Е.С. Голод - Курс лекций по высшей алгебре (1106008), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Кольца. Поля. Алгебры2.1. Основные понятия и теоремы2.1.1. Кольца. Гомоморфизмы колец. Идеалы и факторкольцаНапомним, что кольцом называется множество (R, +, ·) с двумя операциями. По сложению R есть абелевагруппа, а умножение дистрибутивно по отношению к сложению.Определение. Гомоморфизмом колец R и S называется отображение f : R → S со следующими свойствами:1◦ f (a + b) = f (a) + f (b) для ∀ a, b ∈ R;2◦ f (ab) = f (a)f (b) для ∀ a, b ∈ R;3◦ f (1) = 1 — это требование только для колец с 1. Если f сюръективно, то 3◦ есть следствие 1◦ и 2◦ .Будем пока рассматривать кольца с 1.Пример 1.1. Рассмотрим кольцо квадратных матриц Mn . В нём есть единица — единичная матрица.
Рассмотрим теперь подкольцо Mn−1 ⊂ Mn . Оно не является подкольцом с единицей, так как единичная матрицаразмерности n − 1 не совпадает с единицей в всём кольце.Рассмотрим гомоморфизм колец f , и обозначим I := Ker f . Оно обладает двумя свойствами:1◦ I - подгруппа по сложению;2◦ ∀ x ∈ I, r ∈ R имеем rx ∈ I, xr ∈ I, так как f (rx) = f (r)f (x) = 0 ⇒ rx ∈ I, и аналогично xr ∈ I.Определение. Подгруппа I аддитивной группы кольца R, удовлетворяющая этим двум свойствам, называется (двусторонним) идеалом кольца. Если идеал выдерживает только левое умножение, он называется левымидеалом.
Аналогично определяется правый идеал. Обозначение: I ⊳ R.Замечание. Идеал является аналогом нормальной подгруппы в теории групп.Определение. Факторкольцом кольца R по идеалу I называется множество R/I := {r + I | r ∈ R} смежныхклассов по I.Введём операцию умножения смежных классов по правилу (a + I)(b + I) := ab + I. Проверим корректность,т. е.
что произведение не зависит от выбора представителя смежного класса. Пусть a + I = a′ + I, b + I = b′ + I.Докажем, что ab + I = a′ b′ + I. Пусть a′ = a + x, x ∈ I; b′ = b + y, y ∈ I. Тогда a′ b′ = ab + ay + xb + xy , то есть{z}|∈IR/I действительно является кольцом. Часто говорят, что R/I — кольцо вычетов по модулю I.202.1.2. Основные теоремы о кольцахТеорема 2.1 (О гомоморфизме колец). Пусть ϕ : A → B — эпиморфизм колец, π : A → A/ Ker ϕ —канонический гомоморфизм. Тогда существует изоморфизм π : A/ Ker ϕ → B, такой, что ϕ = ππ. Для аддитивных групп существование искомого изоморфизма уже установлено. Проверим сохранениеоперации умножения. Пусть ϕ(x) = u и ϕ(y) = v.
Тогда ϕ(xy) = uv и π(uv) = π(xy) = π(x)π(y) = π(u)π(v). Для колец, как и для групп, вернаТеорема 2.2 (О соответствии). Существует биекция между подкольцами в кольце, содержащими идеал,R/Iи всеми подкольцами в факторкольце по этому идеалу. Верно также, что если I ⊆ J ⊳ R, то R/J ∼= J/I .Утверждение 2.3. Существует биекция между идеалами в R/I и идеалами в R, содержащими I.
Пусть π : R → R/I — канонический гомоморфизм. Пусть I ⊆ J ⊳ R, и J ⊳ R/I. Имеем J = J/I =π(J), J = π −1 (J ) — полный прообраз J. Теорема 2.4 (Об изоморфизме). Пусть R — кольцо, K — его подкольцо и I ⊳ R. Тогда(K + I)/I ∼= K/(K ∩ I).(1) Рассмотрим естественный эпиморфизм π : R → R/I и его ограничение π0 := π |K . Его образ состоит изсмежных классов x + I, x ∈ K, т.
е. Im π0 = (K + I)/I. Ядро Ker π0 состоит из всех тех элементов из K, длякоторых x + I = I. Значит, Ker π0 = K ∩ I. По теореме о гомоморфизме получаем, что (K + I)/I ∼= K/(K ∩ I). Замечание. Идеал в кольцах без единицы является подкольцом. В кольцах с 1 очевидно, что если единицалежит в идеале, то он совпадает со всем кольцом. Очевидно также, что если некоторый обратимый элементкольца лежит в идеале, то он также совпадает со всем кольцом: в самом деле, умножим такой элемент наобратный к нему, получим единицу. При этом по определению идеала результат умножения лежит в нём, т.
е.1 ∈ I.Определение. Кольцо называется простым, если в нём нет нетривиальных идеалов.Пример 1.2. Примеры простых колец — поля и тела. Заметим, что вследствие простоты гомоморфизмыполей и тел будут вложениями.2.1.3. Идеалы в кольце квадратных матрицТеорема 2.5. Пусть R — кольцо с 1. Для всякого идеала I ⊳ R имеем Mn (I) ⊳ Mn (R). Верно и обратное:любой идеал в кольце квадратных матриц Mn (R) есть кольцо матриц над некоторым идеалом кольца R. Первое утверждение теоремы очевидно и следует из правила умножения матриц.
Докажем второе утверждение. Пусть M — идеал в Mn (R). Покажем, что M = Mn (I), где I — некоторый идеал в R. В самом деле,идеал M выдерживает левое и правое умножение, в частности, на матричные единицы Eij . Рассмотрим матрицу A = (aij ) ∈ M . Умножим её слева и справа на Eki и Ejl . Получим Eki AEjl = aij Ekl . По определениюидеала результат лежит в M , значит, вместе с матрицей A идеал M содержит все матрицы, составленные из еёэлементов, поставленных в произвольную строку и столбец.
Рассмотрим множество всех чисел из R, которыемогут составлять матрицы из M , и обозначим его через I. Покажем, что это идеал в R, т. е. покажем, что для∀ a ∈ I верно xa ∈ I, ∀ x ∈ R. Рассмотрим матрицу aEij ∈ M , причём i, j можно брать любыми. Так как M —идеал, то для ∀ x ∈ R имеем (xa)Eij ∈ M .
Значит, по определению множества I, число xa также лежит в I.Аналогично ax ∈ I, значит, I — идеал. Следствие 2.1. В частности, кольцо квадратных матриц над простым кольцом простое.Будем теперь рассматривать коммутативные кольца.Утверждение 2.6. Простое коммутативное кольцо с 1 является полем. Докажем, что каждый ненулевой элемент в таком кольце обратим.
Пусть x ∈ R, x 6= 0. Тогда xR = R,так как кольцо простое. Следовательно, ∃ y : xy = 1. Элемент y и будет обратным к x. Определение. Идеал, порождённый одним элементом, называется главным. Кольцо, в котором все идеалыглавные, называется кольцом главных идеалов.Будем обозначать для краткости идеалы, порождённые элементом x, через (x), если из контекста ясно, окаком кольце идёт речь.Утверждение 2.7. Кольцо многочленов K[x] является кольцом главных идеалов. Пусть I ⊳ K[x] и f ∈ I — многочлен наименьшей степени. Докажем, что I = (f ).
Очевидно, (f ) ⊆ I.Докажем, что любой элемент g ∈ I делится на f . Поделим g с остатком: g = f q + r. Многочлен f q ∈ I ⇒ r ∈ I.Но так как deg r < deg f , то r = 0. Абсолютно также доказывается, что любая евклидова область есть кольцо главных идеалов.212.2. Алгебры2.2.1. Основные определения и примерыОпределение. Алгеброй над полем K называется множество (R, +, ∗R , ∗K ) с операциями сложения, умножения и умножения на элементы поля K, обладающими следующими свойствами:1◦ По сложению и умножению на элементы поля K множество R есть векторное пространство;2◦ По сложению и умножению R есть кольцо;3◦ ∀ λ ∈ K, a, b ∈ R λ(ab) = (λa)b = a(λb).Пример 2.1. Mn (K), K[x].Определение. Центром кольца (алгебры) R называется подмножество Z(R) := {r ∈ R : rx = xr ∀ x ∈ R}.Заметим, что центр тела является полем.Определение.
Ненулевая алгебра называется простой, если ней нет нетривиальных идеалов.Пусть R — алгебра над K, и R обладает единицей. Тогда поле K вкладывается в R очевидным образом:λ 7→ λ · 1. Очевидно, что поле при этом оказывается в центре алгебры. Наоборот, если в Z(R) содержится полеK, то R — алгебра над K.Определение. Идеал алгебры — то же самое, что и идеал кольца, но он должен выдерживать умножениена элементы поля, т. е. быть подпространством.Определение. Гомоморфизмом алгебр R и S над полем K называется отображение f : R → S со свойствами:1◦ f (x + y) = f (x) + f (y);2◦ f (xy) = f (x)f (y);3◦ f (λx) = λf (x) ∀ x ∈ R, λ ∈ K.Множество R является алгеброй с 1 над K ⇔ R — кольцо с 1 и K ⊂ Z(R). В одну сторону — очевидно, вдругую — проверить аксиомы алгебры.
Если алгебра с 1, то f (λ · 1) = λ · f (1) = λ ∈ S. Получаем следующееУтверждение 2.8. Если алгебра обладает единицей, то при гомоморфизме алгебр элементы поля отображаются тождественно. Верно и обратное: если f — гомоморфизм колец с 1 и он тождественно действуетна элементы поля, то f является гомоморфизмом алгебр. В этом случае говорят, что f является гомоморфизмом над K.Поскольку алгебра R есть векторное пространство над полем K, можно выбрать базис: R = he1 , . .
. , en i.Зададим умножение на базисных векторах:ei ej =nXckij ek .k=1Числа cij называются структурными константами.Замечание. Задание структурных констант не гарантирует ассоциативности!Пример 2.2. В матричной алгебре базис составляют матричные единицы.2.2.2. Групповая алгебра конечной группыПусть дана конечная группа G. Занумеруем (формально) базисные векторы элементами группы: {eg | g ∈ G}.Определение. Групповой алгеброй группы G над полем K называется множествоnoXKG := a =ag eg ag ∈ K с правилом умножения базисных векторов eg eh = egh .g∈GОбычно базисныеP элементы отождествляют с элементами группы, поэтому любой элемент алгебры записывается в виде a =ag g. Из ассоциативности умножения элементов группы следует ассоциативность умноженияg∈Gв алгебре.Структурные константы алгебры зависят от базиса и являются тензорами типа (2, 1).
Умножение элементовалгебры R — билинейное отображение m : R×R → R, m(x, y) = xy. Сопоставим этому отображению трилинейноеотображение T : R × R × R∗ → K, T (x, y, f ) = f m(x, y) .2.2.3. Факторалгебра алгебры многочленовРассмотримK[x]. Возьмём идеал, порождённый ненулевым многочленом f степени n. Построим факторалгебру K[x] (f ) = {g + (f )}. Каждый смежный класс, очевидно, содержит единственный многочлен степенименьше n.
Поэтому факторалгебру можно отождествить (как множество) с множеством многочленов степенименьше n. Обозначим g := g + (f ) — остаток от деления на f . Сумма и произведение остатков также есть22остаток,а значит,данное множество действительно является факторалгеброй. Базис её составляют многочлены1, x, x2 , . . . , xn−1 .Утверждение 2.9. Если R — конечномерная алгебра с 1 над K, то всякий неделитель нуля обратим. Пусть a ∈ R и a неделитель нуля. Зададим отображение ϕ : R → R по правилу ϕ(x) = ax. Оно невырожденно, а значит, сюръективно и ∃ y : y 7→ 1 ⇒ ay = 1.
Аналогично найдём левый обратный элемент. Следствие 2.2. Конечномерная алгебра без делителей нуля является телом. Докажем, что в такой алгебре есть единица. Пусть α — неделитель нуля. Рассмотрим отображениеx 7→ αx. Оно невырожденно, а потому сюръективно, и найдётся элемент e : f (e) = α, т. е.
αe = α. Заметим,что тогда выполняется и равенство ex = x, так как равенство αe = α можно домножить на α справа, а затемзаменить α в правой части на αe. Получим αeα = ααe, откуда eα = αe. Докажем, что для ∀ x 6= 0 верно xe = x.Умножим равенство eα = α слева на x и вынесем α за скобки. Получим (xe − x)α = 0 ⇔ xe − x = 0 ⇔ xe = x.
Определение. Алгебра, являющаяся телом, называется алгеброй с делением.Коммутативная конечномерная алгебра без делителей нуля является полем.Вернёмся к алгебре многочленов. Еслипорождающийэлемент f идеала (f ) приводим, т. е. f = gh, то вфакторалгебре есть делители нуля: g + (f ) h +(f ) = f+ (f ) = (f ) = 0. Верно и обратное: если f неприводим,то делителей нуля нет, так как если бы g + (f ) h + (f ) = 0, то gh ∈ (f ) ⇒ f |gh, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
