Е.С. Голод - Курс лекций по высшей алгебре (1106008), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Приэтом Ker f =: N состоит в точности из тех слов, которые при подстановке xi 7→ si переходят в единицу группыG, т. е. xεi11 · · · xεikk ∈ Ker f ⇔ sεi11 · · · sεikk = e. По теореме о гомоморфизме G ∼= F/N .Определение. Определяющая система соотношений — это такая совокупность правильных слов, равныхв G единице, что соответствующие слова в свободной группе порождают N как нормальную подгруппу.N является минимальной подгруппой, содержащей все эти правильные слова и порождается выбраннымисоотношениями и сопряженными к ним. Заметим, что не существует алгоритма, определяющего, равны ли дванекоторых правильных слова.Пример 3.4. Свободная группа с одним порождающим элементом — бесконечная циклическая группа.1.3.3. Определяющие соотношения в группах Dn и SnУтверждение 1.15.

Соотношения в группе диэдра an = e, b2 = e, (ab)2 = e являются определяющими. Dn = ha, bi. Рассмотрим свободную группу F = hx, yi и группу N = xn , y 2 , (xy)2 . Рассмотрим гомоморфизм f : F → Dn такой, что f (x) = a, f (y) = b. Очевидно, что N ⊆ Ker f . Докажем, что F/N ∼= Dn . Рассмотримгомоморфизм f : F/N → Dn .

Найдём число смежных классов в факторгруппе: (xk )N — их n штук, и (xk y)N —ещё n штук. Но в группе Dn ровно 2n элементов, значит, f — изоморфизм и N = Ker f , а это и требовалось. Рассмотрим Sn . Очевидно, что системами порождающих являются множества всех транспозиций и всехциклов. Sn = hτ1 = (12), τ2 = (23), . . . , τn−1 = (n − 1, n)i = h(12), (123), . .

. , (12, . . . , n)i.Задача 1.1. Доказать, что для системы {τi } верны соотношенияτ 2 = e;τi τj = τj τi , |i − j| > 2;τi τi+1 τi = τi+1 τi τi+1 .(8)1.4. Прямое произведение групп1.4.1. Понятие прямого произведения и его свойстваОпределение. Дана группа G и H1 , . . .

, Hs ⊂ G. Группа G — прямое произведение H1 , . . . , Hs , если:1◦ Hi ⊳ G;2◦ G = H1 · . . . · Hs , т. е. ∀ g ∈ G имеем g = g1 . . . gs , где gi ∈ Hi ;3◦ Разложение в пункте 2◦ единственно.Обозначение: G = H1 × . . . × Hs .Пример 4.1. Прямая сумма подпространств по операции сложения.Следствие 1.2. Если G = H1 × . . . × Hs , то Hi ∩ Hj = {e} , i 6= j. Допустим противное: x ∈ Hi ∩ Hj . Тогда разложение неоднозначно: e . .

. gi . . . e = x = e . . . gj . . . e. Определение. Коммутатором элементов группы x и y называется элемент [x, y] := xyx−1 y −1 .Утверждение 1.16. Если X ⊳ G, Y ⊳ G, и X ∩ Y = {e}, то их элементы коммутируют. Пусть x ∈ X, y ∈ Y . Условие xy = yx ⇔ [x, y] = e. Но так как xyx−1 ∈ Y , а yx−1 y −1 ∈ X, то имеем[x, y] ∈ X, [x, y] ∈ Y . В силу тривиальности пересечения [x, y] = e. Следствие 1.3. (g1 . .

. gs )(g1′ . . . gs′ ) = (g1 g1′ ) . . . (gs gs′ ).9Очевидно, что g1k1 . . .Qgsks = e ⇔ giki = e. Следовательно, O(g1 . . . gs ) = НОК {O(g1 ), . . . , O(gs )}. Кроме того,если |Hi | < ∞, то |G| = |Hi |.Утверждение 1.17. Следующие условия эквивалентны:I. G = H1 × . . . × Hs — Группа G есть прямое произведение;II. 1◦ , 2◦ - те же, что и в определении; 3◦ Hj ∩ H1 . . . Hj−1 Hj+1 . . . Hs = {e};III. 1◦ , 2◦ - те же самые; 3◦ Hj ∩ H1 . .

. Hj−1 = {e};IV. 1◦ Hi — подгруппы, ∀ gi ∈ Hi , ∀ gj ∈ Hj gi gj = gj gi ; 2◦ - то же самое; 3◦ — любое из I, II, III. II. То, что из определения следует тривиальность пересечения, было доказано выше. Теперь выведемединственность разложения из свойств пункта II. Допустим противное, т. е. существует g = h1 . . . hs = h′1 . . . h′s .−1′′ −1Преобразуем равенство к виду h′−11 h1 = h2 . . . hs hs . . .

h2 . Слева стоит произведение элементов из H1 , спра′−1ва — из H2 . . . Hs . Пересечение тривиально ⇒ h1 h1 = e ⇔ h1 = h′1 . Аналогично hi = h′i ∀ i, что и означаетединственность разложения. III : Доказывается аналогично II, пользуясь индукцией по числу подгрупп. IV :Докажем нормальность подгрупп Hi . Пусть hj ∈ Hj . Тогда ghj g −1 = g1 . .

. gs hj gs−1 . . . g1−1 . По условию элементы коммутируют, значит, их можно переставить с hj , и они сократятся, а значит, ghj g −1 = hj , что и даётнормальность. Теперь рассмотрим случай конечной группы G. Тогда можно привести ещё несколько эквивалентных определений прямого произведения.Утверждение 1.18. Следующие условия эквивалентны определению прямого произведения для конечныхгрупп:V. 1◦ , 2◦ — те же, что и в первых 4 группах условий; 3◦ |G| = |H1 | .

. . |Hs |;VI. 1◦ — то же самое; 2◦ |G| = |H1 | . . . |Hs |; 3◦ — любое из предыдущих. VI : Рассмотрим H = H1 × . . . × Hs — прямое произведение. Тогда |H| = |H1 | . . . |Hs |, так как группыконечны. Следовательно, H = G. V : Выведем единственность. Из 1◦ и 2◦ следует, что |G| 6 |H1 | . . . |Hs |.Рассмотрим всевозможные произведения g1 .

. . gs . Если бы какие-то из них совпадали, то неравенство было быстрогим, а такого по условию не бывает. Утверждение доказано. В аддитивной терминологии прямое произведение называется прямой суммой: G = H1 ⊕ . . . ⊕ Hs .1.4.2. Разложение циклических группПример 4.2. (Z, +) — не разлагается в прямое произведение, так как для ∀ m, n имеем mnZ ⊂ mZ ∩ nZ. Пример 4.3. G = haiDn конечно. Если H — подгруппа в G, то H = ad , |H| = nd . Если n = pk , гдеn , гдеEiчисло p простое, то Hi = ap , i 6 k. Тогда прямого произведения нет:D k−1 Ehai ⊃ hap i ⊃ .

. . ⊃ ap⊃ {e} .(9)Определение. Группа порядка pk называется p-примарной группой.D n EПусть n = pk11 . . . pks s , и pi 6= pj , i 6= j. Пусть mi := pki i . Рассмотрим группы Hi = a miи их произведениеmiQTG = Hi . Если x ∈ Hj , то O(x) — некоторая степень числа pj . Пусть x ∈ Hi . Тогда очевидно, что O(x) = 1QQи x = e. Кроме того, имеем |Hi | = pki i = |G|. Тем самым любая циклическая группа разлагается в прямоепроизведение примарных циклических групп.1.4.3. Внешнее прямое произведениеОпределение. Пусть G1 , . . . , Gs — группы.

Составим из них группу˙ . . . ×G˙ s.G := {(g1 , . . . , gs ) | gi ∈ Gi } = G1 ×(10)Она является множеством векторов-строк из gi и называется внешним прямым произведением групп Gi .Можно отождествить внешнее и внутреннее произведение следующим образом. Пусть G = H1 ×. . .×Hs (проe = G1 ×e по правилу˙ . . . ×G˙ s (внешнее произведение). Построим изоморфизм ϕ : G → Gизведение подгрупп), а Gϕg1 .

. . gs 7−→ (g1 , . . . , gs ). Отображение задано корректно, так как элементы из разных подгрупп коммутируют,и (g1 . . . gs )(g1′ . . . gs′ ) = (g1 g1′ ) . . . (gs gs′ ) 7→ (g1 g1′ , . . . , gs gs′ ). Подгруппы Hi можно отождествить с множествамивекторов {(e, . . . , e, gi , e, . . . , e)}, т. е. c подгруппами во внешнем произведении, и таким образом, внешнее и внутреннее произведения можно не различать.101.4.4. Гомоморфизмы произведений группПусть есть гомоморфизм G → H = H1 × . . . × Hs и набор гомоморфизмовϕi : G → Hi .

Определим гомоморфизм ϕ : G → H следующим образом: ϕ(g) := ϕ1 (g), . . . , ϕs (g) . Наоборот, по отображению ϕ можно определитьϕi . Имеется биекция между набором гомоморфизмов из G в H и множеством {ϕi | ϕi : G → Hi }.Зададим гомоморфизм ϕ : G = G1 × . . . × Gs → H. Достаточно задать ограничения ϕi = ϕ , ϕi : Gi → H. GiОтображение ϕ задается ограничениями однозначно: ϕ(g) = ϕ(g1 . .

. gs ) = ϕ1 (g1 ) . . . ϕs (gs ) . Отображение ϕбудет гомоморфизмом, когда элементы образов различных ϕi коммутируют: yi ∈ Im ϕi , yj ∈ Im ϕj ⇒ yi yj =yj yi . В том случае, когда группа H — абелева, то всегда есть биективное соответствие между множествомгомоморфизмов из G в H и наборами {ϕ1 . . . ϕs }.Теорема 1.19. Пусть G = G1 × .

. . × Gs , и Hi ⊳ Gi . Тогда H ⊳ G и G/H ∼= G1 /H1 × . . . × Gs /Hs . Построим эпиморфизм ϕ : G → G1 /H1 × . . . × Gs /Hs . Положим ϕ(g1 . . . gs ) = (g1 H1 , . . . , gs Hs ). Очевидно,что отображение задано корректно. Найдём его ядро. ИмеемKer ϕ = {g1 .

. . gs : gi Hi = Hi ⇒ gi ∈ Hi ∀ i} .(11)Следовательно, Ker ϕ = H1 × . . . × Hs , а по теореме о гомоморфизме G/ Ker ϕ ∼= Im ϕ. ∼Следствие 1.4. Частный случай теоремы: G = H1 × H2 ⇒ G/H1 = H2 .1.5. Абелевы группы1.5.1. Основные свойстваВ абелевой группе всякая подгруппа нормальна.Рассмотрим гомоморфизмы вида ϕ : G → K, где G — произвольная группа, K — абелева.

Попробуем ввестина множестве гомоморфизмов структуру группы. Определим произведение гомоморфизмов так: (ϕ1 · ϕ2 )(x) :=:= ϕ1 (x)ϕ2 (x). Если K — абелева, то произведение гомоморфизмов есть гомоморфизм (для неабелевых группэто неверно!!! ):(ϕ · ψ)(xy) = ϕ(xy)ψ(xy) = ϕ(x) ϕ(y)ψ(x) ψ(y) = ϕ(x)ψ(x) ϕ(y)ψ(y) = (ϕ · ψ)(x)(ϕ · ψ)(y).| {z }комм.−1Определим обратное отображение ϕ (x) := ϕ(x)−1 .

Оно будет гомоморфизмом только тогда, когда K —абелева группа. В качестве нейтрального элемента возьмём гомоморфизм, переводящий всё в единицу. Такимобразом мы построили группу Hom(G, K). Заметим, что она будет абелевой.1.5.2. Системы порождающих в абелевой группеПоскольку в абелевых группах все элементы коммутируют, правильными словами будут те, в которых всеэлементы попарно различны. Пусть дана группа (G, +). Тогда любой элемент представляется в виде целочисленной Pлинейной комбинации порождающих, в которой только конечное число коэффициентов отличны от нуля:g=ni ai , ni ∈ Z.

Однако запись элемента по-прежнему неоднозначна.i∈IЗадача 1.2. Доказать, что какую бы мы не взяли систему порождающих в группах (Q, +) и (Q, ·), из неёможно выкинуть какой-то элемент.Будем теперь рассматривать абелевы группы с конечной системой порождающих.Определение. Конечнопорождённая абелева группа G называется свободной абелевой группой со свободнойсистемой порождающих {a1 , .

. . , an }, если запись элемента в виде целочисленной линейной комбинации этихпорождающих однозначна. Система порождающих называется в этом случае базисом, а число n — рангомгруппы.Абелева группа свободна, если она обладает базисом. G = ha1 i∞ ⊕ . . . ⊕ han i∞ .Теорема 1.20. Конечнопорождённая абелева группа изоморфна некоторой факторгруппе свободной группытого же ранга, т. е.

если F — свободная абелева группа с базисом {x1 , . . . , xn }, а G = ha1 , . . . , an i, то найдётсяподгруппа H ⊂ F , такая что G ∼= F/H.PP Определим эпиморфизм ϕ : F → G так: ϕ(xi ) := ai . Тогда ϕ( ni xi ) = ni ai . Очевидно, его образ естьвся группа G. По теореме о гомоморфизме F/ Ker ϕ ∼= G. Ядро ϕ и будет искомой подгруппой в F . 111.5.3. Разложение конечнопорождённых абелевых групп Пусть группа с базисом {x1 , .

. . , xn }, и H ⊆ F , Γ — некоторое множество индексов, иP F — свободная абелеваyγ = aiγ xi aiγ ∈ Z, γ ∈ Γ — система порождающих подгруппы H. Числа aiγ образуют матрицу A, в которойn строк и, возможно, бесконечное число столбцов. Есть 3 типа целочисленных элементарных преобразований(ЭП) такой матрицы:1◦ К одной строке можно прибавить другую, умноженную на целое число;2◦ Можно менять строки местами;3◦ Можно умножать строку на обратимые элементы кольца Z, то есть на ±1.Аналогичные преобразования можно осуществлять со столбцами.Теорема 1.21. Посредством элементарных преобразований можно привести матрицу коэффициентов к«диагональному» виду diag(d1 , .

Характеристики

Список файлов лекций