнитной волны.
-
Классификация электромагнитных волн по частоте.
-
Модель «геометрическая оптика». Законы отражения и преломления.
-
Монохроматический луч. Дисперсия. Нормальная и аномальная дисперсия.
-
Фундаментальная модель волновой оптики и её свойства.
-
Поляризация света.
-
Явление интерференции.
-
Дифракция и условия её наблюдения.
-
Принцип Гюйгенса-Френеля.
-
Корпускулярная оптика. Модель Ньютона.
-
Современная корпускулярная модель.
-
Вероятностная модель формирования изображения.
-
Фотоны. Энергия и импульс фотона.
-
Фотоны и уравнение Максвелла.
-
Специальная теория относительности как следствие уравнений Максвелла.
-
Основные постулаты специальной теории относительности.
-
Масса и энергия в специальной теории относительности.
-
Корпускулярно-волновой дуализм.
-
Волновые свойства электрона.
-
Волновая функция и её физическая интерпретация.
-
Уравнение Шредингера.
-
Особенности поведения и структуры микрочастиц.
-
Принцип неопределённости Гейзенберга.
СОДЕРЖАНИЕ ЧАСТИ I.
Раздел I. Общие положения………………………………………………………………… стр.
§ 1. Что и как изучают в физике…………………………………………………………….
§ 2. Законы природы и законы науки……………………………………………………….
§ 3. Категории научных моделей……………………………………………………………
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
