Е.С. Голод - Курс лекций по высшей алгебре (1106008), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Если p(α) = 0, то α = z ⇒ α ∈ C. Теорема 2.21. Коммутативная конечномерная алгебра D над полем R совпадает либо с R, либо с C. Имеем R ⊂ D. Рассмотрим произвольный элемент α ∈ D и его минимальный многочлен p(x). Он либолинейный, либо квадратный (других неприводимых над R не бывает). Если для всех α минимальные многочленылинейны, то аналогично предыдущей теореме получаем, что α ∈ R и D = R. Если же среди минимальныхмногочленов есть квадратные, то R(α) ∼R[x](p) ∼== C. 2.4.2. Тело кватернионов.
Теорема ФробениусаПоставим вопрос о том, можно ли построить алгебру над R размерности больше 2. Ответ: можно, но толькоона не будет коммутативной. Четырёхмерная алгебра над R называется алгеброй кватернионов и обозначаетсяH. Строится она следующим образом: берём векторное пространство R4 = h1, i, j, ki и задаем умножение базисных векторов (структурных констант) так: i2 = j 2 = k 2 = −1; ij = k, jk = i, ki = j; ji = −k, kj = −i, ik = −j,т.
е. элементы антикоммутируют. Проверка ассоциативности неинтересна (хотя и нужна), и мы её здесь опустим.Сопряжённым к кватерниону u = a + bi + cj + dk называют кватернион u = a − bi − cj − dk. Нормой кватернионаu называется число N (u) := uu = a2 = b2 + c2 + d2 . Любой ненулевой элемент обратим, так какu·u= 1.|u|2Очевидно, что u + v = u + v, u = u, |u| · |v| = |uv|.
А вот произведением сопряженных будет сопряженный кпроизведению в обратном порядке: uv = v · u. Таким образом, кватернионы образуют тело.Замечание. Отображение u 7→ u называют антиавтоморфизмом.Теорема 2.22 (Фробениуса). Любая конечномерная алгебра D с делением над R изоморфна либо R, либоC, либо H. Рассмотрим центр алгебры Z(D). Он является конечномерной коммутативной алгеброй над R, и потеореме 2 изоморфен либо R, либо C. Во втором случае можно рассмотреть D как алгебру над Z(D), и потеореме 1 получаем, что D ∼/ Z(D) = R.
Тогда имеем R(α) == C. В первом случае рассмотрим элемент α ∈C, C ⊂ D, i ∈ C ⇒ i ∈ D. Рассмотрим D как векторное пространство над C. Зададим умножение на скаляры:для ∀ u ∈ D, z ∈ C положим z · u := zu. Рассмотрим линейный оператор ϕ : D → D, определённый по правилуϕ(u) := ui. Проверим корректность: в силу ассоциативности имеем ϕ(zu) = (zu)i = z(ui) = zϕ(u), т. е. этодействительно линейный оператор.
Заметим, что ϕ2 (u) = (ui)i = u(i2 ) = −u, поэтому ϕ2 (u) + u = 0, т. е.многочлен t2 + 1 является аннулирующим для ϕ. Собственными значениями ϕ являются числа ±i. Значит, Dкак векторное пространство есть прямая сумма собственных подпространств: D = D+ ⊕ D− , и25D+ = {u ∈ D : ϕ(u) = iu} = {u ∈ D : ui = iu} ,D− = {u ∈ D : ϕ(u) = −iu} = {u ∈ D : ui = −iu} .Таким образом, подпространство D+ есть всё, что коммутирует с C. Значит, D+ есть подалгебра в D и онасодержится в центре D, откуда вытекает, что D+ = C.
Если подпространство D− нулевое (т. е. D коммутативна),то D = C. Если же D некоммутативна, то D− 6= {0}. В этом случае докажем, что D ∼= H. Для этого рассмотримэлемент h ∈ D− , h 6= 0. Пусть u ∈ D− , тогда i(uh) = −uih = uhi, т. е. для ∀ u ∈ D− имеем uh ∈ D+ . Теперьрассмотрим линейное отображение ψ : D− → D+ над C, определённое таким образом: ψ(u) = uh.
Делителейнуля в алгебре нет, значит, Ker ψ = 0 и это инъективное отображение. Таким образом, ψ(D− ) ⊂ D+ . Но D+одномерно, а значит, и ψ(D− ) также одномерно, а потому ψ(D− ) = D+ . Теперь возьмём любой ненулевой элементh ∈ D− в качестве базисного, тогда D− = {zh}z∈C . Рассмотрим элемент ψ(h) = h2 ∈ D+ = C. Этот элементкоммутирует с C, а так как D− = {zh}, то h2 коммутирует и с D− . Значит, h2 ∈ Z(D), то есть h2 =: a ∈ R.Но поскольку h ∈/ R, то многочлен x2 − a будет минимальным для a и неприводимым над R.
Значит, a < 0.Теперь рассмотрим элемент j := √h . Имеем j 2 = −1, j ∈ D− ⇒ ij = −ji. Любой элемент u ∈ D однозначно|a|записывается в виде u = z1 + z2 j, где z1 , z2 ∈ C. Пусть z1 = a + bi, z2 = c + di. Тогда u = a + bi + cj + dij.Обозначим ij =: k, получим, что D ∼= H (все свойства легко проверить). Замечание. Процесс расширения алгебр над R можно продолжать и дальше, однако 8-мерная алгебра надR неассоциативна, а 16-мерная имеет делители нуля.Одним из важных утверждений, связанных с алгебрами над R, является теорема о «причёсывании ежа»:2Теорема 2.23. Если существует n-мерная алгебра с делением, то сфера S n−1 параллелизуема, т.
е. на нейсуществует касательное векторное поле без особых точек.2.4.3. Геометрические приложения кватернионовИспользуем свойство |uv| = |u||v|. Рассмотрим сферу S 3 := {u ∈ H : |u| = 1}. Она является группой по умножению.Утверждение 2.24. S 3 ∼= SU(2) — группа двумерных унитарных матриц с определителем 1.a, −b322. Пусть u ∈ S . Имеем u = a + bj, |a| + |b| = 1. Построим изоморфизм по правилу u 7→b, aНайдём связь S 3 и SO3 . Пусть w ∈ H, u ∈ S 3 . Учитывая то, что при этом u−1 = u, рассмотрим отображениеϕu (w) := uwu−1 = uvu. Оно сохраняет единицу и сохраняет длины векторов, значит, это ортогональный опе⊥ратор.
Отсюда получаем, что h1i = hi, j, ki =: V , и dimR V = 3, т. е., построено отображение ϕ : S 3 → O(V ).3Множество S линейно связно, а так как определитель линейного оператора на V есть непрерывная функция,то в Im ϕ все операторы имеют один и тот же определитель ⇒ Im ϕ ⊆ SO3 .Задача 2.3. Доказать, что на самом деле Im ϕ = SO3 .3. Модули над кольцами и алгебрами3.1. Основные понятия3.1.1. Модули, подмодули, гомоморфизмы модулей. ФактормодулиОпределение. Левым модулем над кольцом R называется множество M с операциями сложения и умножения (слева) на элементы кольца. При этом должны выполняться аксиомы:1◦ – 4◦ (M, +) — абелева группа;5◦ r(x + y) = rx + ry для ∀ x, y ∈ M, r ∈ R;6◦ (r + s)x = rx + sx для ∀ x ∈ M, r, s ∈ R;7◦ (rs)x = r(sx) для ∀ x ∈ M, r, s ∈ R (а для правых модулей — x(rs) = (xr)s);8◦ Если R — кольцо с 1, то должно быть 1 · x = x для ∀ x ∈ R.Определим модуль над алгеброй R над полем K. К набору аксиом добавится ещё 2 условия: (M, +, ∗R , ∗K ) —векторное пространство над K, и для ∀ x ∈ M, r ∈ R, λ ∈ K выполняется равенство r(λx) = λ(rx) = (λr)x.Замечание.
Если алгебра обладает единицей, то последнее свойство выводится из остальных, так как поле Kсодержится в алгебре.Определение. Гомоморфизмом левых R-модулей M и N называется такое отображение ϕ : M → N , что:1◦ ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) для ∀ x, y ∈ M ;2 Доказательстваэтой теоремы в нашем курсе не будет.262◦ ϕ(rx) = rϕ(x) для ∀ x ∈ M, r ∈ R.Замечание. Алгебру можно рассматривать как левый (или правый) модуль над собой: r · x = rx ⇒ R —левый модуль, а если r · x = xr, то правый.Любой элемент r из кольца R задает линейный оператор на модуле M .Определение. Изоморфизмом левых R-модулей M и N называется биективное отображение ϕ : M → N ,являющееся изоморфизмом векторных пространств.
При этом rϕ(x) = ϕ(rx), т. е. диаграмма коммутативна:Mϕ✲Nr❄Mr❄✲NϕОпределение. Подмодулем N модуля M называется подмножество модуля M , замкнутое относительносложения и умножения на элементы кольца (алгебры), т. е. выполнены свойства:1◦ N — подгруппа по сложению;2◦ rx ∈ N ∀ x ∈ N, r ∈ R;3◦ Если R — алгебра без 1, то требуем, чтобы N было подпространством: λx ∈ N для ∀ x ∈ N, λ ∈ K.Определение. Ядром гомоморфизма ϕ называется множество Ker ϕ := {x ∈ M : ϕ(x) = 0}. Оно, очевидно,является подмодулем.Рассмотрим смежные классы в модуле M . Для ∀ y0 ∈ Im ϕ рассмотрим полный прообраз ϕ−1 (y0 ) = x0 + N ,где N = Ker ϕ.
Легко видеть, множество таких классов является модулем.Определение. Множество смежных классов M/N := {x + N | x ∈ M } называется фактормодулем.Умножение на элементы кольца в фактормодуле задаётся так: r(x + N ) = rx + N . Корректность определенияочевидна. Если R без 1, то определим умножение на скаляры: λ(x + N ) = λx + N . Как и в случае групп, можнорассматривать каноническую проекцию π : M → M/N : π(x) = x + N .3.1.2.
Основные теоремы о модуляхТеорема 3.1 (О гомоморфизме). Пусть f : M → N — гомоморфизм R-модулей, π : M → M/ Ker f —канонический гомоморфизм. Тогда существует изоморфизм ϕ : Im f → M/ Ker f , такой, что f = ϕ ◦ π. Мы уже знаем, что между фактормодулем и Im f имеется изоморфизм групп. Проверим коммутированиеϕ c умножением на элементы кольца R. Пусть f (x) = y. Тогда f (rx) = ry, и ϕ(ry) = π(rx) = rπ(x) = rϕ(y).
Теорема 3.2 (О соответствии). Имеется биективное соответствие между подмодулями в фактормодуле по Ker f и подмодулями в исходном модуле, содержащими Ker f .∼ P/(P ∩ Q).Теорема 3.3 (Об изоморфизме). Пусть P, Q — подмодули в M . Тогда (P + Q)/Q =3.2. Прямые суммы и ряды модулей. Системы порождающих модуля3.2.1. Прямые суммы модулейОпределение. Пусть Q1 , . .
. , Qs — подмодули в M . Говорят, что M — прямая сумма Q1 , . . . , Qs , если M какабелева группа есть прямая сумма подгрупп Qi . Это эквивалентно тому, что любой элемент x ∈ M записываетсяоднозначно в виде суммы x = x1 + . . . + xs , где xi ∈ Qi . Обозначение: M = Q1 ⊕ . .
. ⊕ Qs .Умножение на скаляр в прямой сумме почленное, так как слагаемые являются подмодулями: rx = rx1 + . . . ++ rxs . Аналогично группам определяется внешняя прямая сумма. Если R — алгебра, то прямая сумма модулейбудет прямой суммой подпространств.3.2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
